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1、福建省政和縣一中2021屆高三理科第四次月考數(shù)學(xué)試卷福建省政和縣一中2009屆高三理科第四次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題5分，共60分）設(shè)復(fù)數(shù)i z +=11，i z 322-=，則21z z ?等于（ ）(A) i -1 （B ）i 51- （C ）i -5 （D ）i 55- 2.已知函數(shù))10(log 1)(+=a a x x f a 且，)(1x f-是)(x f 的反函數(shù)，若)(1x f y -=的圖象過點（3,4），則a 等于 A 2 B 3 C 33 D 2 3已知b a b a b a 與則,7|,3|,2|=-=的夾角為（ ） A 30B 60C 45D 904已知函數(shù))1

2、2cos()12sin(-=x x y ，則下列判斷正確的是A 、此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是)0,12(B 、此函數(shù)的最小正周期為2，其圖象的一個對稱中心是)0,12( C 、此函數(shù)的最小正周期為，其圖象的一個對稱中心是)0,6(D 、此函數(shù)的最小正周期為2，其圖象的一個對稱中心是)0,6( 5過點（1，1）的直線與圓22(2)(3)9x y -+-=相交于A 、B 兩點，則|AB|的最小值為：A 、4 C 、56. 設(shè)m 、n 是不同的直線，、是不同的平面，有以下四個命題：（1）/?； （2）/m m ?；（3）/m m ?； （4）/m n m n ?，其中，假命題是（

3、） (A)（1）（2） (B) （2）（3） (C)（1）（3） (D)（2）（4） 7設(shè))(x f 是定義在R 上的一個函數(shù)，則函數(shù))()()(x f x f x F -=在R 上一定是（ ） A 奇函數(shù) B 偶函數(shù) C 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D 非奇非偶函數(shù)8、等差數(shù)列n a 的前n 項和為n S ，且102=S ，364=S ，則過點),(n a n P 和)(,2(2*+N n a n Q n 的直線的一個方向向量的坐標(biāo)可以是（ ）(A) (1-，1-) (B) )2,21(-(C) )1,21(- (D) )21,2( 9正三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面邊長為a 2，側(cè)棱長為

4、a ，則異面直線AB 1與BC 1所成的角為（ ） A 6 B 4 C 3 D 210若函數(shù))4(,4(,sin )(f x e x f x 則此函數(shù)圖象在點=處的切線的傾斜角為 （ ）A 2B 0C 鈍角D 銳角 11. 數(shù)列n b a b n a a n nn n n 的前則中,1,321,=+= 項和為 （ ）A 12+n B 12+n nC )1(2+n n D 1+n n12函數(shù)b a b a x f x f x R x f y -=滿足且常數(shù)恒成立上可導(dǎo)且滿足不等式在,)()()( ，則下列不等式一定成立的是 （ ）A )()(a bf b af B )()(b bf a af C

5、 )()(b bf a af D )()(a bf b af二、填空題（每小題4分，共16分）13正方體的全面積是24cm 2，它的頂點都在一個球面上，這個球的半徑是 cm ；這個球的表面積是 cm 214函數(shù)()f x 對于任意實數(shù)x 滿足條件()()12f x f x +=，若()15,f =- 則()()5ff =_15. 在拋物線24y x =上求一點，使該點到直線45y x =-的距離為最短，該點的坐標(biāo)是 16定義“等和數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和. 已知數(shù)列n a 是等和數(shù)列, 且a 1=2, 公

6、和為5,那么a 18的值為 ,且這個數(shù)列的前21項和S 21的值為 .三、解答題17已知函數(shù)x x x x x f cos sin 3)2sin()cos()(+-=（）求)(x f 的最小正周期； （）求當(dāng)2,0x 時，)(x f 的最大值及最小值；（）求)(x f 的單調(diào)遞增區(qū)間18如圖，三棱錐ABC P -中，0=?=?=?AC AB AC PA AB PA ，2224AB AC PA =（）求證：AB 平面PAC ； （）若M 為線段PC =|PC |，問為何值時能使直線PC 平面MAB ； （）求二面角P CB A 的余弦值19（本小題共12分）函數(shù)2()ln f x x a x =

7、+，若(2)3f =,(1)求a 的值； (2)求f (x )的遞增區(qū)間和極小值。 20 某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告宣傳，經(jīng)調(diào)查，每投入廣告費t（百萬元）可增加的銷售額約為25t t -（百萬元）。（I ）若該公司將當(dāng)年的廣告宣傳費控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費才能使公司由此獲得的收益最大。（II ）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備投入3百萬元，分別用于廣告宣傳和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費x （百萬元）可增加的銷售額約為x x x 33123+-（百萬元），請設(shè)計資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大。（注：收益=銷售額投入）21（本小題滿分12分） 已知數(shù)列a n

8、為等差數(shù)列.（1）若a 1=3，公差d =1，且m a a a a m 求,483221+ 的最大值；（2）對于給定的正整數(shù)m ，若12212121,1+=+m m m m a a a S a a 求的最大值.22（本小題滿分14分）已知橢圓C:12222=+by a x （a b 0），點F 1、F 2分別是橢圓的左、右焦點，點P(2,3)在直線x=c a 2上，且|F 1F 2|=|PF 2|,直線l :y=kx+m 為動直線，且直線l 與橢圓C 交于不同的兩點A 、B （）求橢圓C 的方程；（）若在橢圓C 上存在點Q ，滿足=+（O 為坐標(biāo)原點），求實數(shù)的取值范圍；（）在（）的條件下，當(dāng)

9、取何值時，ABO 的面積最大，并求出這個最大值參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題：每小題5分，滿分40分1c 2d 3b 4A 5B 6D 7A 8B 9。D 10。C 11。B 12。 B二、填空題：每小題5分，滿分30分（對有兩空的小題，第一空3分，第二空2分）133；12 14. -0.2 15(0.5 1) 162 52 三、解答題：本大題滿分80分 17（本小題滿分12分） 解：x x x f 2sin 23cos )(2+-= =x x 2sin 232cos 2121+-=21)62sin(-x 5分 （）T=22= 7分 （） x 02， 65626-x 當(dāng)x =0，即662-=-

10、x 時，)(x f 有最小值1-， 9分當(dāng)x =3，即262=-x 時，)(x f 有最大值21 11分（） k x k 226222+-+-，k Z k x k 232223+-， k x k +-36，k Z )(x f 的單調(diào)遞增區(qū)間是3,6k k +- （k Z ） 13分18(本小題滿分12分)方法一：（） 0=?=?=?AC AB AC PA AB PA ， AB PA ，AC AB ， A AC PA =?， AB 平面PAC 3分（）當(dāng)M 為PC 中點時，即21=時，直線PC 平面MAB ， 4分 證明如下：由（）知AB 平面PAC ，?PC 平面APC ， AB PC ， 5

11、分 在等腰CAP ?中， M 為PC 中點， PC AM ， 6分 又A AM BA =? ， PC 平面MAB 8分（）由()知當(dāng)M 為PC 中點時，PC 平面MAB ， ?PC 平面PBC ， 平面PCB 平面MAB 9分過A 作MB AF 于F ， AF 平面PBC 作PB FE 于E ，連結(jié)AE ，由三垂線定理可知，PB AE AEF 為二面角A PB C -的平面角 11分 設(shè)a AB =，則a AP AC 2=在PAC Rt ?中，a AM 2=，由()知AB 平面PAC ，?AM 平面APC ， AM AB 在BAM Rt ?中，?+=222AM AB BM a a a BM 3

12、222=+=由面積公式得AM AB AF BM ?=?,a AF 32=, 12分同理，在BAP Rt ?中，,5a BP =由面積公式得a AE 52=， 13分在AFE Rt ?中，630sin =AE AF AEF 所以二面角A PB C -的大小為630arcsin 14分方法二：()同方法一 3分()如圖，以A 為坐標(biāo)原點，AP AB AC ,所在直線分別為x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)2=AP ，則)0,1,0(),0,0,2(),0,0,0(),2,0,0(B C A P ， 4分 當(dāng)M 為PC 中點時，即21=時，直線PC 平面MAB 5分 證明如下：當(dāng)M 為PC

13、 中點時，)1,0,1(M )2,0,2(-=PC ，)1,0,1(=,)1,1,1(-=01)2(0012=?-+?+?=?, ，即AM PC 6分0)1()2(10)1(2=-?-+?+-?=?MB PC ， ，即BM PC 7分 又M BM AM =? ， PC 平面AMB 8分 （）可證CA 平面BAP 則平面BAP 法向量為)0,0,2(1=n ， 9分 下面求平面PBC 的法向量設(shè)平面PBC 的法向量為),(2z y x n =，)2,0,2(-=,)0,1,2(-=， ?=+-=-+0020202y x z x ),2,(2z z z n =?，令1=z ，則)1,2,1(2=n ， 12分66622|,cos 212121=?=?=6arccos 14分 19、 a 2，遞增區(qū)間(1, +), 極小值1。20. 解