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1、數數學學K K 單元單元概率概率K1K1隨隨機機事件的概率事件的概率20K1、K5、K6、K8、K92014湖北卷 計劃在某水庫建一座至多安裝 3 臺發(fā)電機的水電站，過去 50 年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超過120 的年份有 35 年，超過 120 的年份有 5 年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立(1)求未來 4 年中，至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多

2、可運行臺數受年入流量 X限制，并有如下關系：年入流量 X40X120發(fā)電機最多可運行臺數123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為 5000 萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800 萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？20解：(1)依題意，p1P(40X120)5500.1.由二項分布得，在未來 4 年中至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率為pC04(1p3)4C14(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)記水電站年總利潤為 Y(單位：萬元)安裝 1 臺發(fā)電機的情形由于水庫年入流量總大于 40，故一臺發(fā)電機運行的概率為 1，對應的年利潤

3、Y5000，E(Y)500015000.安裝 2 臺發(fā)電機的情形依題意，當 40X80 時，一臺發(fā)電機運行，此時 Y50008004200，因此 P(Y4200)P(40X80)p10.2；當 X80 時，兩臺發(fā)電機運行，此時 Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得 Y 的分布列如下：Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)42000.210 0000.88840.安裝 3 臺發(fā)電機的情形依題意，當 40X80 時，一臺發(fā)電機運行，此時 Y500016003400，因此 P(Y3400)P(40X120 時，三臺發(fā)電機運行，此時 Y500

4、0315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得 Y 的分布列如下：Y3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.715 0000.18620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機 2 臺17K1，K5，K6，K82014四川卷 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得 10 分，出現兩次音樂獲得 20 分，出現三次音樂獲得 100 分，沒有出現音樂則扣除 200分(即獲得200 分)設每次擊鼓出現音樂的概率為12，且各次

5、擊鼓出現音樂相互獨立(1)設每盤游戲獲得的分數為 X，求 X 的分布列(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因17解：(1)X 可能的取值為 10，20，100，200.根據題意，有P(X10)C13121112238，P(X20)C23122112138，P(X100)C33123112018，P(X200)C03120112318.所以 X 的分布列為：X1020100200P38381818(2)設“第 i 盤游戲沒有出現音樂”為事件 Ai(i1，2

6、，3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18.所以“三盤游戲中至少有一盤出現音樂”的概率為 1P(A1A2A3)118311512511512.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現音樂的概率是511512.(3)由(1)知，X 的數學期望為 EX10382038100182001854.這表明，獲得分數 X 的均值為負因此，多次游戲之后分數減少的可能性更大K2K2古典概型古典概型11J2、K22014廣東卷 從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七個不同的數，則這七個數的中位數是 6 的概率為_11.16解析 本題主要考查古典概型概率的計算，注意中位數的求法從 0，1，2，

7、3，4，5，6，7，8，9 中任取七個不同的數，有 C710種方法，若七個數的中位數是 6，則只需從0，1，2，3，4，5 中選三個，從 7，8，9 中選三個不同的數即可，有 C36C33種方法故這七個數的中位數是 6 的概率 PC36C33C71016.18K2、K6、K82014福建卷 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對 1000 位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有 4 個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出 2 個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額(1)若袋中所裝的 4 個球中有 1 個所標的面值為 50 元，其余 3 個均為 10 元，求：(i)顧客所獲的獎勵額為 60

8、 元的概率；(ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望(2)商場對獎勵總額的預算是 60 000 元，并規(guī)定袋中的 4 個球只能由標有面值 10 元和50 元的兩種球組成，或標有面值 20 元和 40 元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的 4 個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由18解：(1)設顧客所獲的獎勵額為 X.(i)依題意，得 P(X60)C11C13C2412.即顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率為12，(ii)依題意，得 X 的所有可能取值為 20，60.P(X60)12，P(X20)C23C2412，即 X 的分

9、布列為X2060P0.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為 E(X)200.5600.540(元)(2)根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為 60 元所以，先尋找期望為 60 元的可能方案對于面值由 10 元和 50 元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因為 60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為 60 元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因為 60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案 1.對于面值由 20 元和 40 元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40

10、，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案 2.以下是對兩個方案的分析：對于方案 1，即方案(10，10，50，50)，設顧客所獲的獎勵額為 X1，則 X1的分布列為X12060100P162316X1的期望為 E(X1)201660231001660，X1的方差為 D(X1)(2060)216(6060)223(10060)21616003.對于方案 2，即方案(20，20，40，40)，設顧客所獲的獎勵額為 X2，則 X2的分布列為X2406080P162316X2的期望為 E(X2)40166023801660，X2的方差為 D(X2)(4060)216(606

11、0)223(8060)2164003.由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案 2 獎勵額的方差比方案 1 的小，所以應該選擇方案 2.5 K22014新課標全國卷 4 位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為()A.18B.38C.58D.785D解析 每位同學有 2 種選法，基本事件的總數為 2416，其中周六、周日中有一天無人參加的基本事件有 2 個，故周六、周日都有同學參加公益活動的概率為 121678.6K22014陜西卷 從正方形四個頂點及其中心這 5 個點中，任取 2 個點，則這 2 個點的距離不小于該正方形邊長的概率為()A

12、.15B.25C.35D.456C解析 利用古典概型的特點可知從 5 個點中選取 2 個點的全部情況有 C2510(種)，選取的 2 個點的距離不小于該正方形邊長的情況有：選取的 2 個點的連線為正方形的 4 條邊長和 2 條對角線長，共有 6 種故所求概率 P61035.16K2、K4、K62014天津卷 某大學志愿者協會有 6 名男同學，4 名女同學在這10 名同學中，3 名同學來自數學學院，其余 7 名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院現從這 10 名同學中隨機選取 3 名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)(1)求選出的 3 名同學是來自互不相同學院的概率

13、；(2)設 X 為選出的 3 名同學中女同學的人數，求隨機變量 X 的分布列和數學期望16解：(1)設“選出的 3 名同學是來自互不相同的學院”為事件 A，則P(A)C13C27C03C37C3104960，所以選出的 3 名同學是來自互不相同學院的概率為4960.(2)隨機變量 X 的所有可能值為 0，1，2，3.P(Xk)Ck4C3k6C310(k0，1，2，3)，所以隨機變量 X 的分布列是X0123P1612310130隨機變量 X 的數學期望 E(X)0161122310313065.9K2、K82014浙江卷 已知甲盒中僅有 1 個球且為紅球，乙盒中有 m 個紅球和 n 個藍球(m

14、3，n3)，從乙盒中隨機抽取 i(i1，2)個球放入甲盒中(a)放入 i 個球后，甲盒中含有紅球的個數記為i(i1，2)；(b)放入 i 個球后，從甲盒中取 1 個球是紅球的概率記為 pi(i1，2)則()Ap1p2，E(1)E(2)Bp1E(2)Cp1p2，E(1)E(2)Dp1p2，E(1)p2；E(1)13623632，E(2)1C23C262C13C13C263C23C262，則E(1)0；E(1)1nmn2mmn2mnmn，E(2)1C2nC2mn2C1mC1nC2mn3C2mC2mn3m23m4mnn2n（mn）（mn1），E(1)E(2)m2mmn（mn）（mn1）0，故選 A.

15、18K2，K62014重慶卷 一盒中裝有 9 張各寫有一個數字的卡片，其中 4 張卡片上的數字是 1，3 張卡片上的數字是 2，2 張卡片上的數字是 3.從盒中任取 3 張卡片(1)求所取 3 張卡片上的數字完全相同的概率；(2)X 表示所取 3 張卡片上的數字的中位數，求 X 的分布列與數學期望(注：若三個數 a，b，c 滿足 abc，則稱 b 為這三個數的中位數)18解：(1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為 PC34C33C39584.(2)X 的所有可能值為 1，2，3，且P(X1)C24C15C34C391742，P(X2)C13C14C12C23C16C33C394384，P

16、(X3)C22C17C39112，故 X 的分布列為X123P17424384112從而 E(X)117422438431124728.K3K3幾何概型幾何概型14B13、K32014福建卷 如圖 14，在邊長為 e(e 為自然對數的底數)的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_圖 1414.2e2解析 因為函數 yln x 的圖像與函數 yex的圖像關于正方形的對角線所在直線 yx 對稱，則圖中的兩塊陰影部分的面積為S2錯誤錯誤!ln xdx2(xln xx)e12(eln ee)(ln 11)2，故根據幾何概型的概率公式得，該粒黃豆落到陰影部分的概率 P2e2.7K32014湖北卷 由不等式組x0，y0，yx20確定的平面區(qū)域記為1，不等式組xy1，xy2確定的平面區(qū)域記為2，在1中隨機取一點，則該點恰好在2內的概率為()A.18B.14C.34D.787D解析 作出1，2表示的平面區(qū)域如圖所示，S1SAOB12222，SBCE1211214，則 S四邊形AOECS1SBCE21474.故由幾何概型得，所求的概率 PS四邊形AOECS174278.故選 D.14K320