《大學(xué)物理 朱峰(第一版)習(xí)題精解第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué).doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學(xué)物理 朱峰(第一版)習(xí)題精解第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué).doc（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、習(xí)題精解解題方法與例題分析一、已知運(yùn)動(dòng)方程（位置矢量），計(jì)算位移、速度和加速度。計(jì)算（瞬時(shí)）速度和加速度一般用求導(dǎo)的方法：位置矢量（運(yùn)動(dòng)方程）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)即為速度，速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)就是加速度。計(jì)算位移、平均速度、平均加速度可先由始末時(shí)刻確定始末位置，再由定義計(jì)算。例1 一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表達(dá)式為一、已知運(yùn)動(dòng)方程求r及通過(guò)求導(dǎo)求v、a，并判斷物體作何種運(yùn)動(dòng)。 （其中a、b為常量），則該質(zhì)點(diǎn)作何種形式的運(yùn)動(dòng)？解 由質(zhì)點(diǎn)的位置矢量 得運(yùn)動(dòng)方程 軌道方程 ， 質(zhì)點(diǎn)的速度 質(zhì)點(diǎn)的加速度 質(zhì)點(diǎn)的加速度為非零恒量，故該質(zhì)點(diǎn)在xy平面內(nèi)作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其軌道方程為。例2 某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

2、x =2t7t3+3（SI），則該質(zhì)點(diǎn)作何種形式的運(yùn)動(dòng)？并確定加速度的方向。解 由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 x =2t7t3+3得質(zhì)點(diǎn)的速度 質(zhì)點(diǎn)的加速度 質(zhì)點(diǎn)的加速度為時(shí)間的函數(shù)，故該質(zhì)點(diǎn)作變加速直線運(yùn)動(dòng)；加速度為負(fù)，說(shuō)明加速度方向沿x軸負(fù)方向。例3 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻的坐標(biāo)為x =5t2 3t3 (SI)。試求：（1）在第2秒內(nèi)的平均速度；（2）第2秒末的瞬時(shí)速度；（3）第2秒末的加速度。解 （1）由平均速度的定義：（2）由定義 時(shí)，有 （3）由定義 時(shí)，有 例4 在離船高度為h的岸邊，絞車以恒定的速率v0收繩（繩原長(zhǎng)l0），使船靠岸，如圖11所示，試描述船的運(yùn)動(dòng)。圖11解 建立如圖坐標(biāo)

3、系，顯然船在x軸上作直線運(yùn)動(dòng)。t時(shí)刻繩長(zhǎng)為船的運(yùn)動(dòng)方程為 速度為 方向沿x軸負(fù)向。加速度為 方向沿x軸負(fù)向。可見，船作加速直線運(yùn)動(dòng)，離岸越近，x越小，a越大。例5 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程x=2t，y=4t2（SI）。試求任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度、切向加速度、法向加速度、總加速度的大小。解 由運(yùn)動(dòng)方程可求得質(zhì)點(diǎn)速度的x、y分量, 速度大小為 同理：， m/s2所以加速度大小為 m/s2切向加速度： 法向加速度：二、已知加速度及初始條件，計(jì)算速度和運(yùn)動(dòng)方程。此類問(wèn)題是前一類問(wèn)題的逆過(guò)程，加速度對(duì)時(shí)間的積分即為速度，速度對(duì)時(shí)間的積分就是運(yùn)動(dòng)方程。解決此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意由初始條件確定積分上下限。例6 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸

4、運(yùn)動(dòng)，其加速度a與位置坐標(biāo)的關(guān)系為 a=3+6x2（SI）。如果質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn)處的速度為零，試求其在任意位置處的速度。解 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在任意位置x處的速度為v，則 分離變量，兩邊積分：得 例7 一艘正在行駛的汽船，當(dāng)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，沿一直線運(yùn)動(dòng)，加速度與船速的平方成正比且反向，即，其中常量k0。若關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)汽船的速度為v0，求：（1）關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后t時(shí)刻的汽船速度；（2）關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后的t時(shí)間內(nèi)，汽船行駛的距離。解 以汽船為研究對(duì)象，由于它做減速直線運(yùn)動(dòng)，所以取汽船運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸x的正方向，坐標(biāo)原點(diǎn)選擇在剛關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)的位置處。（1）按直線運(yùn)動(dòng)的加速度公式有 由題意，代入上式，有 分離變量 已知t=0時(shí)，并

5、設(shè)t時(shí)刻的速度為v，對(duì)上式取定積分 （2）由 有 分離變量，兩邊取定積分，有 由此得汽船的運(yùn)動(dòng)方程為 汽船在t時(shí)間內(nèi)行駛的距離 例8 一質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)沿半徑為R=3m的圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度為。求：（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間它的總加速度恰好與半徑成45角？（2）在上述時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程和角位移各為多少？解 已知，即 由初始條件: t =0時(shí)，得質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速率質(zhì)點(diǎn)的法向加速度的大小為 這樣總加速度為： 其中為沿半徑指向圓心的單位矢量，為切向單位矢量。（1）設(shè)總加速度與半徑夾角為，則有： ， 當(dāng)=45時(shí)，有，即要求3t2 =3，t =1s（另一負(fù)根舍去）所以t =1s時(shí)，總加速度與半徑成45角。（2）

6、由 和初始條件：t =0時(shí)，s0=0 ，得：將t =1s 代入，求出這段時(shí)間內(nèi)的路程：由角位移與路程的關(guān)系 當(dāng)t =1s時(shí), 三、利用角量與線量的關(guān)系解題。例9 質(zhì)點(diǎn)P在水平面內(nèi)沿一半徑為R =1m的圓軌道轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度w與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為w =kt2（k為常量）。已知t =2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)P的速率為16m/s，試求t =1s 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P的速度與加速度的大小。解 首先確定k值：所以有 ， 時(shí)，1-1某質(zhì)點(diǎn)的速度為，已知t=0時(shí)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，7），則該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（ ）A. B. C. D.不能確定解：本題答案為B.因?yàn)?所以 于是有 即 亦即 故 1-2 一質(zhì)點(diǎn)在平面上作曲線運(yùn)動(dòng),時(shí)刻位置

7、矢量為，時(shí)刻的位置矢量為，求：（1）在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移矢量式;(2)該段時(shí)間內(nèi)位移的大小和方向；（3）在坐標(biāo)圖上畫出及 。解 （1）在時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移矢量式為 （2）該段時(shí)間內(nèi)位移的大小 該段時(shí)間內(nèi)位移的方向與軸的夾角為 （3）坐標(biāo)圖上的表示如圖1.1所示1-3某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 ，其中 以 計(jì)， 以 計(jì)，求：（1）第3s末質(zhì)點(diǎn)的位置；（2）頭3s的位移大??；（3）頭3s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程。 解 （1）第3s末質(zhì)點(diǎn)的位置為（2）頭3s的位移大小為 （3）因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)做反向運(yùn)動(dòng)是有，所以令，即因此頭3s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為 1-4 已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，式中以計(jì)，和以計(jì)。（1）計(jì)算并圖示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

8、軌跡；（2）求出到這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度；（3）計(jì)算末末質(zhì)點(diǎn)的速度；（4）計(jì)算末和末質(zhì)點(diǎn)的加速度。解 （1）由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的參數(shù)方程消去時(shí)間參數(shù)t得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1.2 （2）根據(jù)題意可得到質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為 所以到這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為 （3）由位置矢量求導(dǎo)可得質(zhì)點(diǎn)的速度為 所以 末和 末的質(zhì)點(diǎn)速度分別為 和（4）由速度求導(dǎo)可得質(zhì)點(diǎn)的加速度為 所以 末和 末質(zhì)點(diǎn)的加速度為 1-5湖中有一小船，岸邊有人用繩子跨過(guò)離河面高H的滑輪拉船靠岸，如圖1.3所示。設(shè)繩子的原長(zhǎng)為，人以勻速拉繩，使描述小船的運(yùn)動(dòng)。解建立坐標(biāo)系如圖1.3所示。按題意，初始時(shí)刻（t=0）,滑輪至小船的繩長(zhǎng)為，在此

9、后某時(shí)刻t,繩長(zhǎng)減小到，此刻船的位置為這就是小船的運(yùn)動(dòng)方程，將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得小船的速度為 將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得小船的加速度為 其中負(fù)號(hào)說(shuō)明了小船沿軸的負(fù)向（即向岸靠攏的方向）做變加速直線運(yùn)動(dòng)，離岸越近（越?。?，加速度的絕對(duì)值越大。 1-6大馬哈魚總是逆流而上，游到烏蘇里江上游去產(chǎn)卵，游程中有時(shí)要躍上瀑布。這種魚躍出水面的速度可達(dá)32。它最高可躍上多高的瀑布？和人的跳高記錄相比如何？解 魚躍出水面的速度為,若豎直躍出水面，則躍出的高度 此高度和人的跳高記錄相比較，差不多是人跳高的兩倍。1-7 一人站在山坡上，山坡魚水平面成角，他扔出一個(gè)初速度為的小石子，與水平面成角，如圖1.4所示。（1）若忽略

10、空氣阻力，試證小石子落到了山坡上距離拋出點(diǎn)為S處，有。（2）由此證明對(duì)于給定的和值時(shí)，S在時(shí)有最大值。解 （1）建立如圖1.4所示的坐標(biāo)系，則小石子的運(yùn)動(dòng)方程為 當(dāng)小石子落在山坡上時(shí)，有 聯(lián)立以上四個(gè)方程，求解可得小石子在空中飛行的時(shí)間（即從拋出到落在山坡上是所經(jīng)歷的時(shí)間）t所滿足的方程為 解之得 但時(shí)不可能的，因時(shí)小石子剛剛拋出，所以小石子落在山坡的距離為 （2）給定和值時(shí)，有，求S的最大值，可令，即 亦即 此時(shí)，所以S有最大值，且最大值為 1-8一人扔石子的最大出手速度為。他能擊中一個(gè)與他的手水平距離為，高為處的目標(biāo)嗎?在這個(gè)距離上他能擊中的最大高度是多少？ 解 設(shè)拋射角為，則已知條件如圖

11、1.5所示，于是石子的運(yùn)動(dòng)方程為 可得到石子的軌跡方程為 假若石子在給定距離上能擊中目標(biāo)，可令此時(shí)有 即 以為函數(shù)，令，有，此時(shí)，即在給定已知條件及給定距離上能夠擊中目標(biāo)的最大高度為，故在給定距離上能擊中高度的目標(biāo)。1-9 如果把兩個(gè)物體A和B分別以速度和拋出去，與水平面的夾角為，與水平面的夾角為，試證明在任意時(shí)刻物體B相對(duì)于物體A的速度為常矢量。解 兩物體在忽略風(fēng)力的影響之后，將在一豎直面內(nèi)做上拋運(yùn)動(dòng)，如圖1.6所示，則兩個(gè)物體的速度分別為 所以在任意時(shí)刻物體B相對(duì)于物體A的速度為 它是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常矢量。1-10 如果已測(cè)得上拋物體兩次從兩個(gè)方向經(jīng)過(guò)兩個(gè)給定點(diǎn)的時(shí)間，即可測(cè)出該處的重力加速

12、度。若物體沿兩個(gè)方向經(jīng)過(guò)水平線A的時(shí)間間隔為，而沿兩個(gè)方向經(jīng)過(guò)水平線A上方h處的另一水平線B的時(shí)間間隔為，設(shè)在物體運(yùn)動(dòng)的范圍內(nèi)重力加速度為常量，試求該重力加速度的大小。解 設(shè)拋出物體的初速度為，拋射角為，建立如圖1.7所示的坐標(biāo)系，則 所以 于是有 此二式平方相減可得 注意此方法也是實(shí)驗(yàn)測(cè)得重力加速度的一種方法。1-11 以初速度將一物體斜上拋，拋射角為，不計(jì)空氣阻力，則物體在軌道最高點(diǎn)處的曲率半徑為（ ）A. B. C. D.不能確定解 本題正確答案為 C因?yàn)槌跛贋閷⒁晃矬w斜向上拋，拋射角為，不計(jì)空氣阻力時(shí)，物體在軌道的最高點(diǎn)處的速率為，而此時(shí)物體僅有法向加速度，且，所以物體在軌道最高點(diǎn)處的曲率半徑為1-12 一質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其角加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律是，試求該質(zhì)點(diǎn)的角速度和切線加速度。解 因?yàn)?所以 于是有 故質(zhì)點(diǎn)的角速度為 切線方向加速度為 1-13 一質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)方程為。在時(shí)開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，問(wèn)：（1）s時(shí)，