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1、 抽象函數的對稱性、奇偶性與周 1、周期函數的定義：對于定義域內的每一個，都存在非零常數，使得恒成立，則稱函數具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數叫的最小正周期。分段函數的周期：設是周期函數，在任意一個周期內的圖像為C:。把個單位即按向量在其他周期的圖像：。2、奇偶函數：設若若。分段函數的奇偶性3、函數的對稱性：二、函數對稱性的幾個重要結論（一）函數圖象本身的對稱性（自身對稱）若，則具有周期性；若，則具有對稱性：“內同表示周期性，內反表示對稱性”。1、 圖象關于直線對稱推論1： 的圖象關于直線對稱推論2、 的圖象關于直線對稱推論3、 的圖象關于直線對稱2、 的圖象

2、關于點對稱推論1、 的圖象關于點對稱推論2、 的圖象關于點對稱推論3、 的圖象關于點對稱（二）兩個函數的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）1、偶函數與圖象關于Y軸對稱2、奇函數與圖象關于原點對稱函數3、函數與圖象關于X軸對稱4、互為反函數與函數圖象關于直線對稱5.函數與圖象關于直線對稱 推論1:函數與圖象關于直線對稱推論2:函數與 圖象關于直線對稱推論3:函數與圖象關于直線對稱 （三）抽象函數的對稱性與周期性1、抽象函數的對稱性性質1 若函數yf(x)關于直線xa軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2a

3、x)f(x)性質2 若函數yf(x)關于點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)為偶（或奇）函數分別為性質1（或2）當a0時的特例。2、復合函數的奇偶性定義1、 若對于定義域內的任一變量x，均有fg(x)fg(x)，則復數函數yfg(x)為偶函數。定義2、 若對于定義域內的任一變量x，均有fg(x)fg(x)，則復合函數yfg(x)為奇函數。說明：（1）復數函數fg(x)為偶函數，則fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)，復合函數yfg(x)為奇函數，則fg(x)fg(x)而不是fg(

4、x)fg(x)。（2）兩個特例：yf(xa)為偶函數，則f(xa)f(xa)；yf(xa)為奇函數，則f(xa)f(ax)（3）yf(xa)為偶（或奇）函數，等價于單層函數yf(x)關于直線xa軸對稱（或關于點（a，0）中心對稱）3、復合函數的對稱性性質3復合函數yf(ax)與yf(bx)關于直線x（ba）/2軸對稱性質4、復合函數yf(ax)與yf(bx)關于點（ba）/2，0）中心對稱推論1、 復合函數yf(ax)與yf(ax)關于y軸軸對稱推論2、 復合函數yf(ax)與yf(ax)關于原點中心對稱4、函數的周期性若a是非零常數，若對于函數yf(x)定義域內的任一變量x點有下列條件之一成

5、立，則函數yf(x)是周期函數，且2|a|是它的一個周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函數的對稱性與周期性性質5 若函數yf(x)同時關于直線xa與xb軸對稱，則函數f(x)必為周期函數，且T2|ab|性質6、若函數yf(x)同時關于點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函數f(x)必為周期函數，且T2|ab|性質7、若函數yf(x)既關于點（a，0）中心對稱，又關于直線xb軸對稱，則函數f(x)必為周期函數，且T4|ab| 6、函數對稱性的應用 （1）若,即 （2）例題 1、; 2、奇函數的圖像關于原點（0，0）對稱：。 3、若的

6、圖像關于直線對稱。設.（四）常用函數的對稱性三、函數周期性的幾個重要結論1、( ) 的周期為，()也是函數的周期2、 的周期為3、 的周期為4、 的周期為5、 的周期為6、 的周期為7、 的周期為8、 的周期為9、 的周期為10、若11、有兩條對稱軸和 周期推論：偶函數滿足 周期12、有兩個對稱中心和 周期推論：奇函數滿足 周期13、有一條對稱軸和一個對稱中心的四、用函數奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應用函數奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答某些數學問題，它對訓練學生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實例說明其應用類型。1.求函數值例1.（1996年高考題）設是上的奇函數

7、，當時，則等于（-0.5）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例2（1989年北京市中學生數學競賽題）已知是定義在實數集上的函數，且，求的值.。2、比較函數值大小例3.若是以2為周期的偶函數，當時，試比較、的大小.解：是以2為周期的偶函數，又在上是增函數，且，3、求函數解析式例4.（1989年高考題）設是定義在區(qū)間上且以2為周期的函數，對，用表示區(qū)間已知當時，求在上的解析式.解：設時，有 是以2 為周期的函數，.例5設是定義在上以2為周期的周期函數，且是偶函數，在區(qū)間上，求時，的解析式.解：當，即，又是以2為周期的周期函數，于是當，即時，4、判斷函數奇偶性例6.已

8、知的周期為4，且等式對任意均成立，判斷函數的奇偶性.解：由的周期為4，得，由得，故為偶函數.5、確定函數圖象與軸交點的個數例7.設函數對任意實數滿足， 判斷函數圖象在區(qū)間上與軸至少有多少個交點.解：由題設知函數圖象關于直線和對稱，又由函數的性質得是以10為周期的函數.在一個周期區(qū)間上，故圖象與軸至少有2個交點.而區(qū)間有6個周期，故在閉區(qū)間上圖象與軸至少有13個交點.6、在數列中的應用例8.在數列中，求數列的通項公式，并計算分析：此題的思路與例2思路類似.解：令則不難用歸納法證明數列的通項為：，且以4為周期.于是有1，5，9 1997是以4為公差的等差數列，由得總項數為500項，7、在二項式中的

9、應用例9.今天是星期三，試求今天后的第天是星期幾？分析：轉化為二項式的展開式后，利用一周為七天這個循環(huán)數來進行計算即可.解：因為展開式中前92項中均有7這個因子，最后一項為1，即為余數，故天為星期四.8、復數中的應用例10.（上海市1994年高考題）設，則滿足等式且大于1的正整數中最小的是（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7.分析：運用方冪的周期性求值即可.解：，9、解“立幾”題例11.ABCD是單位長方體，黑白二蟻都從點A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是黑蟻爬行的路線是它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段所在直線與第段所在直線必須是異面直線（其中.

10、設黑白二蟻走完第1990段后，各停止在正方體的某個頂點處，這時黑白蟻的距離是（A）1； （B）；（C） ； （D）0.解：依條件列出白蟻的路線立即可以發(fā)現白蟻走完六段后又回到了A點.可驗證知：黑白二蟻走完六段后必回到起點，可以判斷每六段是一個周期.1990=6，因此原問題就轉化為考慮黑白二蟻走完四段后的位置，不難計算出在走完四段后黑蟻在點，白蟻在C點，故所求距離是例題與應用例1：f(x) 是R上的奇函數f(x)= f(x+4) ，x0，2時f(x)=x，求f(2007) 的值 例2：已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值

11、 。故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數，f(x)= f(4-x)，且當時，f(x)=2x+1，則當時求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 試判斷函數f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數，f(x)= f(4-x)，且當時，f(x)是減函數，求證當時f(x)為增函數例6：f(x)滿足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上單調.求a的值. 例7：已知f(x)是定義在R上的

12、函數，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在區(qū)間1000，1000上f(x)=0至少有幾個根？ 解：依題意f(x)關于x=2，x=7對稱，類比命題2（2）可知f(x)的一個周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在區(qū)間(0，10上，方程f(x)=0至少兩個根 又f(x)是周期為10的函數，每個周期上至少有兩個根， 因此方程f(x)=0在區(qū)間1000，1000上至少有1+=401個根.例1、 函數yf(x)是定義在實數集R上的函數，那么yf(x4)與yf(6x)的圖象之間（D ）A關于直線x5對稱 B關于直線x

13、1對稱C關于點（5，0）對稱 D關于點（1，0）對稱解：據復合函數的對稱性知函數yf(x4)與yf(6x)之間關于點（64）/2，0）即（1，0）中心對稱，故選D。（原卷錯選為C）例2、 設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于x1對稱，證明f(x)是周期函數。（2001年理工類第22題）例3、 設f(x)是（，）上的奇函數，f(x2)f(x)，當0x1時f(x)x，則f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工類第15題）例4、 設f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，則f(x)是（C ）A偶函數，又是周期函數 B偶函數，但不是周期函數C奇函

14、數，又是周期函數 D奇函數，但不是周期函數六、鞏固練習1、函數yf(x)是定義在實數集R上的函數，那么yf(x4)與yf(6x)的圖象。A關于直線x5對稱 B關于直線x1對稱C關于點（5，0）對稱D關于點（1，0）對稱2、設f(x)是（，）上的奇函數，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x，則f(7.5)=（ ）。A0.5 B0.5 C1.5 D1.53、設f(x)是定義在（，）上的函數，且滿足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，則f(x)是（ ）。A偶函數，又是周期函數 B偶函數，但不是周期函數C奇函數，又是周期函數 D奇函數，但不是周期函數4、f(x)是定義在R上的偶函數，圖象關于x1對稱，證明f(x)是周期函數。參考答案：D，B，C，T2。5、在數列求=-1