6.5 函數(shù)的極值及其求法 由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰”、“谷”，函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無(wú)論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論.一、函數(shù)極值的定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,注 這個(gè)結(jié)論又稱為Fermat 定理如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒(méi)有駐點(diǎn) 則此函數(shù)沒(méi)有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號(hào)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)可疑極值點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) 可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號(hào)，則問(wèn)題即可得到解決。定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)求極值的步驟:(不是極值點(diǎn)情形)例1解列表討論極大值極小值圖形如下列表討論如下：定理3(第二充分條件)證例2解圖形如下注意:例3解注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).例4證（不易判明符號(hào)）而且是一個(gè)最大值點(diǎn)，例5 設(shè)f(x)連續(xù)，且f(a)是f(x)的極值，問(wèn)f 2(a)是否是 f 2(x)的極值證分兩種情況討論所以 f 2(a)是 f 2(x)的極小值設(shè)f(a)是f(x)的極小值，且又f(x)在 x=a 處連續(xù)，且f 2(a)是 f 2(x)的極大值同理可討論f(a)是f(x)的極大值的情況例6假定f(x)在x=x0處具有直到n 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且證明當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)，f(x0)是f(x)的極值當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，f(x0)不是f(x)的極值證由Taylor 公式，得因此存在x0的一個(gè)小鄰域，使在該鄰域內(nèi)下面來(lái)考察兩種情形n 為奇數(shù)，當(dāng)x 漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí) 變號(hào)不變號(hào)變號(hào)不是極值n 為偶數(shù)，當(dāng)x 漸增地經(jīng)過(guò)x0時(shí)不變號(hào)不變號(hào)不變號(hào)是極值且當(dāng)時(shí) 是極小值當(dāng)時(shí)是極大值例4 解例5 解函數(shù)最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)xa,b(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；令f(x)=0，求出駐點(diǎn)；(2)求出駐點(diǎn)處的函數(shù)值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的 最大值，最小的就是最小值.三.函數(shù)的最值例題與練習(xí)解：(1).f(x)的定義域?yàn)?-，1，-8，1(-，+1(2).(3).令f(x)=0，解之得駐點(diǎn)為(5).比較大小得，在-8，1上的最大值為，最小值為-5.(4).練習(xí)：求函數(shù)y=x2-4x+6在閉區(qū)間-3，10上的最大值 和最小值 例9.求函數(shù)f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定義域?yàn)?-，+).解：(2).f(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f(x)=0，解之得駐點(diǎn)為x=1.當(dāng)x(-，1)時(shí)，f(x)0,單調(diào)遞增.(二)若函數(shù)在一個(gè)開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間(-，+)內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極值點(diǎn).例10.在半徑為R的半圓內(nèi)作內(nèi)接梯形，使其底為直徑其他三邊 為圓的弦，問(wèn)應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)，才能使梯形的面積最大？解：(三)：解決實(shí)際問(wèn)題中的最大值問(wèn)題的步驟：(1).根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式.(2).確定函數(shù)的定義域.(3).求函數(shù)f(x)在給定區(qū)域上的最大值或最小值.練習(xí)3.求半徑為R的半圓的內(nèi)接矩形的最大面積.例4.生產(chǎn)某種商品x個(gè)單位的利潤(rùn)是P(x)=5000+x-0.00001x2(元)問(wèn)生產(chǎn)多少個(gè)單位時(shí)獲得的利潤(rùn)最大？解：(1)函數(shù)關(guān)系式為P(x)=5000+x-0.00001x2(x0).(2)P(x)=1-0.00002x(3)令P(x)=0得駐點(diǎn)x=5104 x=5104是唯一駐點(diǎn)，又利潤(rùn)最大值存在.練習(xí)：當(dāng)生產(chǎn)5104個(gè)單位時(shí)獲得的利潤(rùn)最大.1）求出函數(shù)的定義域；2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；3）令f(x)=0,解出方程f(x)=0的全部解，得到f(x)的 全部駐點(diǎn)。4）列表考察f(x)的符號(hào)，以確定該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，并由極值點(diǎn)求出函數(shù)的極值。求函數(shù)極值的步驟：極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)小結(jié)與作業(yè)最值問(wèn)題的兩種類型：(1)求出給定解析式的導(dǎo)數(shù)f(x)；令f(x)=0，求出駐點(diǎn)；(2)求出駐點(diǎn)處的函數(shù)值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的 最大值，最小的就是最大值.1.已知函數(shù)解析式及閉區(qū)間求最值.2.實(shí)際問(wèn)題求最值.(1)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定函數(shù)的定義域；(3)求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，令f(x)=0，求出駐點(diǎn)；若定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間且駐點(diǎn)只存一個(gè)，則由題意判定函數(shù) 存在最大或最小值，則該駐點(diǎn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)值就是所求.作業(yè)：P146:1,2,3,4,5.思考題下命題正確嗎？思考題解答不正確例在1和1之間振蕩故命題不成立