-1-數(shù)學(xué)專題 第六講：二次根式【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】一、二次根式式子（）叫做二次根式 a提醒：次根式 必須注意a_o這一條件，其結(jié)果也是一個(gè)非數(shù)即：_o a a二次根式（ao）中，a可以表示數(shù)，也可以是一切符合條件的代數(shù)式 a二、二次根式的性質(zhì)：（）2=（a0）a=2a=（a0,b0）=abab(a0,b0)提醒：二次根式的性質(zhì)注意其逆用：如比較2 和3 的大小，可逆用（）3 2 a2=a(a0)將根號(hào)外的整數(shù)移到根號(hào)內(nèi)再比較被開方數(shù)的大小三、最簡二次根式：最簡二次根式必須同時(shí)滿足條件：1、被開方數(shù)的因數(shù)是，因式是整式 2、被開方數(shù)不含 的因數(shù)或因式四、二次根式的運(yùn)算：1、二次根式的加減：先將二次根式化簡，再將 的二次根式進(jìn)行合并，合并的方法同合并同類項(xiàng)法則相同 2、二次根式的乘除：乘除法則：.=（a0,b0）除法法則：=（a0，b0）a bab 3、二次根式的混合運(yùn)算順序：先算 再算 最后算 提醒：1、二次根式除法運(yùn)算過程一般情況下是用將分母中的根號(hào)化去這一方法進(jìn)行：如：=32 2、二次根式混合運(yùn)算過程要特別注意兩個(gè)乘法公式的運(yùn)用 3、二次根式運(yùn)算的結(jié)果一定要化成 重點(diǎn)考點(diǎn)例析 考點(diǎn)一：二次根式有意義的條件例1 如果代數(shù)式 有意義，則x的取值范圍是（）43 x Ax3 Bx3 Cx3 Dx3思路分析：根據(jù)二次根式的意義得出x-30，根據(jù)分式得出x-30，即可得出x-30，求出即可（ao）（ao）-2-解：要使代數(shù)式 有意義，43 x 必須x-30，解得：x3故選C點(diǎn)評：本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件的應(yīng)用，注意：分式 中BAA0，二次根式 中a0 a對應(yīng)訓(xùn)練1使代數(shù)式 有意義的x的取值范圍是（）2 1xx Ax0 Bx Cx0且x D一切實(shí)數(shù)1212解：由題意得：2x-10，x0，解得：x0，且x，故選：C12 考點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)例2 實(shí)數(shù)a、b在軸上的位置如圖所示，且|a|b|，則化簡 的結(jié)果為（2|a a b）A2a+b B-2a+b Cb D2a-b思路分析：現(xiàn)根據(jù)數(shù)軸可知a0，b0，而|a|b|，那么可知a+b0，再結(jié)合二次根式的性質(zhì)、絕對值的計(jì)算進(jìn)行化簡計(jì)算即可解：根據(jù)數(shù)軸可知，a0，b0，原式=-a-（a+b）=-a+a+b=b故選C點(diǎn)評：二次根式的化簡和性質(zhì)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是注意開方結(jié)果是非負(fù)數(shù)、以及絕對值結(jié)果的非負(fù)性對應(yīng)訓(xùn)練2實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則 的化簡結(jié)果為 2()a b a 解：由數(shù)軸可知：b0a，|b|a|，2()a b a=|a+b|+a=-a-b+a=-b，故答案為：-b考點(diǎn)三：二次根式的混合運(yùn)算-3-例3 2 11 1 1 2(3 1)3()2 2 2 2 1 思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，分別化簡，進(jìn)而利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可解：原式=4 2 32 1 3 22=2 3 2 1 3 2=3二次根式的混合運(yùn)算以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，將各式進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練3計(jì)算：148 3 12 242 解：148 3 12 242 4 3 3 6 2 6 4 6 考點(diǎn)四：與二次根式有關(guān)的求值問題例4 先化簡，再求值：，其中x=22 21 1 2 1()1(1)(1)x x xx x x x A12思路分析：先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可解：原式=，2(1)1(1)4x xx x xA當(dāng)x=時(shí)，x+10，12可知，2(1)1 x x 故原式=；1(1)1 1 11(1)4 4 242x xx x x x A點(diǎn)評：考查的是二次根式及分式的化簡求值，解答此題的關(guān)鍵是當(dāng)x=時(shí)得出12，此題難度不大2(1)1 x x 對應(yīng)訓(xùn)練4計(jì)算 之值為何？（）2 2 2114 64 50-4-A0 B25 C50 D80分析：根據(jù)平方差公式求出1142-642=（114+64）（114-64）=17850，再提出50得出50（178-50）=50128，分解后開出即可解：2 2 2114 64 50=2(114 64)(114 64)50=178 50 50=50(178 50)=50 128=258，2 22 5 8 2=80，故選D考查了平方差公式，因式分解，二次根式的運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算【聚焦中考】1下列運(yùn)算正確的是（）BA B Cx6x3=x2 D（x3）2=x52(5)5 21()164 2.計(jì)算：014 82 3計(jì)算：70(3)12 3【備考真題過關(guān)】一、選擇題1要使式子 有意義，則x的取值范圍是（D）2 x Ax0 Bx-2 Cx2 Dx22計(jì)算=（A）10 2 A B5 C D 5521023.計(jì)算：=（）3 2 2-5-4已知，則有（）3()(2 21)3m A5m6 B4m5 C-5m-4 D-6m-5解：3()(2 21)3m 23 213 23 73，2 7 28，25 28 36，5 28 6 即5m6，故選A5下列計(jì)算正確的是（D）Ax3+x3=x6 Bm2m3=m6 C D 3 2 2 3 14 7 7 2 6下列等式一定成立的是（B）A B C D 9 4 5 5 3 15 9 3 2(9)9 7使式子 有意義的x的取值范圍是（）A x1 B1x2 Cx2 D1x2解：根據(jù)題意，得，解得，1x2；故選B8在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（）A B C D解：=ab，二次根式 的有理化因式是：故選：C-6-主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟練利用定義得出是解題關(guān)鍵9下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A B C D分析：根據(jù)二次根式的乘法對A、B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對D進(jìn)行判斷解：A、=，所以A選項(xiàng)的計(jì)算正確；B、與 不是同類二次根式，不能合并，所以B選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；C、=2，所以C選項(xiàng)的計(jì)算正確；D、=2，所以D選項(xiàng)的計(jì)算正確故選B10下列計(jì)算正確的是（）A B C D分析：根據(jù)同類二次根式才能合并可對A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法對B進(jìn)行判斷；先把 化為最簡二次根式，然后進(jìn)行合并，即可對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法對D進(jìn)行判斷解：A、與 不能合并，所以A選項(xiàng)不正確；B、=，所以B選項(xiàng)不正確；C、=2=，所以C選項(xiàng)正確；D、=2=2，所以D選項(xiàng)不正確故選C11下列計(jì)算或化簡正確的是（）Aa2+a3=a5B C D分析：A、根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則計(jì)算；B、化簡成最簡二次根式即可；C、計(jì)算的是算術(shù)平方根，不是平方根；D、利用分式的性質(zhì)計(jì)算解：A、a2+a3=a2+a3，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、+3=+，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、=3，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、=，此選項(xiàng)正確故選D考查了合并同類項(xiàng)、二次根式的加減法、算術(shù)平方根、分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握有關(guān)運(yùn)算法則，并注意區(qū)分算術(shù)平方根、平方根12下列計(jì)算正確的是（）A B C D分析：根據(jù)二次根式的乘除法則，及二次根式的化簡結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案解：A、=1，故本選項(xiàng)正確；B、1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、=，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；-7-D、=2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A二、填空題13當(dāng)x=-4時(shí)，的值是 6 3x 3 214若 是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為 5 20n解：20n=225n整數(shù)n的最小值為5故答案是：515若二次根式 有意義，則x的取值范圍是 x-1 1 x 16（當(dāng)x 時(shí)，二次根式 有意義01x17已知，若b=2-a，則b的取值范圍是(3)0 a a 2 3 2 b 解：，(3)0 a a，0,3 0 a a 解得a0且a，30a，3，3 0 a，2 3 2 2 a 即 2 3 2 b 故答案為：2 3 2 b 18計(jì)算 的結(jié)果是 21205g19計(jì)算 的結(jié)果是 2 222 1-8-解：原式=(2 2)2 2 2 22 12 2 2 故答案為：。2 1 20.計(jì)算：32 2 3 221計(jì)算 124 183 622使式子 有意義的最小整數(shù)m是 分析：根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計(jì)算即可得解解：根據(jù)題意得，m20，解得m2，所以最小整數(shù)m是2故答案為：2三、解答題23計(jì)算：（-1）101+（-3）0+-11()2 2(1 2)解：原式=-1+1+2-（）=3-2 1 224計(jì)算：+|-4|-93-1-20120 3 12 解：+|-4|-93-1-201203 12=+4-9-1 3 12 13=6+4-3-1=625計(jì)算：分析：先去括號(hào)得到原式=+，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和乘法法則得到原式=2+然后合并即可解：原式=+=2+=226計(jì)算：+（）1（+1）（1）分析：原式第一項(xiàng)化為最簡二次根式，第二項(xiàng)利用負(fù)指數(shù)公式化簡，第三項(xiàng)利用平方差公式化簡，合并后即可得到結(jié)果解：+（）1（+1）（1）=2+4（51）=2+44-9-=2