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1、分類計數原理分類計數原理與與 分步計數原理分步計數原理看下面問題看下面問題：問題一問題一問題一問題一：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有一天中，火車有3班，汽車有班，汽車有2班那么一天中，乘坐班那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？因為一天中乘火車有因為一天中乘火車有3種走法，乘汽車有種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：325（種）（種）分類計數原理與分步計數原理分類計數原理與分步計數原理

2、問題問題2：如圖：如圖,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3條條由由B村去村去C村的道路有村的道路有2條。從條。從A村經村經B村去村去C村，共有多少種不同的走法村，共有多少種不同的走法?A村村B村村C村村北北南南中中北北南南 解：解：從從A村經村經 B村去村去C村有村有2步步,第一步第一步,由由A村去村去B村有村有3種方法種方法,第二步第二步,由由B村去村去C村有村有2種方法種方法,根據分步計數原理，從根據分步計數原理，從A村經村經 B村去村去C村共有村共有3 2=6 種不同的方法種不同的方法1、分類計數原理、分類計數原理（加法原理）（加法原理）完成一件事，有完成一件事，有n類方式類方式,在

3、第一在第一類方式中有類方式中有m1種不同的方法種不同的方法,在第二在第二類方式中有類方式中有m2種不同的方法，種不同的方法，在第，在第n類方式中有類方式中有mn種不同的方種不同的方法。那么完成這件事共有法。那么完成這件事共有 種不同的方法種不同的方法N=m1+m2+mn2、分步計數原理、分步計數原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n個步驟，個步驟，完成第一步有完成第一步有m1種不同的方法，完成種不同的方法，完成第二步有第二步有m2種不同的方法，種不同的方法，完，完成第成第n步有步有mn種不同的方法，那么完種不同的方法，那么完成這件事有種成這件事有種 不同的方法不同的方法。（乘法原理）

4、（乘法原理）N=m1m2mn 分類計數與分步計數的異同比較分類計數與分步計數的異同比較一、共同點：一、共同點：它們都是研究完成一件事，共有多少種它們都是研究完成一件事，共有多少種不同的方法。不同的方法。二、不同點二、不同點1、分類計數原理是、分類計數原理是“分類完成分類完成”的，每類方式之間是彼的，每類方式之間是彼此此獨立的獨立的，即任何一類方式中的任何一個方法都能達到完，即任何一類方式中的任何一個方法都能達到完成這件事的目的。成這件事的目的。分步計數原理是分步計數原理是“分步完成分步完成”的，每個步驟順次相依，的，每個步驟順次相依，只有完成所有步驟才能達到完成這件事的目的只有完成所有步驟才能

5、達到完成這件事的目的2、分類完成用、分類完成用“加法加法”分步完成用分步完成用“乘法乘法”例例1 1在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到A A、B B兩所兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：大學各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A大學大學B大學大學生物學生物學化學化學醫(yī)學醫(yī)學物理學物理學工程學工程學數學數學會計學會計學信息技術學信息技術學法學法學如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？如果這名同學只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？解：這名學生填寫高考志愿分兩類；第一類在解：這名學生填寫高考志愿分兩類；第一類

6、在A大學選擇自己感大學選擇自己感興趣的專業(yè)，在興趣的專業(yè)，在5種不同的填法；種不同的填法；第二類在第二類在B大學選擇一個自己感興趣的專業(yè)，有大學選擇一個自己感興趣的專業(yè)，有4種不同的填法。種不同的填法。根據分類計數原理共有根據分類計數原理共有5+4=9（種）填法（種）填法變式：變式：若還有若還有C C大學，其中強項專業(yè)為：新聞學、金融大學，其中強項專業(yè)為：新聞學、金融學、人力資源學學、人力資源學.那么，這名同學可能的專業(yè)選擇共那么，這名同學可能的專業(yè)選擇共有多少種？有多少種？A大學大學B大學大學生物學生物學化學化學醫(yī)學醫(yī)學物理學物理學工程學工程學數學數學會計學會計學信息技術學信息技術學法學法學

7、C大學大學新聞學新聞學金融學金融學人力資源學人力資源學注意：分類加法計數做到不重，不漏！注意：分類加法計數做到不重，不漏！略解：分三類；共有略解：分三類；共有5+4+3（種）（種）例例2：兩個袋子里分別裝有兩個袋子里分別裝有60個紅球，個紅球，40 個白個白球，從中任取一個球，有多少種取法？從中各球，從中任取一個球，有多少種取法？從中各取一個，有多少種不同的取法？取一個，有多少種不同的取法？分析：任取一個球的方法可以分成兩類：分析：任取一個球的方法可以分成兩類：40個個60個個各取一個球的方法可以分為兩步來完成各取一個球的方法可以分為兩步來完成解（解（2）：取一個白球和一個紅球可以）：取一個白

8、球和一個紅球可以分成兩步分成兩步來完成來完成第一步從裝白球的袋子里取一個白球，有第一步從裝白球的袋子里取一個白球，有60種取法種取法第二步從裝紅球的袋子里取一個紅球，第二步從裝紅球的袋子里取一個紅球，有有40種取法種取法根據分步計數原理共有根據分步計數原理共有6040=2400種取法種取法第二步從裝紅球的袋子里取一個紅球，第二步從裝紅球的袋子里取一個紅球，有有40種取法種取法根據分步計數原理共有根據分步計數原理共有6040=2400種取法種取法解（解（1）：任取一個球的方法可以）：任取一個球的方法可以分成兩類分成兩類：第一類是從裝白球的袋子里取一個白球，有第一類是從裝白球的袋子里取一個白球，有

9、40種取法。種取法。第二類是從裝紅球的袋子里取一個紅球，有第二類是從裝紅球的袋子里取一個紅球，有60種取法。種取法。因此根據分類計數原理取法種數共有因此根據分類計數原理取法種數共有40+60=100（種）（種）取法取法例例3：用前6個大寫英文字母和19個阿拉伯數字,以A1,A2,B1,B2的方式給教室的座位編號.有多少種不同的編號？A123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A99種B1234567899種分析：以A、B、C、D、E、F為首字母的編號分6類每類有9種編號，根據加法原理共有6 9=54（種）分析：分析：例例4 4要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3 3幅不同的畫中選出幅不同的畫

10、中選出2 2幅，分別掛在幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，左右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？問共有多少種不同的掛法？32解：從甲乙丙三幅不同的畫中選擇2幅分別掛在左右兩邊墻上，分兩步第一步：從甲乙丙三幅不同的畫中選1幅掛在左國邊墻上，有3種不同的選法第二步：從剩下的兩幅中選1幅掛在右邊墻上，有2種不同的選法根據分步計數原理，共有32=6種不同的掛法 變式變式1:1:要把要把3 3個球放入個球放入2 2兩個不同的口袋兩個不同的口袋,有幾種不同的有幾種不同的放法放法?變式變式2:2:要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3 3名工人中選出名工人中選出2 2名分別上日班名分別上日班和晚班，有多

11、少種不同的選法？和晚班，有多少種不同的選法？分三步，放每個球都有兩個不同的放法，根據乘法原理，共分三步，放每個球都有兩個不同的放法，根據乘法原理，共有有222=8種不同的放法種不同的放法分兩步，第一步，先從分兩步，第一步，先從3名工人中選名工人中選1人上日班，有人上日班，有3種不同的選法種不同的選法第二步，再從剩下的第二步，再從剩下的2名工人中選名工人中選1人上晚班，有人上晚班，有2種不同的選法種不同的選法根據分步計數原理：共有根據分步計數原理：共有32=3種不同的選法種不同的選法變式變式3 3：0-90-9這十個數一共可以組成多少這十個數一共可以組成多少3 3位數字？位數字？分析：分三步：第

12、一步首先要確定首位（分析：分三步：第一步首先要確定首位（0 0）不能做首位）不能做首位然后再分別確定十位和個位十位、個位數字允許重復。然后再分別確定十位和個位十位、個位數字允許重復。故有故有91010=90091010=900個個3 3位數位數變式變式4：用：用0-9這十個數一共可以組成多少個沒有重復這十個數一共可以組成多少個沒有重復數字的數字的3位數位數分析：分三步：第一步首先要確定首位（分析：分三步：第一步首先要確定首位（0）不能做首位，有）不能做首位，有9種選法。然后再分別確定十位，百位用過的不能用，但種選法。然后再分別確定十位，百位用過的不能用，但0可以可以選，還是選，還是9種選法，第

13、三步確定個位，百位和十位用過的都以種選法，第三步確定個位，百位和十位用過的都以能再選，有能再選，有8種選法。種選法。故有故有998=648個個3沒有重復數字的三位數沒有重復數字的三位數（1）5名學生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學名學生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學生都有生都有4種報名方法，種報名方法，5名學生都報了項目才能算完成這一名學生都報了項目才能算完成這一事件。故報名方法種數為事件。故報名方法種數為44444=種種.（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學生都可能獲得）每個項目只有一個冠軍，每一名學生都可能獲得其中的一項獲軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有其中的一項獲軍，因此每

14、個項目獲冠軍的可能性有5種種故有故有n=5=種種.變式變式5：五名學生報名參加四項體育比賽，每人五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數為多少？限報一項，報名方法的種數為多少？五名學生五名學生爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？少種？注意注意：利用分步計數原理計數，關鍵要分清幾步，算好每一步：利用分步計數原理計數，關鍵要分清幾步，算好每一步的方法數。的方法數。一個三位密碼鎖一個三位密碼鎖,各位上數字由各位上數字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個數字組成十個數字組成,可以設置多少種三位數的密碼可以設置多少種三位數的

15、密碼(各各位上的數字允許重復位上的數字允許重復)?首位數字不為首位數字不為0的密碼數的密碼數是多少是多少?首位數字是首位數字是0的密碼數又是多少的密碼數又是多少?分析分析:按密碼位數按密碼位數,從左到右依次設置第一位、從左到右依次設置第一位、第二位、第三位第二位、第三位,需分為三步完成需分為三步完成;第一步第一步,m1=10;第二步第二步,m2=10;第三步第三步,m3=10.根據乘法原理根據乘法原理,共可以設置共可以設置N=101010=103 種三位數的密碼。種三位數的密碼。練習練習1首位數字不為0，第一步，m1=9；首位數字為首位數字為0，m1=1給程序模塊命名，需要用給程序模塊命名，需

16、要用3個字符，其中首個字符要個字符，其中首個字符要求用字母求用字母AG或或UZ，后兩個要求用數字，后兩個要求用數字19，問最多可以給多少個程序命名？問最多可以給多少個程序命名？分析：分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第一步，要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第一步，選首字母字符；第二步，先中間數字字符；第三步，選末位選首字母字符；第二步，先中間數字字符；第三步，選末位數字字符。數字字符。解：解：要給一個程序模塊命名，可分三個要給一個程序模塊命名，可分三個步驟，第一步字母首字符共有步驟，第一步字母首字符共有7+613種不同的選法，種不同的選法，答：答：最多可以給最多可以給10531

17、053個程序命名。個程序命名。第二步中間數字字符有第二步中間數字字符有9種不同的選法種不同的選法 第三步，末位數字字符有第三步，末位數字字符有9種不同的選法種不同的選法根據分步計數原理根據分步計數原理，最多可以有，最多可以有13991053種不同的選法種不同的選法練習練習21、乘積、乘積 展開后共有幾項？展開后共有幾項？2、某商場有、某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進入個門，如果某人從其中的任意一個門進入商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？出商場的方式？練習練習3分析 分三步，第一步從第一個因式中任取一項有3種

18、不同的取法第二步從第二個因式中任取一項，有3種不同的取法；第三步從第三個因式中任取一項有5種不同的取法。根據分步計數原理 共有335=45（項）分析分析 進出商場分兩步，第一步從進出商場分兩步，第一步從6個門中選一門進入商場，有個門中選一門進入商場，有6種種不同的進法；第二步從其它不同的進法；第二步從其它5個門出去，有個門出去，有5種不同的出法。種不同的出法。根據分步原理。共有根據分步原理。共有65=30（種）不同的進出方式（種）不同的進出方式 3.如圖如圖,該電該電路路,從從A到到B共共有多少條不有多少條不同的線路可同的線路可通電？通電？AB練習練習4所以所以,根據分類原理根據分類原理,從從

19、A到到B共有共有 N=3+1+4=8 條不同的線路可通電。條不同的線路可通電。在解題有時既要分類又要分步。在解題有時既要分類又要分步。解解:從總體上看由從總體上看由A到到B的通電線路可分三類的通電線路可分三類,第一類第一類,m1=3 條條第二類第二類,m2=1 條條第三類第三類,m3=22=4,條條1 1、從、從5 5名同學中選出正副班長各一名，則不同的任職名同學中選出正副班長各一名，則不同的任職方案有多少種？方案有多少種？2 2、三層書架上，上層放著、三層書架上，上層放著1010本不同的語文書，中層本不同的語文書，中層放著放著9 9本不同的數學書，下層放著本不同的數學書，下層放著8 8本不同

20、的英語書，本不同的英語書，（1 1）從書架上任取一本，有多少種取法？）從書架上任取一本，有多少種取法？（2 2）從書架上任取語數外各一本，有多少種取法？）從書架上任取語數外各一本，有多少種取法？3 3、在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩、在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有多少個？位數共有多少個？4某中學的一幢某中學的一幢5層教學樓共有層教學樓共有3處樓梯，問從處樓梯，問從1樓到樓到5樓共有多少種不同的走法？樓共有多少種不同的走法？判斷下列用分類判斷下列用分類 還是分步原理，并說出式子還是分步原理，并說出式子練習練習5 有些較復雜的問題往往不是單純有些較復雜的問題往往不是

21、單純的的“分類分類”“分步分步”可以解決的，可以解決的，而要將而要將“分類分類”“分步分步”結合起來結合起來運用一般是先運用一般是先“分類分類”，然后再，然后再在每一類中在每一類中“分步分步”，綜合應用分綜合應用分類計數原理和分步計數原理請看類計數原理和分步計數原理請看下面的例題：下面的例題：注意注意實際問題實際問題 從甲地到乙從甲地到乙地有地有3條路，條路，從乙地到丁地從乙地到丁地有有2條路；從條路；從甲地到丙地有甲地到丙地有3條路，從丙條路，從丙地到丁地有地到丁地有4條路，問：從條路，問：從甲地到丁地有甲地到丁地有多少種走法？多少種走法？甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 要回答這個問題，就要用到計數

22、的兩個基本原理要回答這個問題，就要用到計數的兩個基本原理先分兩類，即先分兩類，即甲甲乙乙丁和甲丁和甲丙丙丁丁.每一類中每一類中又分兩步。又分兩步。第一類：從甲第一類：從甲乙乙丁有丁有32=6種不同的走法種不同的走法。第二類第二類甲甲丙丙丁有丁有34=12種不同的走法。種不同的走法。根據分類計數原理共有根據分類計數原理共有6+12=18種不同走法種不同走法1有不同的中文書有不同的中文書9本，不同的英文書本，不同的英文書7本，不同的日本，不同的日文書文書5本從其中取出不是同一國文字的書本從其中取出不是同一國文字的書2本，問有多本，問有多少種不同的取法？少種不同的取法？2集合集合A=1,2,-3,B

23、=-1,-2,3,4 從從A,B 中各取中各取1個元個元素作為點素作為點P(x,y)的坐標的坐標（1）可以得到多少個不同的點？）可以得到多少個不同的點？（2）這些點中，位于第一象限的有幾個？）這些點中，位于第一象限的有幾個？3.用用6張一角硬幣，張一角硬幣，4張一元硬幣，張一元硬幣，3張五元紙幣，共能張五元紙幣，共能組成不同幣值為多少種？組成不同幣值為多少種？課堂作業(yè)課堂作業(yè)4、填空（、填空（1）將）將3封信投入封信投入4個不同的信箱，共有個不同的信箱，共有_ 種不同的投法；種不同的投法；（2）4名學生爭奪名學生爭奪3項冠軍，每項冠軍只能由項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，則獲得冠軍的可能性有一

24、人獲得，則獲得冠軍的可能性有_種；種；（3）將）將4個不同的球放入個不同的球放入3個不同的盒子，共個不同的盒子，共有有_種不同的放法；種不同的放法；43第二課時第二課時1從3名女同學和2名男同學中選1人主持本班的某次主題班會，則不同的選法為()A6種B5種 C3種 D2種解析：有325種答案：B3從6個人中選4個人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市至少有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6個人中，甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有()A300種 B240種 C144種 D96種解析：能去巴黎的有4個人，能去剩下三個城市的依次有5個、4個、3個人，所以不同的選擇方

25、案有4543240(種)答案：B答案：8 熱點之一熱點之一分類加法計數原理 分類加法計數原理是人們在大量實踐經驗的基礎上歸納出來的基本規(guī)律從思想方法的角度看，運用分類加法計數原理解決問題就是將一個復雜問題分解為若干“類別”，先分類解決，各個擊破，再將其整合，得出原問題的答案運用該原理解決問題的突破口是明確什么是“完成一件事”例1在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的數共有多少個？思路探究該問題與計數有關，可考慮選用兩個基本原理來計算完成這件事，只要兩位數的個位、十位確定了即可，因此可考慮按十位上的數字情況進行分類課 堂 記 錄 根 據 題 意，按 十 位 數 上 的 數 字 分 別 是1,2

26、,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個由分類加法計數原理，符合題意的兩位數共有8765432136(個)即時訓練 集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ.把滿足上述條件的一對有序整數對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數是()A9 B14 C15 D21解析：PQ，xy或x2.當x2時，y1,2，y有7種選法；當xy時，y1,2，y也有7種選法共有滿足條件的點7714個答案：B熱點之二熱點之二分步乘法計數原理 如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能

27、完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，計算完成這件事的方法種數就用分步乘法計數原理例2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的點(a，bM)，問：(1)P可表示平面上多少個不同的點？(2)P可表示平面上多少個第二象限的點？(3)P可表示多少個不在直線yx上的點？思路探究本例實質是分步乘法計數原理在解決解析幾何問題中的應用這里應該注意兩點：一是集合M中的每個元素可作為同一點的橫、縱坐標；二是第(3)問用逆向求解的間接法即時訓練 已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，則(1)yax2bxc可以表示多少個不同的二次函數(2)yax2bxc可以表示多少個圖象開

28、口向上的二次函數解：(1)a的取值有5種情況，b的取值有6種情況，c的取值有6種情況，因此yax2bxc可以表示566180個不同的二次函數例3將紅、黃、綠、黑4種不同的顏色分別涂入下圖中的五個區(qū)域內，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？思路探究五個區(qū)域，四種顏色，所以至少有兩個區(qū)域涂的是同一種顏色，結合圖形，可以先選出涂同一種顏色的區(qū)域，再進行涂色即時訓練 用n種不同的顏色為兩塊廣告牌著色如下圖甲、乙所示，要求在，四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色(1)若n6，為甲著色時共有多少種不同的方法？(2)若為乙著色時共有120種不同的方法，求n的值例4(201

29、0全國)某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A30種B35種C42種 D48種1(2010全國)將標號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有()A12種 B18種C36種 D54種2(2010重慶)某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有()A504種 B960種C1008種 D1108種3(2010湖北高考)現安

30、排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是()A152 B126C90 D54小結小結2.2.分類計數原分類計數原理和分步計數理和分步計數原理的共同點原理的共同點是什么？不同是什么？不同點什么？點什么？1:1:分類計數原分類計數原理和分步計數理和分步計數原理定義原理定義 作業(yè)作業(yè)：P12 1,2,3,4 如圖如圖,一螞蟻沿著長方體的棱一螞蟻沿著長方體的棱,從一個頂點從一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條?A1B1C1D1ACDB練習 解解:如圖如圖,從總體上看從總體上看,如如,螞蟻從頂點螞蟻從頂點A爬到頂爬到頂點點C1有三類方法有三類方法,從局部上看每類又需兩步完從局部上看每類又需兩步完成成,所以所以,第一類第一類,m1=12=2 條條 第二類第二類,m2=12=2 條條 第三類第三類,m3=12=2 條條 所以所以,根據加法原理根據加法原理,從頂點從頂點A到頂點到頂點C1最近最近路線共有路線共有 N=2+2+2=6 條。條。A1B1C1D1ACDB