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1、此資料由網(wǎng)絡收集而來，如有侵權請告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負責傳遞知識。第 五 講 平面向量和空間向量、平面向量的概念及運算1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標表示法。向量的大小即向量的模（長度），記作| 即向量的大小，記作|。向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量，向

2、量為單位向量1。平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。2向量的運算（1）向量加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設，則+=。

3、規(guī)定：；向量加法滿足交換律與結合律；向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”a.用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。b.三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須“首尾相連”。（2）向量的減法 ：相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記

4、作,零向量的相反向量仍是零向量。關于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）。（3）實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律。3兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。4平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這

5、一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。5平面向量的坐標表示（1）平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。規(guī)定：a.相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；b.向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關系。（2）平面向量的坐標運算：若，則；若，則；若=(x,y)，則=(x,

6、 y)；若，則。典例解析題型1：平面向量的概念【例1】 已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，|ab|=2，則|a+b|等于A.1B.C.D.深化拓展此題也可以利用“解斜三角形”的方法進行處理.【例2】 如圖，G是ABC的重心，求證：+=0. 深化拓展此題也可用向量的坐標運算進行證明.【例3】 設、不共線，點P在AB上，求證：=+且+=1，、R.深化拓展本題也可變?yōu)椋还簿€，若=+，且+=1，R，R，求證：A、B、P三點共線.提示：證明與共線.當=時，=（+），此時P為AB的中點，這是向量的中點公式.【例4】 若a、b是兩個不共線的非零向量（tR）.（1）若a與b起點相同，t為何值時，a、

7、tb、（a+b）三向量的終點在一直線上?（2）若|a|=|b|且a與b夾角為60，那么t為何值時，|atb|的值最小?思考討論兩個向量共線與兩條線段在一條直線上是否一樣?闖關訓練1.已知平面向量a=（3，1），b=（x，3）且ab，則x等于A.3B.1C.1D.32.若a、b為非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，則有A.ab且a、b方向相同B.a=b C.a=bD.以上都不對3.在四邊形ABCD中，等于A.B.C.D.4.設四邊形ABCD中，有=且|=|，則這個四邊形是A.平行四邊形B.矩形 C.等腰梯形D.菱形5.l1、l2是不共線向量，且a=l1+3l2，b=4l1+2l2，c=3l1

8、+12l2，若b、c為一組基底，求向量a.6.設兩向量e1、e2滿足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夾角為60，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.思考討論向量a、b的夾角為鈍角，則cosa，b0，它們互為充要條件嗎?7.已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共線，向量c=2e19e2.問是否存在這樣的實數(shù)、，使向量d=a+b與c共線?8.如圖所示，D、E是ABC中AB、AC邊的中點，M、N分別是DE、BC的中點，已知=a，=b，試用a、b分別表示、和. 9.在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN與CM交于點E，=

9、a，=b，用a、b表示. 思悟小結1.我們學習的向量具有大小和方向兩個要素.用有向線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關系.同向且等長的有向線段都表示同一向量.2.共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結構，它們是進一步研究向量的基礎.3.對于兩個向量平行的充要條件：aba=b，只有b0才是正確的.而當b=0時，ab是a=b的必要不充分條件.4.向量的坐標表示體現(xiàn)了數(shù)形的緊密關系，從而可用“數(shù)”來證明“形”的問題.5.培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力.拓展題例例1 對任意非零向量a、b，求證：|a|b|ab|a|+|b|.例2（1）給出下列命題：若|，則

10、=；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若=，=，則=；=的充要條件是|=|且/； 若/，/，則/；其中正確的序號是 。（2）設為單位向量，（1）若為平面內(nèi)的某個向量，則=|;(2)若與a0平行，則=|；（3）若與平行且|=1，則=。上述命題中，假命題個數(shù)是（ ）A0B1C2D3題型2：平面向量的運算法則例1（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量， 表示出來。（2）在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（ ）A B C D（3）如圖1所示，D是ABC的邊AB上的中點，則向量（ ）A BC D例2設A、B、C、D、

11、O是平面上的任意五點，試化簡： ，。例3設為未知向量，、為已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0題型3：平面向量的坐標及運算例1已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC邊上的高為AD，求。例2已知點,試用向量方法求直線和（為坐標原點）交點的坐標。題型4：平面向量的性質(zhì)例1平面內(nèi)給定三個向量，回答下列問題：（1）求滿足的實數(shù)m,n；（2）若，求實數(shù)k；（3）若滿足，且，求。例2已知（1）求；（2）當為何實數(shù)時，與平行， 平行時它們是同向還是反向？題型5：共線向量定理及平面向量基本定理例1平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（1，3），若點C滿足，其中、R

12、，且+=1，則點C的軌跡方程為（ ）A3x+2y11=0 B（x1）2+（y2）2=5C2xy=0 Dx+2y5=0例2（1）已知=1，=,=0,點C在AOB內(nèi)，且AOC=30，設=m+n(m、nR)，則等于（ ）A B3 C DABOM圖（2）如圖：OMAB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實數(shù)對（x,y）可以是（ ）AB. C. D. 題型6：平面向量綜合問題例1已知向量與的對應關系用表示。（1）證明：對于任意向量及常數(shù)m，n恒有成立；（2）設，求向量及的坐標；（3）求使，（p，q為常數(shù)）的向量的坐標例2求證：起點相同的三個非零向量，32的終點在同

13、一條直線上。、平面向量的數(shù)量積及應用1向量的數(shù)量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則AA（）叫與的夾角；說明：a.當時，與同向；b.當時，與反向；c.當時，與垂直，記；d.注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0q180。C（2）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則=cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義： 等于的長度與在方向上的投影的乘積。（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)向量的模與平方的關系：。乘法公式成立；平面向量數(shù)量積的運算律交換律成立：；對實數(shù)的結合律成立：；分配律成立：。向量的夾角：cos=。當且僅當兩個非零向量與同方向時，