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    2024年橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題范文 .docx

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    2024年橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題范文 2024 橢圓 知識(shí)點(diǎn) 總結(jié) 經(jīng)典 習(xí)題 范文
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    橢圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題 圓錐曲線與方程--橢圓 知識(shí)點(diǎn) 一.橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1.橢圓的定義:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,即點(diǎn)集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c}; 這里兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。 (時(shí)為線段,無軌跡)。 2.標(biāo)準(zhǔn)方程: ①焦點(diǎn)在x軸上:(a>b>0);焦點(diǎn)F(±c,0) ②焦點(diǎn)在y軸上:(a>b>0);焦點(diǎn)F(0, ±c) 注意:①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中,總有a>b>0,并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上; ②兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示:或者 mx2+ny2=1 二.橢圓的簡單幾何性質(zhì): 1.范圍 (1)橢圓(a>b>0)橫坐標(biāo)-a≤x≤a ,縱坐標(biāo)-b≤x≤b (2)橢圓(a>b>0)橫坐標(biāo)-b≤x≤b,縱坐標(biāo)-a≤x≤a 2.對稱性 橢圓關(guān)于x軸y軸都是對稱的,這里,坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸,原點(diǎn)是橢圓的對稱中心,橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點(diǎn) (1)橢圓的頂點(diǎn):A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) (2)線段A1A2,B1B2 分別叫做橢圓的長軸長等于2a,短軸長等于2b,a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 4.離心率 (1)我們把橢圓的焦距與長軸長的比,即稱為橢圓的離心率, 記作e(), 是圓; e越接近于0 (e越小),橢圓就越接近于圓; e越接近于1 (e越大),橢圓越扁; 注意:離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān),與其所處的位置無關(guān)。 小結(jié)一:基本元素 (1)基本量:a、b、c、e、(共四個(gè)量), 特征三角形 (2)基本點(diǎn):頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心(共七個(gè)點(diǎn)) (3)基本線:對稱軸(共兩條線) 5.橢圓的的內(nèi)外部 (1)點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部. (2)點(diǎn)在橢圓的外部. 6.幾何性質(zhì) (1)點(diǎn)P在橢圓上, 最大角 (2)最大距離,最小距離 7. 直線與橢圓的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的判定:聯(lián)立方程組求根的判別式; (2)弦長公式: (3)中點(diǎn)弦問題:韋達(dá)定理法、點(diǎn)差法 例題講解: 一.橢圓定義: 1.方程化簡的結(jié)果是 2.若的兩個(gè)頂點(diǎn),的周長為,則頂點(diǎn)的軌跡方程是 3.已知橢圓=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一焦點(diǎn)距離為二.利用標(biāo)準(zhǔn)方程確定參數(shù) 1.若方程+=1(1)表示圓,則實(shí)數(shù)k的取值是 . (2)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 . (3)表示焦點(diǎn)在y型上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 . (4)表示橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 . 2.橢圓的長軸長等于 ,短軸長等于 , 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,焦點(diǎn)的坐標(biāo)是 ,焦距是 ,離心率等于 , 3.橢圓的焦距為,則=。 4.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是,那么 。 三.待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 1.若橢圓經(jīng)過點(diǎn),,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。 2.焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且,的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 3.焦點(diǎn)在軸上,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4. 已知三點(diǎn)P(5,2)、(-6,0)、(6,0),求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; 變式:求與橢圓共焦點(diǎn),且過點(diǎn)的橢圓方程。 四.焦點(diǎn)三角形 1.橢圓的焦點(diǎn)為、,是橢圓過焦點(diǎn)的弦,則的周長是 。 2.設(shè),為橢圓的焦點(diǎn),為橢圓上的任一點(diǎn),則的周長是多少?的面積的最大值是多少? 3.設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),是焦點(diǎn),若是直角,則的面積為 。 變式:已知橢圓,焦點(diǎn)為、,是橢圓上一點(diǎn). 若, 求的面積. 五.離心率的有關(guān)問題 1.橢圓的離心率為,則 2.從橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)看長軸兩端點(diǎn)的視角為,則此橢圓的離心率為 3.橢圓的一焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形,則橢圓的離心率為 4.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若△F1PF2為等腰直角三角形,求橢圓的離心率。 5.在中,.若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn),則該橢圓的離心率 . 六、最值問題: 1、已知橢圓,A(1,0),P為橢圓上任意一點(diǎn),求|PA|的最大值 最小值 。 2.橢圓兩焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在橢圓上,則|PF1|·|PF2|的最大值為_____, 七、弦長、中點(diǎn)弦問題 1、已知橢圓及直線. (1)當(dāng)為何值時(shí),直線與橢圓有公共點(diǎn)? (2)若直線被橢圓截得的弦長為,求直線的方程. 2已知橢圓, (1)求過點(diǎn)(1,0)且被橢圓截得的弦長為的弦所在直線的方程 (2)求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程; 同步測試 1已知F1(-8,0),F(xiàn)2(8,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=16,則點(diǎn)P的軌跡為( ) A 圓 B 橢圓 C線段 D 直線 2、橢圓左右焦點(diǎn)為F1、F2,CD為過F1的弦,則CDF1的周長為______ 3已知方程表示橢圓,則k的取值范圍是( ) A -1k1 B k>0 C k≥0 D k>1或k-1 4、求滿足以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)長軸長為10,短軸長為6 (2)長軸是短軸的2倍,且過點(diǎn)(2,1) (3) 經(jīng)過點(diǎn)(5,1),(3,2)5.橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1、F2,過點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于P點(diǎn)。 若∠F1PF2=60°,則橢圓的離心率為_________ 6已知橢圓的方程為,P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)且,求的面積 7.若橢圓的短軸為AB,它的一個(gè)焦點(diǎn)為F1,則滿足△ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率為 8.橢圓上的點(diǎn)P到它的左焦點(diǎn)的距離是12,那么點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是 9.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、,且,弦AB過點(diǎn),則△的周長 10、橢圓+=1與橢圓+=l(l>0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的離心率 (C)相同的準(zhǔn)線 (D)以上都不對 11、橢圓與(0k9)的關(guān)系為 (A)相等的焦距 (B)相同的的焦點(diǎn) (C)相同的準(zhǔn)線 (D)有相等的長軸、短軸 12.點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),為橢圓的左、右焦點(diǎn),則的最小值為__________ ,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為________________. 感受高考 1.分別過橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1、F2作兩條互相垂直的直線l1、l2,它們的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,則橢圓的離心率的取值范圍是(  ) A.(0,1) B. C. D. 2.橢圓+=1的焦點(diǎn)為F1、F2,橢圓上的點(diǎn)P滿足∠F1PF2=60°,則△F1PF2的面積是(  ) A. B. C. D. 3.已知橢圓E的短軸長為6,焦點(diǎn)F到長軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于9,則橢圓E的離心率等于(  ) 4已知點(diǎn)F,A分別是橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn),B(0,b)滿足·=0,則橢圓的離心率等于(  ) A. B. C. D. 5.已知橢圓+=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過F2且傾角為45°的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),以下結(jié)論中:①△ABF1的周長為8;②原點(diǎn)到l的距離為1;③|AB|=;正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(  ) A.3     B.2     C.1     D.0 6.已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(  ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 7.過橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)作圓x2+y2=b2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,若∠AOB=90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則橢圓C的離心率為________. 8若橢圓+=1(a>b>0)與曲線x2+y2=a2-b2無公共點(diǎn),則橢圓的離心率e的取值范圍是________. 9.已知△ABC頂點(diǎn)A(-4,0)和C(4,0),頂點(diǎn)B在橢圓+=1上,則=________. 10.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的長軸長為4. (1)若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切,求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo); . 11.橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),對稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率e=. (1)求橢圓E的方程; 17
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