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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙江大學(xué)第四版課后習(xí)題答案 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案 第四版 盛驟 （浙江大學(xué)）浙大第四版（高等教育出版社）第一章 概率論的基本概念1.一 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間（1）記錄一個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分)（一 1），n表小班人數(shù)（3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（一 2）S=10，11,12，n,（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0就停止檢查,或查滿4次才停止檢查.(一

2、(3)S=00,100，0100，0101,1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2。二 設(shè)A，B，C為三事件，用A,B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。(1）A發(fā)生,B與C不發(fā)生.表示為:或A （AB+AC）或A （BC）（2)A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為：或ABABC或ABC(3）A，B，C中至少有一個發(fā)生表示為：A+B+C(4）A，B,C都發(fā)生，表示為：ABC（5）A，B，C都不發(fā)生，表示為：或S （A+B+C）或（6）A，B，C中不多于一個發(fā)生,即A，B，C中至少有兩個同時不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個發(fā)生。故 表示為:。（7）A，B，C中不多于二個發(fā)

3、生。相當(dāng)于：中至少有一個發(fā)生。故 表示為:（8）A，B，C中至少有二個發(fā)生。相當(dāng)于:AB,BC，AC中至少有一個發(fā)生。故 表示為：AB+BC+AC6.三 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=0。6，P （B）=0。7。 問（1）在什么條件下P (AB）取到最大值,最大值是多少?（2)在什么條件下P （AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P （A) = 0。6,P (B) = 0.7即知AB，（否則AB = 依互斥事件加法定理， P（AB）=P （A)+P （B）=0。6+0。7=1.31與P (AB）1矛盾）。從而由加法定理得P (AB）=P (A）+P (B)P （AB)(）(1）從0P(AB）

4、P(A)知，當(dāng)AB=A，即AB時P（AB)取到最大值,最大值為 P（AB）=P(A)=0。6，（2）從（）式知，當(dāng)AB=S時,P(AB)取最小值，最小值為 P（AB）=0。6+0。71=0.3 。7.四 設(shè)A，B，C是三事件，且，. 求A，B,C至少有一個發(fā)生的概率。解:P (A，B，C至少有一個發(fā)生）=P （A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P（BC)P（AC)+ P（ABC）= 8.五 在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞,若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞” 從26個任選兩個來排列，

5、排法有種.每種排法等可能。字典中的二個不同字母組成的單詞:55個 9。 在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0,1,29）記A表“后四個數(shù)全不同” 后四個數(shù)的排法有104種，每種排法等可能.后四個數(shù)全不同的排法有10.六 在房間里有10人.分別佩代著從1號到10號的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號碼。(1）求最小的號碼為5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號碼為5為事件A 10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。又事件A相當(dāng)于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有（2）求最大的號碼為5的概率.記“三人中

6、最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人,選法有種,且每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于:有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有種11。七 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落,交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個定貨4桶白漆,3桶黑漆和2桶紅漆顧客,按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少?記所求事件為A.在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有故12.八 在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。（1)求恰有90個次品的概率。記“恰有90個次品”為事件A 在1500個產(chǎn)品中任取200個，取法

7、有種，每種取法等可能。200個產(chǎn)品恰有90個次品,取法有種（2）至少有2個次品的概率。記：A表“至少有2個次品B0表“不含有次品”,B1表“只含有一個次品”，同上，200個產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個產(chǎn)品含一個次品，取法有種 且B0,B1互不相容。13。九 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。要4只都不配對，可在5雙中任取4雙,再在4雙中的每一雙里任取一只.取法有15.十一 將三個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少

8、？記Ai表“杯中球的最大個數(shù)為i個” i=1,2，3，三只球放入四只杯中,放法有43種，每種放法等可能對A1：必須三球放入三杯中,每杯只放一球。放法432種。 (選排列：好比3個球在4個位置做排列)對A2：必須三球放入兩杯,一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。(從3個球中選2個球，選法有，再將此兩個球放入一個杯中,選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。對A3：必須三球都放入一杯中.放法有4種。（只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種)16.十二 50個鉚釘隨機(jī)地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強(qiáng)度太弱，每個部件用3只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個部件上

9、，則這個部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個部件強(qiáng)度太弱的概率是多少?記A表“10個部件中有一個部件強(qiáng)度太弱”。法一:用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件(在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序.但10組釘鉚完10個部件要分先后次序）對E：鉚法有種，每種裝法等可能對A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有10種法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去,直到把部件鉚完。(鉚釘要計(jì)先后次序)對E:鉚法有種，每種鉚法等可能對A:三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4,5，6”位置上，或“28，29,30”位置上。這種鉚法有種17。十三 已知。

10、解一: 注意。 故有P （AB)=P (A)P (A)=0.70。5=0。2.再由加法定理，P （A）= P （A)+ P (）P (A)=0.7+0.60.5=0.8于是18。十四 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得19。十五 擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）.解：（方法一）(在縮小的樣本空間SB中求P（AB)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率).擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（x， y）(x, y=1，2,3,4，5,6)并且滿足x,+y=7，則樣本空間為S=(x, y）| (1, 6 ), (6, 1）, (2, 5)， (5，

11、2), (3, 4）, （4， 3）每種結(jié)果(x， y)等可能。A=擲二骰子,點(diǎn)數(shù)和為7時,其中有一顆為1點(diǎn)。故方法二：（用公式S=（x, y）| x =1,2，3，4，5,6; y = 1,2,3,4,5，6每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個為“1”點(diǎn)，B=“擲兩顆骰子，x，+y=7”.則，故20。十六 據(jù)以往資料表明,某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P（A)=P孩子得病=0.6，P (BA)=P母親得病孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父親得病母親及孩子得病=0。4.求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P (AB）(注意：由于“母病”，“孩病”，

12、“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求P (AB)P (AB）= P（A)=P（B|A）=0。60。5=0.3, P (|AB）=1P （C AB)=10.4=0。6.從而P (AB)= P (AB） P(AB)=0.30。6=0.18.21。十七 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣,求下列事件的概率。(1)二只都是正品（記為事件A）法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合,每一個組合看作一個基本結(jié)果，每種取法等可能.法二:用排列做 在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結(jié)果，每個排列等可能.法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。記A1，A2分別表第

13、一、二次取得正品。（2）二只都是次品（記為事件B）法一：法二：法三：（3）一只是正品，一只是次品(記為事件C）法一：法二：法三: （4)第二次取出的是次品（記為事件D）法一:因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順?不能用組合作,法二：法三： 22.十八 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少?如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？記H表撥號不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號能接通。注意:第一次撥號不通,第二撥號就不再撥這個號碼。 如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。 24.十九 設(shè)有甲、

14、乙二袋,甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到(即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球。B=A1B+A2B且A1，A2互斥P (B)=P （A1）P(B A1)+ P （A2）P (B A2） =十九（2） 第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球.先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球。 C2為“從第一盒子中取得2

15、只白球”. C3為“從第一盒子中取得1只紅球,1只白球,D為“從第二盒子中取得白球”,顯然C1，C2，C3兩兩互斥,C1C2C3=S，由全概率公式，有P (D）=P (C1)P (DC1）+P （C2）P (D|C2）+P (C3)P （D| C3） 26。二十一 已知男人中有5是色盲患者，女人中有0.25是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人,恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少?解：A1=男人,A2=女人，B=色盲，顯然A1A2=S，A1 A2=由已知條件知由貝葉斯公式，有二十二 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；

16、若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率.（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解:Ai=他第i次及格，i=1,2 已知P （A1）=P （A2|A1）=P,(1）B=至少有一次及格所以 (2）（）由乘法公式，有P （A1 A2)= P (A1) P (A2 A1） = P2由全概率公式，有 將以上兩個結(jié)果代入（*）得28。二十五 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明:到家時間5：355：395:405：445:455：495:505：54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250。450。150.05乘汽車到家的概

17、率0.300。350.200.100。05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A=“乘地鐵,B=“乘汽車”，C=“5：455:49到家”，由題意，AB=，AB=S已知：P (A)=0.5, P （C|A)=0。45, P (CB)=0。2， P （B）=0。5由貝葉斯公式有29。二十四 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只,其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣.試求(1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2)第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的

18、也是一等品的概率。解:設(shè)Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2Aj表示“第j箱產(chǎn)品j=1，2，顯然A1A2=SA1A2=（1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。（2) （先用條件概率定義，再求P （B1B2)時,由全概率公式解）312LR32。二十六（2） 如圖1，2，3,4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。54記Ai表第i個接點(diǎn)接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的. A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥 P （A)=P （A1A2）+P (A1A3A5） +P (A4A5)+P （A4

19、A3A2)P （A1A2A3A5）+ P (A1A2 A4A5）+ P (A1A2 A3 A4) +P （A1A3 A4A5）+ P (A1A2 A3A4A5） P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5）+ P (A1A2 A3 A4A5)+ （A1A2 A3 A4A5) + P （A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1,A2, A3， A4，A5互相獨(dú)立。故 P （A）=p2+ p3+ p2+ p3p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4 + p5 + p5+ p5+ p5p5=2 p2+ 3p35p4 +2 p5二十六（1)設(shè)有4個獨(dú)立

20、工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖(1)的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系統(tǒng)正常. A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥 P （A)= P （A1A2A3）+P (A1A4）P （A1A2A3 A4） （加法公式)= P （A1) P (A2)P （A3)+ P （A1） P (A4）P (A1） P (A2)P (A3)P （A4）= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4（A1， A2， A3, A4獨(dú)立）34。三十一 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國

21、徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.問這只硬幣是正品的概率為多少?解：設(shè)“出現(xiàn)r次國徽面”=Br “任取一只是正品”=A由全概率公式，有 (條件概率定義與乘法公式）35甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0。4,0。5，0.7.飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0。2，被兩人擊中而被擊落的概率為0。6,若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率.解：高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，三種情況互斥。 三種情況互斥又 B1,B2，B2獨(dú)立。 + 0。40.50.7+0。60。50.7=0.41P (H3)=

22、P （B1）P （B2）P （B3)=0.40。50.7=0。14又因：A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥故由全概率公式，有P (A)= P（H1）P （A|H1)+P （H2)P (A|H2)+P （H3）P （AH3) =0。360.2+0。410。6+0。141=0。45836.三十三設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2（這一事件記為A1）,10（事件A2），90%（事件A3）的概率分別為P (A1）=0。8， P (A2）=0.15， P （A2)=0.05，現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為B）,試分別求P （A1|B) P (A2|B)， P

23、 (A3B)（這里設(shè)物品件數(shù)很多,取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地)B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式，有P (B)= P（A1）P (B|A1)+P （A2）P (B|A2)+P (A3）P (B|A3) =0。8(0。98）3+0.15(0。9)3+0。05（0.1）3=0.862437.三十四 將A，B，C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它一字母的概率都是(1）/2。今將字母串AAAA,BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1

24、+p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨(dú)立的。）解:設(shè)D表示輸出信號為ABCA，B1、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA，BBBB，CCCC，則B1、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi）=Pi， i=1, 2, 3.再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有P (A收| A發(fā)）= P （B收| B發(fā))= P （C收| C發(fā))=，P (A收 B發(fā))= P （A收 C發(fā)）= P （B收 A發(fā)）= P （B收| C發(fā))= P （C收 A發(fā))= P (C收| B發(fā))=又P （ABCA|AAAA）= P （D | B

25、1） = P (A收 A發(fā)） P (B收| A發(fā)） P （C收| A發(fā)) P (A收| A發(fā)) =，同樣可得P （D | B 2） = P （D | B 3) =于是由全概率公式，得由Bayes公式,得P (AAAAABCA)= P （B 1 D ) = =二十九 設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球,4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1)求至少有一只藍(lán)球的概率，(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率,（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解:記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球,B1、B2、B3分別表

26、示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。（1）記C=至少有一只藍(lán)球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得（2）記D=有一只藍(lán)球，一只白球，而且知D= A1B3+A3B1兩種情況互斥（3)三十 A，B,C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A，B，C的電話的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C三人外出的概率分別為，設(shè)三人的行動相互獨(dú)立,求（1)無人接電話的概率；(2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進(jìn)了3個電話，求（3）這3個電話打給同一人的概率;（4）這3個電話打給不同人的概率；（5）這3個電話都打給B

27、，而B卻都不在的概率。解：記C1、C2、C3分別表示打給A，B，C的電話 D1、D2、D3分別表示A，B，C外出注意到C1、C2、C3獨(dú)立,且 （1）P（無人接電話）=P （D1D2D3)= P (D1)P (D2)P （D3） =（2）記G=“被呼叫人在辦公室，三種情況互斥,由有限可加性與乘法公式（3)H為“這3個電話打給同一個人”（4）R為“這3個電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C的三個電話,每種情況的概率為于是（5）由于是知道每次打電話都給B，其概率是1，所以每一次打給B電話而B不在的概率為，且各次情況相互獨(dú)立于是 P（3個電話都打給B，B都不在的概率）=第

28、二章 隨機(jī)變量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼,寫出隨機(jī)變量X的分布律解：X可以取值3,4，5，分布律為 也可列為下表X： 3， 4，5P：3。三 設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù),（1)求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形.解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。Px12O再列為下表X： 0， 1， 2P： 4.四 進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1p（0p1）（1）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求X的分布律。（此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止,以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求Y的分布律。（此時稱Y服從以r, p為參數(shù)的巴斯卡分布。）（3）一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。解：（1)P （X=k）=qk1pk=1，2， （2）Y=r+n=最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n1次有n次失敗，且最后一次成功其中 q=1p，或記r+n=k,則 PY=k= (3）P (X=k) = （0。55）k10.45k=1,2P