新北師大版九年級數(shù)學(xué)(上冊)知識點(diǎn)匯總 第一章 特殊平行四邊形 第二章 一元二次方程 第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識 第四章 圖形的相似 第五章 投影與視圖 第六章 反比例函數(shù) 第一章 特殊平行四邊形 1.1菱形的性質(zhì)與判定 菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 ※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)；且四條邊都相等；兩條對角線互相垂直平分；每一條對角線平分一組對角。 菱形是軸對稱圖形；每條對角線所在的直線都是對稱軸。 ※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 四條邊都相等的四邊形是菱形。 1.2 矩形的性質(zhì)與判定 ※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。 ※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)；且對角線相等；四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形；有兩條對稱軸） ※矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。 對角線相等的平行四邊形是矩形。 四個角都相等的四邊形是矩形。 ※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 1.3 正方形的性質(zhì)與判定 正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形；有兩條對稱軸） ※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形； 鄰邊相等的矩形是正方形； 對角線相等的菱形是正方形； 對角線互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)： ※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 平行四邊形 菱形 矩形 正方形 一組鄰邊相等 一組鄰邊相等且一個內(nèi)角為直角 （或?qū)蔷€互相垂直平分） 一內(nèi)角為直角 一鄰邊相等 或?qū)蔷€垂直 一個內(nèi)角為直角 （或?qū)蔷€相等） 鵬翔教圖3 ※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；對角線相等。 同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。 ※三角形的中位線平行于第三邊；并且等于第三邊的一半。 ※夾在兩條平行線間的平行線段相等。 ※在直角三角形中；斜邊上的中線等于斜邊的一半 第二章 一元二次方程 2.1 認(rèn)識一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟與系數(shù)的關(guān)系 2.6 應(yīng)用一元二次方程 ※只含有一個未知數(shù)的整式方程；且都可以化為（a、b、c為 常數(shù)；a≠0）的形式；這樣的方程叫一元二次方程。 ※把（a、b、c為常數(shù)；a≠0）稱為一元二次方程的一般形式；a為二次項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即將其變?yōu)榈男问? ②公式法 （注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形式） ③分解因式法 把方程的一邊變成0；另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） ※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②將二次項(xiàng)系數(shù)化成1； ③把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊； ④兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方； ⑤把方程轉(zhuǎn)化成的形式； ⑥兩邊開方求其根。 ※根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)；方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)b2-4ac=0時(shí)；方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)b2-4ac<0時(shí)；方程無實(shí)數(shù)根。 ※如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2；則有：。 ※一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用： （1）已知方程的一根；求另一根； （2）不解方程；求二次方程的根x1、x2的對稱式的值；特別注意以下公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦其他能用或表達(dá)的代數(shù)式。 （3）已知方程的兩根x1、x2；可以構(gòu)造一元二次方程： （4）已知兩數(shù)x1、x2的和與積；求此兩數(shù)的問題；可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的根 ※在利用方程來解應(yīng)用題時(shí)；主要分為兩個步驟：①設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí)；大多數(shù)情況只要設(shè)問題為x；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；②尋找等量關(guān)系（一般地；題目中會含有一表述等量關(guān)系的句子；只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。 ※處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為： 第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識 3.1 用樹狀圖或表格求概率 3.2 用頻率估計(jì)概率 ※在頻率分布表里；落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù)； 每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率； 即： 在頻率分布直方圖中；由于各個小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率；而各組頻率的和等于1。因此；各個小長方形的面積的和等于1。 ※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式；前者準(zhǔn)確；后者直觀。 用一件事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。 可用列表的方法求出概率；但此方法不太適用較復(fù)雜情況。 ※假設(shè)布袋內(nèi)有m個黑球；通過多次試驗(yàn)；我們可以估計(jì)出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球；它為白球的概率； ※要估算池塘里有多少條魚；我們可先從池塘里捉上100條魚做記號；再放回池塘；之后再從池塘中捉上200條魚；如果其中有10條魚是有標(biāo)記的；再設(shè)池塘共有x條魚；則可依照估算出魚的條數(shù)。（注意估算出來的數(shù)據(jù)不是確切的；所以應(yīng)謂之“約是XX”） ※生活中存在大量的不確定事件；概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型；它能準(zhǔn)確地衡量出事件發(fā)生的可能性的大小；并不表示一定會發(fā)生。 概率的求法： （1）一般地；如果在一次試驗(yàn)中；有n種可能的結(jié)果；并且它們發(fā)生的可能性都相等；事件A包含其中的m個結(jié)果；那么事件A發(fā)生的概率為P（A）= （2）、列表法 用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 （3）樹狀圖法 通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果；求出其概率的方法叫做樹狀圖法。 （當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個或更多的因素時(shí)；用列表法就不方便了；為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果；通常采用樹狀圖法求概率。） 第四章 圖形的相似 4.1 成正比線段 4.2 平行線段成比例 4.3 形似多邊形 4.4 探索三角形相似的條件 4.5 相似三角形判定定理的證明 4.6 利用相似三角形測高 4.7 相似三角形的性質(zhì) 4.8 圖形的位似 一. 線段的比 ※1. 如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB； CD的長度分別是m、n；那么就說這兩條線段的比AB:CD=m:n ；或?qū)懗? ※2. 四條線段a、b、c、d中；如果a與b的比等于c與d的比；即；那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段；簡稱比例線段. ※3. 注意點(diǎn): ①a:b=k；說明a是b的k倍; ②由于線段 a、b的長度都是正數(shù)；所以k是正數(shù); ③比與所選線段的長度單位無關(guān)；求出時(shí)兩條線段的長度單位要一致; _ 圖1 _ B _ C _ A ④除了a=b之外；a:b≠b:a； 與互為倒數(shù); ⑤比例的基本性質(zhì):若； 則ad=bc; 若ad=bc； 則 二. 黃金分割 ※1. 如圖1；點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC；如果；那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割；點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)；AC與AB的比叫做黃金比. ※2.黃金分割點(diǎn)是最優(yōu)美、最令人賞心悅目的點(diǎn). 四. 相似多邊形 ¤1. 一般地；形狀相同的圖形稱為相似圖形. ※2. 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比. 五. 相似三角形 ※1. 在相似多邊形中；最為簡簡單的就是相似三角形. ※2. 對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比. ※3. 全等三角形是相似三角的特例；這時(shí)相似比等于1. 注意:證兩個相似三角形；與證兩個全等三角形一樣；應(yīng)把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上. ※4. 相似三角形對應(yīng)高的比；對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比. ※5. 相似三角形周長的比等于相似比. ※6. 相似三角形面積的比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的條件 _ 圖2 _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _ 3 _ l _ 2 _ l _ 1 ※1. 相似三角形的判定方法: 一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線；所截得的三角形與原三角形相似. ①兩角對應(yīng)相等; ②兩邊對應(yīng)成比例；且夾角相等; ③三邊對應(yīng)成比例. ①一個銳角對應(yīng)相等; ②兩條邊對應(yīng)成比例: a. 兩直角邊對應(yīng)成比例; b. 斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例. ※2. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線；所得的對應(yīng)線段成比例. 如圖2； l1 // l2 // l3；則. ※3. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交；所構(gòu)成的三角形與原三角形相似. 八. 相似的多邊形的性質(zhì) ※相似多邊形的周長等于相似比;面積比等于相似比的平方. 九. 圖形的放大與縮小 ※1. 如果兩個圖形不僅是相似圖形；而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)；那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形; 這個點(diǎn)叫做位似中心; 這時(shí)的相似比又稱為位似比. ※2. 位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比. ◎3. 位似變換: ①變換后的圖形；不僅與原圖相似；而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)；并且對應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點(diǎn)叫做位似中心. ②一個圖形經(jīng)過位似變換后得到另一個圖形；這兩個圖形就叫做位似形. ③利用位似的方法；可以把一個圖形放大或縮小. 第五章 投影與視圖 5.1 投影 5.2 視圖 ※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。 三視圖之間要保持長對正；高平齊；寬相等。一般地；俯視圖要畫在主視圖的下方；左視圖要畫在正視圖的右邊。 主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象 俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象 左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象 ※視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面(平面或曲面)；而相連的兩個閉合線框一定不在一個平面上。 ※在一個外形線框內(nèi)所包括的各個小線框；一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小的平面體（或曲面體）。 ※在畫視圖時(shí)；看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線；看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。 物體在光線的照射下；會在地面或墻壁上留下它的影子；這就是投影。 太陽光線可以看成平行的光線；像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。 探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的；像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。 ※區(qū)分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。 眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。 ※從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影；是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。 ①點(diǎn)在一個平面上的投影仍是一個點(diǎn)； ②線段在一個面上的投影可分為三種情況： 線段垂直于投影面時(shí)；投影為一點(diǎn)； 線段平行于投影面時(shí)；投影長度等于線段的實(shí)際長度； 線段傾斜于投影面時(shí)；投影長度小于線段的實(shí)際長度。 ③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況： 平面圖形和投影面平行的情況下；其投影為實(shí)際形狀； 平面圖形和投影面垂直的情況下；其投影為一線段； 平面圖形和投影面傾斜的情況下；其投影小于實(shí)際的形狀。 第六章 反比例函數(shù) 6.1 反比例函數(shù) 6.2 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì) 6.3 反比例函數(shù)的應(yīng)用 ※反比例函數(shù)的概念：一般地；（k為常數(shù)；k≠0）叫做反比例函數(shù)；即y是x的反比例函數(shù)。 （x為自變量；y為因變量；其中x不能為零） ※反比例函數(shù)的等價(jià)形式：y是x的反比例函數(shù) ←→ ←→ ←→ ←→ 變量y與x成反比例；比例系數(shù)為k. ※判斷兩個變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：①按照反比例函數(shù)的定義判斷；②看兩個變量的乘積是否為定值<即>。（通常第二種方法更適用） ※反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成；叫做雙曲線 ※反比例函數(shù)的畫法的注意事項(xiàng)：①反比例函數(shù)的圖象不是直線；所“兩點(diǎn)法”是不能畫的； ②選取的點(diǎn)越多畫的圖越準(zhǔn)確； ③畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特征）。 ※反比例函數(shù)性質(zhì)： ①當(dāng)k>0時(shí)；雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi)；y隨x的增大而減?。? ②當(dāng)k<0時(shí)；雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi)；y隨x的增大而增大； ③雙曲線的兩支會無限接近坐標(biāo)軸（x軸和y軸）；但不會與坐標(biāo)軸相交。 ※反比例函數(shù)圖象的幾何特征:(如圖4所示) P B A O P B A O 圖4 點(diǎn)P(x；y)在雙曲線上都有 12 / 12