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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版 盛驟(浙江大學(xué))浙大第四版(高等教育由版社)第一章概率論的基本概念1.一寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間(1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)(一1)o o 1 n 100S, - , n表小班人數(shù)n n n(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到 10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。(一2)S=10, 11, 12, , n, (4)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品” ，不合格的蓋上“次品” 如連續(xù)查出二個(gè)次品就彳止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“ 1”，查出次品記為“ 0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“ 0”就停止檢查，或查滿4次才停

2、止檢查。(一(3)S=00 , 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011, 1101, 1110, 1111, 2.二設(shè)A, B, C為三事件，用 A, B, C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。(1) A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為：ABC或 A (AB+AC)或 A (BUC)(2) A, B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為：ABC或AB-ABC或AB C(3) A, B, C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為：A+B+C(4) A, B, C都發(fā)生，表示為：ABC(5) A, B, C都不發(fā)生，表示為：ABC或S (A+B+C)或ABC(6) A, B, C中不多于一

3、個(gè)發(fā)生，即A, B, C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于AB, BC, AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：AB BC AC 。(7) A, B, C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：A, B,C中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：A B C或ABC(8) A, B, C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：AB, BC, AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC6 .三設(shè)A, B是兩事件且P (A)=0.6, P (B)=0.7.問(wèn)(1)在什么條件下 P (AB)取到最 大值，最大值是多少？ ( 2)在什么條件下 P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6, P (B) = 0.7即知ABw(

4、H (否則AB =。依互斥事件加法定理， P(AUB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.31 與 P (AU B) 1 矛盾).從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)-P (AU B)(*)(1)從0WP(AB)W P(A)知，當(dāng)AB=A,即AA B時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6,(2)從(*)式知，當(dāng)AUB=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為P(AB)=0.6+0.7 -1=0.3 。7 .四設(shè) A, B, C 是三事件，且 P(A) P(B) P(C) 5,P(AB) P(BC) 0, _1P(AC)-.求A, B, C至少有一個(gè)發(fā)生

5、的概率。8解：P (A, B, C 至少有一個(gè)發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(BC)-3_ -315P(AC)+ P(ABC戶31058 .五在一標(biāo)準(zhǔn)英語(yǔ)字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26個(gè)英語(yǔ)字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問(wèn)能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”從26個(gè)任選兩個(gè)來(lái)排列，排法有A26種。每種排法等可能。字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞:55個(gè)2005(設(shè)后面49 .在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0, 1, 29)記A表“后四個(gè)數(shù)全不同后

6、四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。后四個(gè)數(shù)全不同的排法有 A140A4P(A) 2A4 0.5041010 .六在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選 3人記錄 其紀(jì)念章的號(hào)碼。(1)求最小的號(hào)碼為 5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A10人中任選3人為一組：選法有 10種，且每種選法等可能。3又事件A相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為 5,其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有1P(A)101(2)求最大的號(hào)碼為 5的概率。記“三人中最大的號(hào)碼為 5”為事件B,同上10人中任選3人，選法有10種，且3每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼小于5,選

7、法有1 2P(B)10312011 .七某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問(wèn)一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為Ao在17桶中任取9桶的取法有C1；種，且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有C0 C3 C；P(A)C10C3 C3C67252243112.八 在1500個(gè)產(chǎn)品中有 400個(gè)次品,1100個(gè)正品，任意取 200個(gè)。(1)求恰有90個(gè)次品的概率。記“恰有90個(gè)次品”為事件 A在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有1型 種，每種取法等可能。200個(gè)產(chǎn)

8、品恰有90個(gè)次品，取法有400 11.00種 Vyvj I IP(A)400 1100901101500（2）至少有2個(gè)次品的概率。記：A表“至少有2個(gè)次品”B0表“不含有次品” ，Bi表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法 有1100種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有40 1,100種20011991100400 1100200119915001500200200A B0 B1且B0, B1互不相谷。P(A) 1 P(A) 1 P(B。)P(B1) 113.九從5雙不同鞋子中任取 4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少?記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)”則A表“4只

9、人不配對(duì)”從10只中任取4只，取法有14）種，每種取法等可能。要4只都不配對(duì)，可在 5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有5244P(A)C4 24C140821P(A)1 p(A) 182115.H一 將三個(gè)球隨機(jī)地放入13214個(gè)杯子中去，問(wèn)杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1, 2,3,的概率各為多少?記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè) i= 1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有 43種，每種放法等可能對(duì)A1:必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2種。（選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列）P（Ai）42 214316對(duì)A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有c

10、3 4 3種。（從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有C3再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有 4種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有 3種。P(A2)4391613對(duì)A3:必須三球都放入一杯中。放法有 4種。（只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此3個(gè)球，選法有4種）41P（A3）不存16 .十二50個(gè)挪釘隨機(jī)地取來(lái)用在 10個(gè)部件，其中有三個(gè)挪釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只挪釘，若將三只強(qiáng)度太弱的獅釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱， 問(wèn)發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組， 三個(gè)釘一組去挪完10個(gè)部件（在三個(gè)

11、釘?shù)囊唤M 中不分先后次序。但 10組釘挪完10個(gè)部件要分先后次序）對(duì)E:挪法有C30 C37 C343C33種，每種裝法等可能對(duì)A:三個(gè)次釘必須挪在一個(gè)部件上。這種挪法有種333C3C47 C443 -C23X10P(A)一 3一 3一 3C3C47C4433C50C47C33 10C23119600.00051法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件挪完。（挪釘要計(jì)先后次序）對(duì)E:挪法有 A0種，每種挪法等可能對(duì)A:三支次釘必須挪在“ 1,2, 3”位置上或“ 4, 5, 6”位置上，或“ 28, 29, 30” 位置上。這種挪法有 A31A4

12、77 A33 A27A33 A2710A31 a4；種10 A3 A4771P(A)a330堿 0.0005117 .十三已知 P(A) 0.3,P(B) 0.4, P(AB) 0.5，求 P(B|A B)。解一：P(A) 1 P(A) 0.7, P(B) 1 P(B) 0.6, A AS A(B B) AB AB 注意(AB)(AB).故有P (AB尸P (A) P (AB )=0.7 0.5=0.2。再由加法定理，P (AU B)= P (A)+ P (B)-P (AB )=0.7+0.6 0.5=0.8于是 P(B|A B)PB(A _B)P(A B)P(AB)P(A B)解二:P(AB

13、) P(A)P(B | A)由已知0507 P(B | A)P(B | A)0.5 50.7 7P(B | A)故 P(AB) P(A)P(B| A)眄A B)包需詈P(BA)P(A) P(B) P(AB) 0.7 0.6 0.50.25111,、18.十四P(A) 1, P(B|A) 1, P(A|B) 3,求P(A B)。432解：由P(A|B)曾1 1P(A)P(B|A)由已知條件17 3m1咋I- P(B)一P(B)2P(B) 66由乘法公式，得 P(AB) P(A)P(B|A) 1121111由加法公式，得 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 4 6 112 319 .十五

14、擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為 7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率(用 兩種方法)。解：(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間，求事彳A發(fā)生的概率)。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(x, y) (x, y=1,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7,則樣本空間為S=(x, y)| (1,6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每種結(jié)果(x, y)等可能。一一 ，一 一. 一,21A=擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為 7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故P(A) - -63方法二：(用公式P(A|B)P(AB)P(B)S=( x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A= 擲兩顆骰子，x, y中有一個(gè)為“ 1點(diǎn)”，B= 擲兩顆骰子,x,+y=7”。則P(B)烏-,P(AB)66262