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1、學案學案 2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件導(dǎo)學目標：導(dǎo)學目標：1.能寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.2.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義自主梳理自主梳理1命題用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題一般地，用 p 和 q 分別表示原命題的條件和結(jié)論，用綈 p 和綈 q 分別表示 p 和 q 的否定，于是四種命題的形式就是原命題：若 p 則 q(pq)；逆命題：若 q 則 p(qp)；否命題：若綈 p 則綈 q(綈 p綈

2、q)；逆否命題：若綈 q 則綈 p(綈 q綈 p)(2)四種命題間的關(guān)系(3)四種命題的真假性兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性兩個命題為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件與必要條件若 pq，則 p 叫做 q 的充分條件；若 qp，則 p 叫做 q 的必要條件；如果 pq，則 p叫做 q 的充要條件自我檢測自我檢測1(2010湖南)下列命題中的假命題是()AxR，lg x0 BxR，tan x1CxR，x30 DxR,2x0答案C解析對于 C 選項，當 x0 時，030，因此xR，x30 是假命題2(2010陜西)“a0”是“|a|0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件

3、C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析a0|a|0，|a|0a0，“a0”是“|a|0”的充分不必要條件3(2009浙江)“x0”是“x0”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案A解析對于“x0”“x0”，反之不一定成立，因此“x0”是“x0”的充分而不必要條件4若命題 p 的否命題為 r，命題 r 的逆命題為 s，則 s 是 p 的逆命題 t 的()A逆否命題 B逆命題C否命題 D原命題答案C解析由四種命題逆否關(guān)系知，s 是 p 的逆命題 t 的否命題5(2011宜昌模擬)與命題“若 aM，則 bM”等價的命題是()A若 aM，則 bMB若

4、bM，則 aMC若 aM，則 bMD若 bM，則 aM答案D解析因為原命題只與逆否命題是等價命題，所以只需寫出原命題的逆否命題即可探究點一四種命題及其相互關(guān)系例 1 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假(1)實數(shù)的平方是非負數(shù)；(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的弧解題導(dǎo)引給出一個命題，判斷其逆命題、否命題、逆否命題等的真假時，如果直接判斷命題本身的真假比較困難，則可以通過判斷它的等價命題的真假來確定解(1)逆命題：若一個數(shù)的平方是非負數(shù)，則這個數(shù)是實數(shù)真命題否命題：若一個數(shù)不是實數(shù)，則它的平方不是非負數(shù)真命題逆否命題：若一個數(shù)的

5、平方不是非負數(shù)，則這個數(shù)不是實數(shù)真命題(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高真命題否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等真命題逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高假命題(3)逆命題：若一條直線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線真命題否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的弧 真命題逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線真命題變式遷移 1有下列四個命題：“若 xy0，則 x，y 互為相反數(shù)”的逆命題；“全等三角形的面積相等”的否命題；“若 q1，則

6、x22xq0 有實根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題其中真命題的序號為_答案解析的逆命題是“若 x，y 互為相反數(shù)，則 xy0”，真；的否命題是“不全等的三角形的面積不相等”，假；若 q1，則 44q0，所以 x22xq0 有實根，其逆否命題與原命題是等價命題，真；的逆命題是“三個內(nèi)角相等的三角形是不等邊三角形”，假探究點二充要條件的判斷例 2 給出下列命題，試分別指出 p 是 q 的什么條件(1)p：x20；q：(x2)(x3)0.(2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等(3)p：m2；q：方程 x2xm0 無實根(4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等解(

7、1)x20(x2)(x3)0；而(x2)(x3)0 x20.p 是 q 的充分不必要條件(2)兩個三角形相似兩個三角形全等；但兩個三角形全等兩個三角形相似p 是 q 的必要不充分條件(3)m2方程 x2xm0 無實根；方程 x2xm0 無實根m2.p 是 q 的充分不必要條件(4)矩形的對角線相等，pq；而對角線相等的四邊形不一定是矩形，qp.p 是 q 的充分不必要條件變式遷移 2(2011邯鄲月考)下列各小題中，p 是 q 的充要條件的是()p：m6；q：yx2mxm3 有兩個不同的零點；p：1；q：yf(x)是偶函數(shù)；fxfxp：cos cos；q：tan tan；p：ABA；q：UBU

8、A.A B C D答案D解析q：yx2mxm3 有兩個不同的零點q：m24(m3)0q：m6p；當 f(x)0 時，由 qp；若，k，kZ 時，顯然 cos cos，但2tan tan；p：ABAp：ABq：UAUB.故符合題意探究點三充要條件的證明例 3 設(shè) a，b，c 為ABC 的三邊，求證：方程 x22axb20 與 x22cxb20 有公共根的充要條件是A90.解題導(dǎo)引有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件”“結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論”“條件”是證明命題的必要性證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性證明(1)必要性：設(shè)方程 x22axb20 與 x2

9、2cxb20 有公共根 x0，則 x 2ax0b20，x 2cx0b20，2 02 0兩式相減可得 x0，將此式代入 x 2ax0b20，b2ca2 0可得 b2c2a2，故A90，(2)充分性：A90，b2c2a2，b2a2c2.將代入方程 x22axb20，可得 x22axa2c20，即(xac)(xac)0.將代入方程 x22cxb20，可得 x22cxc2a20，即(xca)(xca)0.故兩方程有公共根 x(ac)所以方程 x22axb20 與 x22cxb20 有公共根的充要條件是A90.變式遷移 3已知 ab0，求證：ab1 的充要條件是 a3b3aba2b20.證明(1)必要性

10、：ab1，ab10.a3b3aba2b2(ab)(a2abb2)(a2abb2)(ab1)(a2abb2)0.(2)充分性：a3b3aba2b20，即(ab1)(a2abb2)0.又 ab0，a0 且 b0.a2abb2(a)2 b20.b234ab10，即 ab1.綜上可知，當 ab0 時，ab1 的充要條件是 a3b3aba2b20.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12 分)已知兩個關(guān)于 x 的一元二次方程 mx24x40 和 x24mx4m24m50，且 mZ.求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件【答題模板】【答題模板】解mx24x40 是一元二次方程，m0.2 分另一方程為 x24mx4m24m50

11、，兩方程都要有實根，Error!解得 m，1 6 分54兩根為整數(shù)，故和與積也為整數(shù)，Error!，m 為 4 的約數(shù)，8 分m1 或 1，當 m1 時，第一個方程 x24x40 的根為非整數(shù)，而當 m1 時，兩方程均為整數(shù)根，兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是 m1.12 分【突破思維障礙】【突破思維障礙】本題涉及到參數(shù)問題，先用轉(zhuǎn)化思想將生疏復(fù)雜的問題化歸為簡單、熟悉的問題解決，兩方程有實根易想 0.求出 m 的范圍，要使兩方程根都為整數(shù)可轉(zhuǎn)化為它們的兩根之和與兩根之積都是整數(shù)【易錯點剖析】【易錯點剖析】易忽略一元二次方程這個條件隱含著 m0，不易把方程的根都是整數(shù)轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積都是

12、整數(shù)1研究命題及其關(guān)系時，要分清命題的題設(shè)和結(jié)論，把命題寫成“如果，那么”的形式，當一個命題有大前提時，必須保留大前提，只有互為逆否的命題才有相同的真假性2在解決充分條件、必要條件等問題時，要給出 p 與 q 是否可以相互推出的兩次判斷，同時還要弄清是 p 對 q 而言，還是 q 對 p 而言還要分清否命題與命題的否定的區(qū)別3本節(jié)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想(滿分：75 分)一、選擇題(每小題 5 分，共 25 分)1(2010天津模擬)給出以下四個命題：若 ab0，則 a0 或 b0；若 ab，則 am2bm2；在ABC 中，若 sin Asin B，則 AB；在一元二次方程 ax2bxc0

13、中，若 b24ac0，則方程有實數(shù)根其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是()A B C D答案C解析對命題，其原命題和逆否命題為真，但逆命題和否命題為假；對命題，其原命題和逆否命題為假，但逆命題和否命題為真；對命題，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為真；對命題，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為假2(2010浙江)設(shè) 0 x，則“xsin2x1”是“xsin x1”的()2A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析0 x，0sin x1.2xsin x1xsin2x1，而 xsin2x1xsin x1.故選 B.3(2009北

14、京)“2k(kZ)”是“cos 2”的()612A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由 2k(kZ)可得到 cos 2.612由 cos 2 得 22k(kZ)123k(kZ)6所以 cos 2 不一定得到 2k(kZ)1264(2011威海模擬)關(guān)于命題“若拋物線 yax2bxc 的開口向下，則x|ax2bxc0”的逆命題、否命題、逆否命題，下列結(jié)論成立的是()A都真 B都假C否命題真 D逆否命題真答案D解析本題考查四種命題之間的關(guān)系及真假判斷對于原命題：“若拋物線 yax2bxc 的開口向下，則x|ax2bxc0”，這是一個真命題，所以其逆否命

15、題也為真命題，但其逆命題：“若x|ax2bxc0，則拋物線yax2bxc 的開口向下”是一個假命題，因為當不等式 ax2bxc0，即拋物線的開口可以向上因此否命題也是假命題5(2011棗莊模擬)集合 Ax|x|4，xR，Bx|x5”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析Ax|4x4，若 AB，則 a4，a4a5，但 a5a4.故選 B.二、填空題(每小題 4 分，共 12 分)6“x10 且 x20”是“x1x20 且 x1x20”的_條件答案充要7(2011惠州模擬)已知 p：(x1)(y2)0，q：(x1)2(y2)20，則 p 是 q 的_條

16、件答案必要不充分解析由(x1)(y2)0 得 x1 或 y2，由(x1)2(y2)2 0 得 x1 且 y2，所以由 q 能推出 p，由 p 推不出 q,所以填必要不充分條件8已知 p(x)：x22xm0，如果 p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù) m 的取值范圍為_答案3,8)解析因為 p(1)是假命題，所以 12m0，解得 m3；又因為 p(2)是真命題，所以 44m0，解得 m8.故實數(shù) m 的取值范圍是 3m8.三、解答題(共 38 分)9(12 分)(2011許昌月考)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假(1)若 q1，則方程 x22xq0 有實根；(2

17、)若 ab0，則 a0 或 b0；(3)若 x2y20，則 x、y 全為零解(1)逆命題：若方程 x22xq0 有實根，則 q1，為假命題否命題：若 q1，則方程 x22xq0 無實根，為假命題逆否命題：若方程 x22xq0 無實根，則 q1，為真命題(4 分)(2)逆命題：若 a0 或 b0，則 ab0，為真命題否命題：若 ab0，則 a0 且 b0，為真命題逆否命題：若 a0 且 b0，則 ab0，為真命題(8 分)(3)逆命題：若 x、y 全為零，則 x2y20，為真命題否命題：若 x2y20，則 x、y 不全為零，為真命題逆否命題：若 x、y 不全為零，則 x2y20，為真命題(12

18、分)10(12 分)設(shè) p：實數(shù) x 滿足 x24ax3a20，其中 a0，且綈 p 是綈 q 的必要不充分條件，求 a 的取值范圍解設(shè) Ax|px|x24ax3a20，a0 x|3axa，a0 x|x2x60 x|x22x80 x|2x3x|x2x|x4 或 x2(4 分)綈 p 是綈 q 的必要不充分條件，綈 q綈 p，且綈 p綈 q.則x|綈 qx|綈 p，(6 分)而x|綈 qRBx|4x2，x|綈 pRAx|x3a 或 xa，a0，x|4x2x|x3a 或 xa，a0，(10 分)則Error!或Error!(11 分)綜上，可得 a0 或 x4.(12 分)2311(14 分)已知數(shù)列an的前 n 項和 Snpnq(p0，且 p1)，求證：數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件為 q1.證明充分性：當 q1 時，a1S1pqp1.(2 分)當 n2 時，anSnSn1pn1(p1)當 n1 時也成立(4 分)于是p(nN*)，an1anpnp1pn1p1即數(shù)列an為等比數(shù)列(6 分)必要性：當 n1 時，a1S1pq.當 n2 時，anSnSn1pn1(p1)p0，p1，p.(10 分)an1anpnp1pn1p1an為等比數(shù)列，p，即p，a2a1an1anpp1pq即 p1pq.q1.(13 分)綜上所述，q1 是數(shù)列an為等比數(shù)列的充要條件(14 分)