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1、試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料1專題強化練十二立體幾何中的向量方法一、選擇題1在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為1 的正三角形，側(cè)棱AA1底面ABC，點D在棱BB1上，且BD1，若AD與平面AA1C1C所成的角為，則 sin 的值是()A.32B.22C.104D.64解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，易求點D(32，12，1)，平面AA1C1C的一個法向量是n(1，0，0)，所以 cosn，AD32264，則 sin 64.答案：D 2 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點E是底面ABCD上的動點，則(CECA1)D1B1的最大值為()A.22 B 1 C.2 D

2、.6 解析：由正方體性質(zhì)知CA1D1B1 0，則(CECA1)D1B1CED1B1.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1，1，0)，C(0，1，0)設(shè)點E(x，y，0)，則CE(x，y 1，0)，D1B1DB(1，1，0)所以CED1B1(x，y1，0)(1，1，0)xy1.易知當(dāng)E位于點B時，xy有最大值2.因此CED1B1的最大值為211.試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料2答案：B 3(2018全國卷)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA13，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.15 B.56 C.55 D.22解析：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所

3、在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由條件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，3)，B1(1，1，3)，所以AD1(1，0，3)，DB1(1，1，3)則 cosAD1，DB1AD1DB1|AD1|DB1|22555.故異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為55.答案：C 4(2018濟南質(zhì)檢)在三棱錐P-ABC中，點P在底面的正投影恰好是等邊ABC的邊AB的中點，點P到底面ABC的距離等于底面邊長設(shè)平面PAC與底面所成的二面角的大小為，平面PBC與底面所成的二面角的大小為，則 tan()的值是()A.334 B.235 C 8313 D 538解析：如圖，

4、設(shè)點P在邊AB上的射影為H，作HFBC，HEAC，連接PF，PE.依題意，HEP，PFH.不妨設(shè)等邊ABC的邊長為2，試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料3則PH2，AHBH 1.所以HE32，HF32，則 tan tan 23243，故 tan()2tan 1tan224314328313.答案：C 二、填空題5.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB2，A1C1B1D1E，直線AC與直線DE所成的角為，直線DE與平面BCC1B1所成的角為，則 cos()_解析：ACBDACBB1?AC平面BB1D1D?ACDE，所以 2.取A1D1的中點F，連EF，F(xiàn)D，易知EF平面ADD1

5、A1，則 EDF，所以 cos()cos2EDF sin EDF66.答案：666.如圖，在四棱錐C-ABOD中，CO平面ABOD，ABOD，OBOD，且AB2OD4，AD22，異面直線CD與AB所成角為 30，若點O，B，C，D都在同一個球面上，則該球的表面積為 _試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料4解析：因為CD與AB所成角為30，且ABOD，所以CDO30，由OD2，知OCODtan 30 233.在直角梯形ABOD中，OBAD242.因此(2R)2OB2OD2OC2283.故球的表面積S4R2283.答案：283三、解答題7如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形

6、，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(1)求證：AF平面BCE；(2)求二面角C-BE-D的余弦值的大小解：設(shè)ADDE2AB2a，以AC，AB所在的直線分別為x軸、z軸，以過點A在平面ACD內(nèi)和AC垂直的直線作為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，3a，0)，E(a，3a，2a)因為F為CD的中點，所以F3a2，3a2，0.(1)證明：AF3a2，3a2，0，BE(a，3a，a)，BC(2a，0，a)，所以AF12(BEBC)，AF?平面BCE，試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料5所以AF平面BCE.(2)設(shè)平面BCE的一個法向量為m(x，

7、y，z)，則mBE0，mBC0，即x3yz0，2xz0，不妨令x1 可得m(1，3，2)設(shè)平面BDE的一個法向量n(x，y，z)，則nBE0，nBD0，即x3yz0，x3yz0.令x3可得n(3，1，0)于是，cosm，nm n|m|n|64.故二面角C-BE-D的余弦值為64.8.(2018 浙江卷)如圖所示，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)證明：AB1平面A1B1C1；(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值(1)證明：如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸

8、，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點坐標(biāo)如下：A(0，3，0)，B(1，0，0)，A1(0，3，4)，B1(1，0，2)，C1(0，3，1)因此AB1(1，3，2)，A1B1(1，3，2)，A1C1(0，23，3.)試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料6由AB1A1B10 得AB1A1B1.由AB1A1C10 得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)解：設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為.由(1)可知AC1(0，23，1)，AB(1，3，0)，BB1(0，0，2)設(shè)平面ABB的法向量n(x，y，z)，由nAB0，nBB10.即x3y0，2z 0.取n(3，1，0)所以 s

9、in|cos AC1，n|AC1n|AC1|n|3913.因此，直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是3913.9.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA，AB，AC兩兩垂直，PAABAC，平面 平面PAB，且 與棱PC，AC，BC分別交于P1，A1，B1三點(1)過A作直線l，使得lBC，lP1A1，請寫出作法并加以證明；(2)若 將三棱錐P-ABC分成體積之比為819 的兩部分(其中，四面體P1A1B1C的體積更小)，D為線段B1C的中點，求直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值解：(1)作法：取BC的中點H，連接AH，則直線AH即為要求作的直線l.證明如下：因為PAAB，PAAC，且AB

10、ACA，所以PA平面ABC.因為平面 平面PAB，且 平面PACP1A1，平面PAB平面PACPA，所以P1A1PA，所以P1A1平面ABC，所以P1A1AH.又ABAC，H為BC的中點，則AHBC，從而直線AH即為要求作的直線l.(2)因為 將三棱錐P-ABC分成體積之比為819 的兩部分，試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料7所以四面體P1A1B1C的體積與三棱錐P-ABC的體積之比為8 27，又平面 平面PAB，所以A1CACB1CBCP1CPC23.以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB3，則A1(0，1，0)，B1(2，1，0)，P(0，0，3)，P1(0，1

11、，2)，D(1，2，0)，A1B1(2，0，0)，PA1(0，1，3)，P1D(1，1，2)，設(shè)平面PA1B1的法向量為n(x，y，z)，則nA1B10，nPA10，即x0，y3z0.令z1，得n(0，3，1)則 cosP1D，n|P1Dn|P1D|n|16101530.故直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值為1530.10(2018鄭州調(diào)研)如圖 1，在高為6 的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD6，AB12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O.如圖 2，點P為BC中點，點E在線段AB上(不同于A，B兩點)，連接OE并延長至點Q，使AQOB.(1)證明：OD平面PA

12、Q；(2)若BE2AE，求二面角C-BQ-A的余弦值(1)證明：由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OB，OO1所在直試題、試卷、習(xí)題、復(fù)習(xí)、教案精選資料8線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AQ的長度為m，則相關(guān)各點的坐標(biāo)為O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0)因為點P為BC中點，所以P0，92，3，所以O(shè)D(3，0，6)，AQ(0，m，0)，PQ(6，m92，3)，因為ODAQ 0，ODPQ0.所以O(shè)DAQ，ODPQ，且AQ與PQ不共線，所以O(shè)D平面PAQ.(2)解：因為BE2AE，AQOB，所以AQ12OB3，則Q(6，3，0)，所以QB(6，3，0)，BC(0，3，6)設(shè)平面CBQ的法向量為n1(x，y，z)，因為n1QB0，n1BC0，所以6x3y0，3y6z0.令z1，則y2，x1，所以n1(1，2，1)又顯然，平面ABQ的法向量n2(0，0，1)設(shè)二面角C-BQ-A的平面角為，由圖可知，為銳角，則 cos|n1n2|n1|n2|66.故二面角C-BQ-A的余弦值為66.