《高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.3 冪函數(shù)備課資料素材 新人教A版必修1（通用）.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.3 冪函數(shù)備課資料素材 新人教A版必修1（通用）.doc（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、2.3 冪函數(shù)備課資料歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明你知道數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明嗎?這就是阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對(duì)數(shù).研究自然數(shù)遇到的第一個(gè)問題是計(jì)數(shù)法和進(jìn)位制的問題,我們采用的十進(jìn)制是中國人的一大發(fā)明.在商代中期的甲骨文中已有十進(jìn)制,其中最大的數(shù)是3萬,印度最早到六世紀(jì)末才有十進(jìn)制.但是,目前使用的計(jì)數(shù)法和阿拉伯?dāng)?shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早開始使用,后來傳到阿拉伯,由阿拉伯人傳到歐洲,并被歐洲人所接受.十進(jìn)制位置計(jì)數(shù)法的誕生,是自然數(shù)發(fā)展史上的一次飛躍,同一個(gè)數(shù)字由于它所在的位置不同而有不同的值.無窮多個(gè)自然數(shù)可以用有限個(gè)符號(hào)來駕馭,所有的自然數(shù)都可以方便清楚地表示出來

2、.16世紀(jì)前半葉,由于實(shí)際的需要,對(duì)計(jì)算技術(shù)的改進(jìn)提出了前所未有的要求.這一時(shí)期計(jì)算技術(shù)最大的改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用,它的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計(jì)算的迫切需要.為了簡化天文航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計(jì)算,自然希望將乘除法歸結(jié)為簡單的加減法.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(Napier,J.15501617)在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中,首先發(fā)明了對(duì)數(shù)方法.1614年他在題為奇妙的對(duì)數(shù)定理說明書一書中,闡述了他的對(duì)數(shù)方法,對(duì)數(shù)的使用價(jià)值為納皮爾的朋友英國數(shù)學(xué)家布里格斯(Birggs,H.15611630)所認(rèn)識(shí),他與納皮爾合作,并于1624年出版了對(duì)數(shù)算術(shù)一書,公布了以10為底的14位對(duì)數(shù)表,并稱以10為底的

3、對(duì)數(shù)為常用對(duì)數(shù).常用對(duì)數(shù)曾經(jīng)在簡化計(jì)算上為人們做過重大貢獻(xiàn),而自然對(duì)數(shù)以及以e為底的指數(shù)函數(shù)成了研究科學(xué)、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把對(duì)數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始,微積分學(xué)的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.法國著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯曾說:“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學(xué)家的壽命.”一直到18世紀(jì),瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler,L.17071783)才發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系,他指出“對(duì)數(shù)源出于指數(shù)”,這個(gè)見解很快被人們所接受.本章復(fù)習(xí)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要的數(shù)學(xué)模型,面對(duì)紛繁復(fù)雜的變化現(xiàn)象,我們還可以根據(jù)變化現(xiàn)象懂得不同特征進(jìn)行分類研究.而指數(shù)函數(shù)、

4、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)是研究客觀世界的變化規(guī)律的三類重要且常用的基本初等函數(shù),本章學(xué)習(xí)了這三類基本初等函數(shù)的概念和性質(zhì),因此我們對(duì)這一些基本知識(shí)和三類基本初等函數(shù)學(xué)完的前提下,綜合復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí),進(jìn)行知識(shí)梳理和整合,同時(shí)通過進(jìn)行知識(shí)梳理和整合,使學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想和方法的運(yùn)用,通過復(fù)合函數(shù)和抽象函數(shù)的復(fù)習(xí),提高學(xué)生的綜合能力.三維目標(biāo)1.理解指數(shù)與對(duì)數(shù),指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的概念和聯(lián)系,通過提問,提高學(xué)生的認(rèn)知水平,為學(xué)生塑造良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).2.讓學(xué)生熟悉,能更加熟練地解決與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)有關(guān)的問題,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想觀念及抽象思維能力.3.對(duì)復(fù)合函數(shù),抽象函數(shù)

5、有一個(gè)新的認(rèn)識(shí),培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題和交流以及分類討論的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的圖象和性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決有關(guān)問題.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程應(yīng)用示例思路1例1計(jì)算:(1)(3)(5)0.5+(0.008)(0.02)(0.32)0.062 50.25;（2）.活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考,學(xué)生觀察式子的特點(diǎn),特別是指數(shù)和真數(shù)的特點(diǎn),教師引導(dǎo)學(xué)生考慮題目的思路,對(duì)有困難的學(xué)生及時(shí)提示,組織學(xué)生討論交流,并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià).解：(1)原式=()3()()20.5+(0.2)3()(0.2)(0.5)4=+520.5=+10=.（2）=.點(diǎn)評(píng)：在指數(shù)運(yùn)算中,一定

6、要注意運(yùn)算順序和靈活運(yùn)用乘法公式,注意立方和立方差公式在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪當(dāng)中的應(yīng)用.變式訓(xùn)練如果已知log5427a,54b3,如何用a、b表示log10881?解法一：由54b3得log543b.所以log10881=.解法二：由log5427=a,得54a=27,設(shè)x=log10881,則108x=81,所以(54227-1)x=327,即(54254-a)x=54b54a.所以542x-ax=54a+b,即2x-ax=a+b.因此,得x=.點(diǎn)評(píng)：解法一是通過指數(shù)化成對(duì)數(shù),再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式計(jì)算結(jié)果;解法二是通過對(duì)數(shù)化成指數(shù),再由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出結(jié)果,但解法二運(yùn)算的技巧性較大.例2

7、已知a0,a1,x=,求(x+)n的值.活動(dòng)：學(xué)生思考,觀察題目的特點(diǎn),教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,從整體上看,應(yīng)先化簡,然后再求值,要有預(yù)見性,a與a具有對(duì)稱性,它們的積是常數(shù)1,為我們解題提供了思路,必要時(shí)給予提示.x2-1=(a+a)2-1=(a+2a0+a)-1=(a-2a0+a)=(a-a)2.這時(shí)應(yīng)看到=|a-a|.解：將x=(a+a)代入x2-1,得x2-1=(a+a)2-1=(a-a)2.所以=|a-a|,x+=(a+a)+ |a-a|=所以(x+)n=點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵,要深刻理解這種做法.例3若函數(shù)f(x)的定義域是(,3,求f(log3x)的

8、定義域.活動(dòng)：學(xué)生思考,小組討論,教師引導(dǎo),學(xué)生展示思維過程,教師評(píng)價(jià).根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)歷,回顧求一個(gè)函數(shù)的定義域的方法.已知抽象函數(shù)f(x)的定義域,求抽象函數(shù)fg(x)的定義域,要借助于f(x)的定義域來求,由于函數(shù)f(x)的定義域是(,3,所以f(log3x)中的log3x的范圍就是(,3,從中解出x,即為f(log3x)的定義域.解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?,3,所以f(log3x)中的log3x的范圍就是(,3,即0.5log3x3,即x9.因此函數(shù)f(log3x)定義域?yàn)?3,9.點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍,對(duì)復(fù)合函數(shù)的定義域要嚴(yán)格注意對(duì)應(yīng)法則

9、.變式訓(xùn)練1.求函數(shù)y=的定義域.2.求函數(shù)f(x)=的定義域.答案：1.x|x0且x1.2.x|x0.思路2例1求函數(shù)y=的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間.活動(dòng)：學(xué)生觀察,思考交流,獨(dú)立解題,教師要求學(xué)生展示自己的思維過程.求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍;函數(shù)的值域要根據(jù)定義域來求;求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般用定義法,有時(shí)也借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.由于自變量處在指數(shù)位置上,分母是一個(gè)指數(shù)式,因此自變量取值無限制;值域轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),單調(diào)區(qū)間用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定.解：函數(shù)y=的定義域是全體實(shí)數(shù),因?yàn)閥=()x2,所以函數(shù)的值域?yàn)?+).設(shè)u=()x,則它在(-,+)上單調(diào)遞減,而二

10、次函數(shù)y=(u)2在u時(shí)是減函數(shù),在u時(shí)是增函數(shù),令()x,則x1,令()x,則x1,所以函數(shù)y=在1,+)上是增函數(shù),在(-,1上是減函數(shù).點(diǎn)評(píng)：這里求函數(shù)值域的方法是配方法,求單調(diào)區(qū)間是用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定的.例2已知函數(shù)f(x)=x(+).(1)指出函數(shù)的奇偶性,并予以證明；(2)求證：對(duì)任何x(xR且x0),都有f(x)0.解：(1)因?yàn)閒(x)的定義域是不為0的實(shí)數(shù),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又f(-x)=-x(+)=x()=x(-1+)=x(+)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).(2)當(dāng)x0時(shí),2x1,所以f(x)0.當(dāng)x0時(shí),由f(x)為偶函數(shù),有f(x)=f(-x)0.所以對(duì)一切xR,x

11、0,恒有f(x)0.點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的奇偶性常可使解法簡化,如本題,當(dāng)x0時(shí),證明f(x)0較繁,若注意到f(x)為偶函數(shù),則只需證明當(dāng)x0時(shí),f(x)0,而這是顯然的.知能訓(xùn)練課本P82復(fù)習(xí)參考題A組 1、3、4、6、8、10.拓展提升問題：已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn),過A作x軸的垂線,垂足為E,過點(diǎn)B作y軸的垂線,交EA于C,若C恰好在函數(shù)y=log2x的圖象上,試求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo).活動(dòng)：學(xué)生先仔細(xì)審題,理解題目的含義,然后思考交流,教師適當(dāng)時(shí)候提示指導(dǎo).畫出函數(shù)的圖象,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),由圖形間的關(guān)系建立方程求解.解：先畫出函數(shù)的圖象如圖.圖2-1設(shè)A

12、(x1,log8x1)、B(x2,log8x2),則C(x1,log8x2).因?yàn)镃在函數(shù)y=log2x的圖象上,所以log8x2=log2x1,即log2x2=log2x1.所以x2=x13.又=,即=,所以x1log8x13=x13log8x1.所以3x1log8x1=x13log8x1.由x11,所以log8x11.從而有3x1=x13.所以x1=,x2=3.所以A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(,log83)、B(3,log83)、C(,log2).課后作業(yè)課本P82復(fù)習(xí)參考題A組 2、5、7、9.設(shè)計(jì)感想本堂課是對(duì)過去學(xué)過的一章知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí),目的是構(gòu)建知識(shí)體系,形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò),總結(jié)解題的方

13、法規(guī)律和思想,以便綜合運(yùn)用這些知識(shí),使學(xué)生能夠見題想法,見題有法,能夠做到一題多解,觸類旁通,由于涉及的知識(shí)點(diǎn)和方法思想較多,所以設(shè)計(jì)的題目也較多,要注意解題方法的總結(jié)和提煉,希望加快處理速度,提高課堂復(fù)習(xí)效果,做到以不變應(yīng)萬變,使全體同學(xué)在知識(shí)和技能上都有較大的提高.習(xí)題詳解(課本第82頁復(fù)習(xí)參考題)A組1.（1）11；（2）；（3）；（4）.2.（1）原式=;（2）原式=.3.（1）因?yàn)閘g2=a,lg3=b,log125=,所以log125=.（2）因?yàn)閘og23=a,log37=b,log1456=.4.（1）（-,）（,+）;（2）0,+）.5.（,1）（1,+）;（2）（-,2）;

14、（3）（-,1）（1,+）.6.（1）因?yàn)閘og67log66=1,所以log671.又因?yàn)閘og76log77=1,所以log76log76.（2）因?yàn)閘og3log33=1,所以log31.又因?yàn)閘og20.8log20.8.7.證明：（1）因?yàn)閒（x）=3x,所以f（x）f（y）=3x3y=3x+y.又因?yàn)閒（x+y）=3x+y,所以f（x）f（y）=f（x+y）.（2）因?yàn)閒（x）=3x,所以f（x）f（y）=3x3y=3x-y.又因?yàn)閒（x-y）=3x-y,所以f（x）f（y）=f（x-y）.8.證明:因?yàn)閒（x）=lg,a、b（-1,1）,所以f（a）+f（b）=lg=lg,f（）

15、=lg（）=lg=lg.所以f（a）+f（b）=f（）.9.（1）設(shè)保鮮時(shí)間y關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x的函數(shù)解析式為y=kax（a0,且a1）.因?yàn)辄c(diǎn)（0,192）、（22,42）在函數(shù)圖象上,所以解得所以y=1920.93x,即所求函數(shù)解析式為y=1920.93x.（2）當(dāng)x=30 時(shí),y22（小時(shí)）；當(dāng)x=16 時(shí),y60（小時(shí)）,即溫度在30 和16 的保鮮時(shí)間約為22小時(shí)和60小時(shí).（3）圖象如圖：圖2-210.解析：設(shè)所求冪函數(shù)的解析式為f（x）=x,因?yàn)閒（x）的圖象過點(diǎn)（2,）,所以=2,即2=2.所以=.所以f（x）=x（x0）.圖略,f(x)為非奇非偶函數(shù)；同時(shí)它在（0,+）上是減函數(shù).B組1.A2.因?yàn)?a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以+=+=lg2+lg5=lg10=1.