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1、 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系 第三節(jié) 齊 次 方 程如果一階微分方程:的方程,就稱它為齊次方程.可化成形式為 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系例如:它可化為 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系齊次微分方程通解的求法:1.我們可以設(shè)u=y/x,將方程化為可分離變量的方程在計算出等式左邊的積分后,再將y/x代替u得到結(jié)果.如果(u)-u=0有實數(shù)根的話,則應(yīng)該補(bǔ)上.高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系例1 求解方程有三個根u=0,u=1,u=-1它

2、們對應(yīng)y=0,y=x,y=-x代入上面的解,都是C=0.如果允許C=0,則就可以不考慮被丟的解.高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系例2 求解方程:高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系二.可化為齊次的方程可采用可分離變量微分方程進(jìn)行計算.(1)高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系例3 求微分方程的通解 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系(2)解方程組:求出解x=,y=,令u=x-,v=y-,du=dx,dv=dy利用齊次方程的方法 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教

3、教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系例4 求解方程分析:本方程的系數(shù)為利用解方程的形式:高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系 三三 能直接化為可分離變量的方程能直接化為可分離變量的方程除齊次方程外,究竟什么樣的方程能通過變量代換化為可分離變量的方程,以及用什么樣的變量代換,并沒有一般規(guī)律可循,需要根據(jù)具體情況分析.高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系 分析:此方程既不是可分離變量的方程,也不是齊次方程 (當(dāng)然也不屬于線性或全微分方程).把方程寫成如下形式發(fā)現(xiàn)方程的右端分子和分母都含有xy的一次式,我們作變量代換z=xy

4、,例5 求微分方程:(y+xy2)dx+(x-x2y)dy=0 的通解.高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系從此例可見,形如 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 的微分方程,可通過變量代換z=xy,把它化為可分離變量的方程.(y+xy2)dx+(x-x2y)dy=0 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系例6 求微分方程的通解分析:把方程改寫成這是原方程的通解.這不是可分離變量的方程,也不是齊次方程或其他已知類型的方程從方程的右端可看出,若作變量代換x+y=z 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理

5、理系系 上面我們研究的微分方程都是歸納為可分離變量的微分方程.首先我們介紹了直接可分離變量的方程:例如:g(y)dx+f(x)dy=0的形式.這可通過恒等變換,把方程的兩邊變成:再把等式兩端分別求不定積分,就得到其通解.高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電電子子教教案案 武武漢漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系 (二)通過簡單變量代換能化為可分離變量的方程.這類方程可通過變量代換 y=ux 化為可分離變量的方程.2.其他可化為可分離變量的方程如果則可令 u=au=a1 1x+bx+b1 1y y,化為可分離變量的方程;如果c1=c2=0,則把方程直接變成齊次方程計算.則求出a a1 1x+bx+b1 1y+cy+c1 1=0,a=0,a2 2x+bx+b2 2y+cy+c2 2=0=0的根,令u=x-v=y-u=x-v=y-變齊次方程計算;1.齊次微分方程(1)形如如果