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1、專訓(xùn)2+構(gòu)造全等三角形的五種常用方法專訓(xùn)2 構(gòu)造全等三角形的五種常用方法名師點(diǎn)金：在進(jìn)行幾何題的證明或計算時，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線能使題目中的條件比較集中，能比較容易找到一些量之間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)問題較輕松地解決常見的輔助線作法有:翻折法、構(gòu)造法、旋轉(zhuǎn)法、倍長中線法和截長(補(bǔ)短)法,目的都是構(gòu)造全等三角形21cn- 翻折法1 如圖,在ABC中，BE是ABC的平分線，ADBE，垂足為D。求證：21C. 構(gòu)造法2如圖，在RtABC中，ACB90，ACBC，ABC45，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，CEAD于點(diǎn)E，其延長線交AB于點(diǎn)F，連接DF。求證:ADCBDF. 旋轉(zhuǎn)法3如圖，在正方形ABCD中

2、,E為BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，BEDFEF，求EAF的度數(shù)21教育網(wǎng) 倍長中線法4如圖，在ABC中,D為BC的中點(diǎn)(1)求證：ABAC2AD；（2)若AB5，AC3，求AD的取值范圍 截長(補(bǔ)短)法5如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90。E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EAF60.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系并證明答案1證明：如圖，延長AD交BC于點(diǎn)F.（相當(dāng)于將AB邊向下翻折，與BC邊重合，A點(diǎn)落在F點(diǎn)處,折痕為BE）21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有BE平分ABC，ABECBE。BDAD，ADBBDF90.在ABD和FBD中，ABDFBD（ASA）2DF

3、B。又DFB1C，21C.（第1題)2證明：如圖,過點(diǎn)B作BGBC交CF的延長線于點(diǎn)G.ACB90，2ACF90。CEAD，AEC90，1ACF180AEC1809090.12。在ACD和CBG中，ACDCBG（ASA)ADCG,CDBG.點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，CDBD.BDBG。又DBG90，DBF45，GBFDBGDBF904545.DBFGBF。在BDF和BGF中，BDFBGF(SAS）BDFG。ADCBDF。（第2題)點(diǎn)撥:本題運(yùn)用了構(gòu)造法,通過作輔助線構(gòu)造CBG，BGF是解題的關(guān)鍵3解:如圖，延長CB到點(diǎn)H，使得BHDF，連接AH.ABE90，D90，DABH90.在ABH和ADF中，A

4、BHADF。AHAF，BAHDAF。BAHBAFDAFBAF，即HAFBAD90。BEDFEF，BEBHEF，即HEEF。在AEH和AEF中，AEHAEF.EAHEAF。EAFHAF45。（第3題）點(diǎn)撥：圖中所作輔助線，相當(dāng)于將ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90,使AD邊與AB邊重合，得到ABH.4(1)證明：延長AD至點(diǎn)E，使DEAD，連接BE。D為BC的中點(diǎn)，CDBD。又ADED,ADCEDB，ADCEDB.ACEB.ABBEAE，ABAC2AD。（2)解：ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC。AB5，AC3，22AD8。1AD4.點(diǎn)撥:本題運(yùn)用了倍長中線法構(gòu)造全等三角形,將證明不等關(guān)系和

5、求線段取值范圍的問題通過證全等,轉(zhuǎn)化到一個三角形中，利用三角形的三邊關(guān)系來解決5解：EFBEFD。證明:如圖，延長FD到點(diǎn)G,使DGBE，連接AG.（第5題)BADC90，BADG90。在ABE與ADG中，ABEADG。AEAG，BAEDAG.又BAD120，EAF60，BAEFAD60，DAGFAD60，即GAF60，EAFGAF60.在EAF與GAF中,EAFGAF。EFGFFDDG.EFFDBE.點(diǎn)撥：證明一條線段等于兩條線段的和的方法:“截長法或“補(bǔ)短法”“截長法的基本思路是在長線段上取一段，使之等于其中一短線段，然后證明剩下的線段等于另一短線段；“補(bǔ)短法”的基本思路是延長短線段，使之延長部分等于另一短線段，再證明延長后的線段等于長線段21