《高中數(shù)學(xué) 第3章 直線與方程 3.1 直線的傾斜角與斜率 3.1.1 傾斜角與斜率教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第3章 直線與方程 3.1 直線的傾斜角與斜率 3.1.1 傾斜角與斜率教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）.doc（3頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、3.1.1 傾斜角與斜率皰丁巧解牛知識巧學(xué)一、直線的傾斜角1.傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.2.傾斜角的范圍：當(dāng)直線l與x軸相交時，可以是銳角、直角、鈍角.當(dāng)l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0，因此0180.3.傾斜角的意義：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一條直線都有一個確定的傾斜角，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.傾斜角直接反映了直線對x軸正向的傾斜程度.因此要確定一條直線，只要已知直線上的一個定點(diǎn)和它的傾斜角就可以了.要點(diǎn)提示 1.要理解傾斜角定義中含有三個條件：直線向上的方向

2、；x軸的正方向；小于平角的正角，因此傾斜角的取值范圍為0180.2.傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述了直線對x軸正方向的傾斜程度.3.由傾斜角的定義可知平面內(nèi)任何一條直線都有唯一的傾斜角.二、直線的斜率1.斜率：當(dāng)直線l的傾斜角不為90時，的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示.2.斜率公式：k=tan(90).3.斜率與傾斜角的關(guān)系：一條直線必有一個確定的傾斜角，但不一定有斜率(傾斜角為90時無斜率).若直線斜率k0，則傾斜角為銳角；若k0，傾斜角為鈍角；若k不存在，傾斜角為90；若k=0，傾斜角為0.當(dāng)直線斜率k0時，直線斜率越大，傾斜角越大；當(dāng)直線斜率k0時，直線斜率越大，

3、傾斜角越大.4.斜率的意義：斜率間接反映了直線對x軸正向的傾斜程度.因此，要確定一條直線，只要知道直線上的一個定點(diǎn)和它的斜率就可以了.誤區(qū)警示 在求解有關(guān)直線斜率的問題時，考慮直線的傾斜角是否為90，即斜率是否存在是非常必要的，否則容易造成丟解.三、已知直線上兩點(diǎn)求斜率的公式 已知直線上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則其斜率為k=.斜率公式既可以由已知兩點(diǎn)求斜率，也可以由斜率及一點(diǎn)的坐標(biāo)求另一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，即公式的正用與逆用. 直線的斜率公式k=有意義的條件為x1x2，應(yīng)用此公式時常常用到方程思想.誤區(qū)警示 從公式可以看出當(dāng)x1x2，即P1P2與x軸垂直時，k不存在（90

4、）.當(dāng)y1y2，即P1P2與y軸垂直時，k0（0）,并且k的值與P1、P2兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān).問題探究問題1 一次函數(shù)y=kx+b的圖象是什么？k0時，其函數(shù)的單調(diào)性怎樣？對應(yīng)的圖象有什么特征？探究:圖象為直線；k0時，函數(shù)在(-，+)上遞減；其對應(yīng)的圖象的斜率小于0.出現(xiàn)“左高右低”的形式.問題2 任一直線都有傾斜角嗎？都有斜率嗎？是否直線的傾斜角越大，其斜率也越大？探究:都有傾斜角；不一定都有斜率，如=90時，斜率不存在；應(yīng)分0,90)和(90,180)兩個區(qū)間分別說明，直線的斜率關(guān)于該直線的傾斜角的單增性在各自區(qū)間是成立的，而0,180)時，則不正確.問題3 請同學(xué)們在地面上固定一個點(diǎn)P

5、，并放置一根直棒AB，使點(diǎn)P與AB不共線，當(dāng)建立一個直角坐標(biāo)系，使P(0，-2)、A(-2，1)、B(3，2)時，由點(diǎn)P引一根很長的線PQ，當(dāng)線PQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，總與棒AB相交時，你能求出該線PQ的斜率的取值范圍嗎？探究:該問題可以畫圖分析，即可轉(zhuǎn)化為直線PQ由PB逆時針旋轉(zhuǎn)到PA過程中直線PQ的斜率的變化范圍.而kPB=，kPA=,在此旋轉(zhuǎn)過程中，PQ的斜率由kPB變化到無窮大，又由無窮大變化到kPA. 所以PQ的斜率的取值范圍為(-,+).典題熱題例1 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(-2，0)、B(-3，1)，求l的傾斜角.思路解析：先由斜率公式求出斜率，再由斜率與傾斜角的關(guān)系求出傾斜角.當(dāng)斜率k0時

6、，傾斜角為鈍角，利用tan=tan(180-)，其中tan=-k，為銳角.解：設(shè)直線l的斜率為k，傾斜角為，則k=，tan=-1.tan45=1，tan(180-45)=-tan45=-1.=180-45=135，即l的傾斜角為135.深化升華 用公式法求直線的斜率問題,注意分子分母只要前后順序一致即可，順序可以顛倒.由斜率判斷角的范圍時，若直線斜率k0，則傾斜角為銳角；若k0，傾斜角為鈍角；若k不存在，傾斜角為90；若k=0，傾斜角為0.例2 若直線l1的斜率為k1，傾斜角為1，直線l2的斜率為k2，傾斜角為2，且k1+k2=0，k1k20.求證：1+2=180.思路解析：該題進(jìn)一步給出了斜

7、率與傾斜角的關(guān)系，證1+2=180，只需證2=180-1，也即證tan2=tan(180-1)成立，再考慮2與180-1在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可. 證明：如圖3-1-1所示，k1+k2=0，且k1k20，圖3-1-1k10，k20，故k1=-k2， 即tan1=-tan2=tan(180-2).01180，02180，-180-20，0180-2180.1與180-2都在(0，180)中，且1、2都不等于90.1=180-2，即1+2=180.深化升華 本題給出的直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，可以作為結(jié)論來記憶；若兩直線的斜率和為0，則兩直線的傾斜角互補(bǔ).例3 一束光線從點(diǎn)A(-2,3)射入，經(jīng)x軸上點(diǎn)P反射后，通過點(diǎn)B(5，7)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).思路解析：光的反射原理中，入射角與反射角相等，由此可得入射光線與反射光線傾斜角之間的關(guān)系.解：設(shè)P(x，0)，由光的反射原理知，入射角等于反射角，設(shè)入射角為，反射角為，=.所以反射線PB的傾斜角與入射線AP的傾斜角(-)互補(bǔ)，因此，kAP=-kBP，即，解得x=，即P(，0).誤區(qū)警示 光的反射問題中，入射角等于反射角，但入射線的斜率并不等于反射線的斜率，當(dāng)鏡面水平放置時，它們之間是互為相反數(shù)的關(guān)系；另外，在光的反射問題中也經(jīng)常使用對稱思想求解.