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1、橢圓知識點總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題圓錐曲線與方程-橢圓 知識點 一橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓，即點集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；這里兩個定點F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓的焦距2c。（時為線段，無軌跡）。2標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在x軸上：（ab0）；焦點F（c，0）焦點在y軸上：（ab0）；焦點F（0, c）注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點總在長軸上；兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：或者 mx2+ny2=1 二橢圓的簡單幾何性質(zhì)：1.范圍 （1）橢圓（ab0）橫坐標(biāo)-axa ,縱坐標(biāo)

2、-bxb （2）橢圓（ab0）橫坐標(biāo)-bxb,縱坐標(biāo)-axa 2.對稱性 橢圓關(guān)于x軸y軸都是對稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點 （1）橢圓的頂點：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）線段A1A2，B1B2 分別叫做橢圓的長軸長等于2a，短軸長等于2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4離心率 （1）我們把橢圓的焦距與長軸長的比，即稱為橢圓的離心率， 記作e（）， 是圓；e越接近于0 （e越?。?，橢圓就越接近于圓; e越接近于1 （e越大），橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有

3、關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。小結(jié)一：基本元素 （1）基本量：a、b、c、e、（共四個量）， 特征三角形 （2）基本點：頂點、焦點、中心（共七個點）（3）基本線：對稱軸（共兩條線）5橢圓的的內(nèi)外部 （1）點在橢圓的內(nèi)部. （2）點在橢圓的外部. 6.幾何性質(zhì) （1）點P在橢圓上， 最大角 （2）最大距離，最小距離 7. 直線與橢圓的位置關(guān)系 （1）位置關(guān)系的判定：聯(lián)立方程組求根的判別式；（2）弦長公式：（3）中點弦問題：韋達定理法、點差法 例題講解：一.橢圓定義：方程化簡的結(jié)果是 2若的兩個頂點，的周長為，則頂點的軌跡方程是 3.已知橢圓=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3,則P到另一焦點距離為

4、二利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù) 1.若方程+=1（1）表示圓，則實數(shù)k的取值是 . （2）表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 . （3）表示焦點在y型上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 . （4）表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是 . 2.橢圓的長軸長等于 ，短軸長等于 , 頂點坐標(biāo)是 ,焦點的坐標(biāo)是 ,焦距是 ，離心率等于 , 3橢圓的焦距為，則= 。4橢圓的一個焦點是，那么 。三待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 1若橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。2焦點在坐標(biāo)軸上，且，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3焦點在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4. 已知三點P（5，2）、（6，0）、（6，0），求以、為焦點且過點P的橢圓的

5、標(biāo)準(zhǔn)方程；變式：求與橢圓共焦點，且過點的橢圓方程。四焦點三角形 1橢圓的焦點為、，是橢圓過焦點的弦，則的周長是 。2設(shè)，為橢圓的焦點，為橢圓上的任一點，則的周長是多少？的面積的最大值是多少？ 3設(shè)點是橢圓上的一點，是焦點，若是直角，則的面積為 。變式：已知橢圓，焦點為、，是橢圓上一點若， 求的面積 五離心率的有關(guān)問題 1.橢圓的離心率為，則 2.從橢圓短軸的一個端點看長軸兩端點的視角為，則此橢圓的離心率為 3橢圓的一焦點與短軸兩頂點組成一個等邊三角形，則橢圓的離心率為 4.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率。5.在

6、中，若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 六、最值問題：1、已知橢圓，A(1，0)，P為橢圓上任意一點，求|PA|的最大值 最小值 。2.橢圓兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，則|PF1|PF2|的最大值為_， 七、弦長、中點弦問題 1、已知橢圓及直線 （1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？ （2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程 2已知橢圓， (1)求過點（1,0）且被橢圓截得的弦長為的弦所在直線的方程 （2）求過點且被平分的弦所在直線的方程；同步測試 1已知F1(-8，0)，F(xiàn)2(8，0)，動點P滿足|PF1|+|PF2|=16，則點P的軌跡為( ) A 圓 B 橢圓 C線段 D

7、 直線 2、橢圓左右焦點為F1、F2，CD為過F1的弦，則CDF1的周長為_ 3已知方程表示橢圓，則k的取值范圍是( ) A -1k0 C k0 D k1或k0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的離心率 (C)相同的準(zhǔn)線 (D)以上都不對 11、橢圓與（0kb0)的左、右焦點F1、F2作兩條互相垂直的直線l1、l2，它們的交點在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是() A(0,1) B. C. D. 2橢圓1的焦點為F1、F2，橢圓上的點P滿足F1PF260，則F1PF2的面積是() A. B. C. D. 3已知橢圓E的短軸長為6，焦點F到長軸的一個端點的距離等于9，則橢圓E的離心率等于(

8、) 4已知點F，A分別是橢圓1(ab0)的左焦點、右頂點，B(0，b)滿足0，則橢圓的離心率等于() A. B. C. D. 5已知橢圓1的左右焦點分別為F1、F2，過F2且傾角為45的直線l交橢圓于A、B兩點，以下結(jié)論中：ABF1的周長為8；原點到l的距離為1；|AB|；正確結(jié)論的個數(shù)為() A3 B2 C1 D0 6已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是() A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 7過橢圓C：1(ab0)的一個頂點作圓x2y2b2的兩條切線，切點分別為A，B，若AOB90(O為坐標(biāo)原點)，則橢圓C的

9、離心率為_ 8若橢圓1(ab0)與曲線x2y2a2b2無公共點，則橢圓的離心率e的取值范圍是_ 9已知ABC頂點A(4,0)和C(4,0)，頂點B在橢圓1上，則_. 10已知橢圓C：1(ab0)的長軸長為4. (1)若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線yx2相切，求橢圓C的焦點坐標(biāo)；. 11橢圓E經(jīng)過點A(2,3)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e. (1)求橢圓E的方程；以下資料為贈送資料：滴水之中見精神主題班會教案活動目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個人都要保護它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代?；顒舆^程：1.主持人上場，神秘地說：“我

10、讓大家猜個謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”主持人口述謎語：“雙手抓不起，一刀劈不開，煮飯和洗衣，都要請它來?！敝鞒秩藛枺骸罢l知道這是什么？”生答：“水！”一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。 水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！奔祝喝绻麤]有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻了。主持人：下面請聽快板水的用處真叫大竹板一敲來說話，水的用處真叫大；洗衣服，

11、洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。主持人：同學(xué)們，聽完了這個快板，你們說水的用處大不大？甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護水源。（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)

12、們看得可認(rèn)真了，知道了我們北京是個缺水城市，我們再不能浪費水了。（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點掌聲。（1）（生）：小明讓爸爸刷車時把水龍頭開小點，請回答對不對。（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。（3）一生跑上說：主持人請把手機借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個電話，告訴她做飯時別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個小品行嗎？主持人：可以，大家歡迎！請看小品這又不是我家的大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學(xué)生甲乙丙三人分別上廁所，看見

13、后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的?！迸园祝骸澳怯质钦l家的呢？”主持人：看完這個小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？甲：剛才三個同學(xué)太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把水龍頭關(guān)上。乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動關(guān)上了。主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會怎樣做呢？齊：主動關(guān)好。小記者：同學(xué)們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？主持人：可以。小記者：這位同學(xué)，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談?wù)労脝幔看穑何乙龉?jié)水的主人，不浪費一滴水。小記者：請這位同學(xué)談?wù)労脝幔看穑航裉靺⒓影鄷抑懒斯?jié)約每一滴水要從我們每個人做起。我想把每個廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學(xué)們節(jié)約用水了。小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學(xué)們再見！水跑上來說：同學(xué)們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好