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1、第一章 有理數(shù)1.1 正數(shù)和負數(shù)知識點一：正數(shù)和負數(shù)的概念正數(shù)就是我們在小學學習的除0外的所有的數(shù)，負數(shù)就是在正數(shù)前面加上一個“”號的數(shù)。說明：1、0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是正數(shù)與負數(shù)的分界。 2、正數(shù)有時也可以在前面加“”（正）號，有時“”（正）號省略不寫?！纠肯铝懈鲾?shù)中哪些是正數(shù)？哪些是負數(shù)？-2，0.5，+，0，-3.14，160，-.知識點二：用正負數(shù)可以表示具有相反意義的量 相反意義的量的正負性是相對的，且是可以互換的?！纠咳绻虮弊?5米記作+85米，那么向南走70米記作 。知識規(guī)律小結：1、區(qū)分正負數(shù)要根據(jù)正負數(shù)的概念，也可以根據(jù)符號區(qū)別，如果一個數(shù)的符號為“-”，則該數(shù)

2、為負數(shù)；如果一個數(shù)的符號為“+”或沒有符號，則該數(shù)為正數(shù)。2、0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。3、非正數(shù)：負數(shù)和零。4、非負數(shù)：正數(shù)和零。拓展：向東走-6米實際上就是向 走 米。易錯：零的意義是什么？（零是正數(shù)與負數(shù)的分界，不僅僅表示沒有，也表示實際意義。如收支0元，表示收入與支出平衡。1.2 有理數(shù)第一課時 有理數(shù) 數(shù)軸知識點一：有理數(shù)的有關概念整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。正整數(shù)、零、負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)。正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。說明：1、有時可以把整數(shù)看作分母是1的分數(shù)。2、因為有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分數(shù)，所以有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。3、因為圓周率是無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分數(shù)，所以圓周

3、率不是有理數(shù)。4、引入負數(shù)后，數(shù)的范圍擴大到了有理數(shù)，所以在整數(shù)和分數(shù)中不要忘記都有負數(shù)。5、奇數(shù)和偶數(shù)也擴展到了負數(shù)。知識點二：有理數(shù)的分類按整數(shù)、分數(shù)分類： 按正負性分類： 說明：1、正整數(shù)和零，即自然數(shù)，稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零稱為非正整數(shù)。 2、前者是按除法的性質(zhì)分類，后者是按減法的性質(zhì)分類。知識點三：數(shù)集的概念把一些數(shù)放在一起，就組成了一個數(shù)的集合，簡稱數(shù)集。說明：1、數(shù)集可以用大括號表示，也可以用圓圈表示。2、一個數(shù)集內(nèi)不能有兩個一樣的數(shù)。3、一個數(shù)集內(nèi)有無限多時，要用“”號。4、所有有理數(shù)組成的數(shù)集叫有理數(shù)集；所有整數(shù)組成的數(shù)集叫整數(shù)集；所有正數(shù)組成的數(shù)集叫正數(shù)集；所有正整數(shù)和零

4、組成的數(shù)集叫自然數(shù)集，也叫非負整數(shù)集?！纠?】把-，6，-6.5，0，-，-7.210，0.0，-43，-5%填入相應的數(shù)集內(nèi)。正數(shù)集正整數(shù)集非負數(shù)集負分數(shù)集ACB【例2】在有理數(shù)中，是整數(shù)而不是正數(shù)的數(shù)是 ，是負數(shù)而不是分數(shù)的數(shù)是 。拓展：有A=3，2，0，4、B=5，6，-5，0，2、C=-5，0，4，-2三個數(shù)集，請把這些數(shù)填入對應的三個圓圈內(nèi)。知識點四：數(shù)軸的概念規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。如圖：說明：1、數(shù)軸是一條直線，可以向兩方無限延伸，畫出的部分兩邊不要描點，以免畫成射線或線段。2、原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，一般取右為正方向，箭頭畫在最右端。知識點五：

5、數(shù)軸的畫法。1、畫一條水平的直線。2、在直線上適當選取一點為原點。3、確定向右為正方向，用箭頭表示出來。4、根據(jù)需要選取適當長度為單位長度，從原點向右、向左每隔一個單位長度取一點，依次標數(shù)。說明：三要素缺一不可，數(shù)軸是一條直線，不要畫成射線或線段，單位長度一定要一致。知識點六：數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關系。1、所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù)。如可以在數(shù)軸上表示，但不是有理數(shù)。2、正數(shù)可以用原點右邊的點表示，反過來原點右邊的點表示正數(shù)；負數(shù)可以用原點左邊的點表示，反過來原點左邊的點表示負數(shù)；0可以用原點表示，反過來原點表示0。3、零是正數(shù)和負數(shù)的分界點。【例1

6、】在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點4，-3，-1.5，0，0.5【例2】如圖，比較a，-a，b，-b，0的大小，并用“”連接。拓展：已知a為整數(shù)，且-1a3，則a= 。1.2 有理數(shù)第二課時 相反數(shù)知識點一：相反數(shù)的概念相反數(shù)的代數(shù)意義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。零的相反數(shù)是零本身。相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上，位于原點兩旁并且到原點距離相等的兩個點所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)。說明：1、相反數(shù)總是成對出現(xiàn)的，只能兩個數(shù)互為相反數(shù)，對一個數(shù)而言是談不上互為相反數(shù)的。2、只有是指除符號不同外，其他完全相同。3、-a與a互為相反數(shù)，a的相反數(shù)是-a，-a的相反數(shù)是a。【例】分別寫出下列各數(shù)的相反數(shù)

7、。-3，2，4.5，0，知識點二：多重符號的化簡方法一個數(shù)前面是正號，可以把正號去掉；一個正數(shù)前面有偶數(shù)個負號，可以把負號一起去掉；一個正數(shù)前面有奇數(shù)個負號，則化簡負號只剩一個負號。 【例】化簡下列各數(shù) -（-5） -（+2） -（-6） +-（-5）1.2 有理數(shù)第三課時 絕對值知識點一：絕對值幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0。 絕對值等于它本身的是正數(shù)與零，易漏掉零；絕對值等于它的相反數(shù)的數(shù)的負數(shù)與零，易漏掉零。說明：1、0既可以看作0本身，也可以看作是它的相反數(shù)。 2、數(shù)

8、a的絕對值 3、無論是絕對值的幾何意義，還是絕對值的代數(shù)意義，都揭示了一個絕對值的重要意義非負性，即|a|0，也就是絕對值的最小值是0?！纠?】求下列各數(shù)的絕對值（略）【例2】化簡： 知識點二：有理數(shù)大小的比較比較有理數(shù)的大小的方法有兩種：1、利用數(shù)軸直觀比較有理數(shù)的大小：數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。2、利用絕對值的知識比較有理數(shù)的大?。赫龜?shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)。兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。說明：在數(shù)軸上比較有理數(shù)大小比較直觀，一目了然，但比較麻煩；而絕對值比較有理數(shù)大小比較方便，一般都采用?！纠?】比較大小： 綜合應用：1、已知X是整數(shù)，且3X5，則X= 。 2、已知|m2|n

9、3|=0,求m、n的值。 3、化簡：|X3| |X2|X5| 4、數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡1.3 有理數(shù)的加減法第一課時 有理數(shù)的加法知識點一：有理數(shù)的加法法則法則1、同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。法則2、絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0。法則3、一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。說明：1、一個有理數(shù)由符號和絕對值兩部分組成，法則1、2就是分別確定了和的符號和絕對值。2、互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0，反之，如果兩數(shù)的和為0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)。3、加法法則的第一步是確定和的符號，第二步是確定和的絕對值

10、。 進行有理數(shù)的加法運算時，首先要確定用哪一條法則?！纠?】知識點二：有理數(shù)加法的運算律1、交換律：有理數(shù)加法中，兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。2、結合律：有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。說明：1、符號相同的或分母相同的先相加。2、相加得0的或相加得整數(shù)的先相加。 運算符號和性質(zhì)符號要分開，如3（-4）中前一個“”是運算符號，后一個“-”是性質(zhì)符號。【例2】【例3】1.3 有理數(shù)的加減法第二課時 有理數(shù)的減法知識點一：有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即ab=a(-b)說明：在有理數(shù)減法中，利用相反數(shù)，減法可轉化成加法。【例1】知

11、識點一：有理數(shù)的加減混合運算的步驟、1、把有理數(shù)的減法運算統(tǒng)一成加法運算。2、根據(jù)需要寫成省略加號和括號的代數(shù)和的形式。3、靈活運用有理數(shù)加法法則和加法運算律進行正確的、簡便的計算。說明：1、統(tǒng)一加法后，括號和加號可以省略。 2、也可以利用符號化簡直接簡寫。 3、讀法：20753讀作“負20、正7、正5、負3”，或“負20加7加5減3”【例2】【例3】3579118綜合應用：1、123456 991002、（-78）（-77）（-76）（-75） （+99）（+100）3、對于整數(shù)a、b、c、d，符號，已知13，則bd的值是 。1.4 有理數(shù)的乘除法第一課時 有理數(shù)的乘法知識點一：有理數(shù)的乘法

12、法則法則1、兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。法則2、任何數(shù)同零相乘都得零。法則3、幾個不是零的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)個時，積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)。法則4、幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，則積等于0。說明：1、有理數(shù)乘法，要先根據(jù)負因數(shù)的個數(shù)確定符號，再把絕對值相乘。 2、在運算中要把小數(shù)化為分數(shù)，帶分數(shù)化成假分數(shù)，便于約分?！纠?】 （-2）（-5） 【例2】 1.2（）（-2.5）（）知識點二：有理數(shù)的運算律乘法交換律、結合律、乘法分配律仍適用于有理數(shù)乘法。【例3】（-25）39（-4） -17 （-36） 知識點三：項、項的系數(shù)、合并含有相同字母的項項：

13、在含有字母的和的形式中，每個加數(shù)就是一項。項的系數(shù)：在字母與數(shù)字的乘積中，數(shù)字因數(shù)就是項的系數(shù)。合并含有相同字母的項的法則：只需將它們的系數(shù)相加，作為結果的系數(shù)，再乘以字母因式，即ax+bx=(a+b)x，其中x為字母因數(shù)，a,b分別為ax,bx的系數(shù)。 合并含有相同字母的項時要找準項民以及項的系數(shù)，千萬別漏掉項的符號，不同字母的項不能合并?！纠?】 5x2x 綜合應用：1、若ab0,-b0,且|a|b|,則ab 0.(填上“”“”或“=”)2、已知a,b,c為三個不等于0的數(shù)，且滿足abc0,abc0，求的值.3、已知a,b,c為三個均不等于0的有理數(shù)，化簡。4、計算： 列項公式： （a,b為自然數(shù)） （a,b為自然數(shù),且ab）1.4 有理數(shù)的乘除法第二課時 有理數(shù)的除法知識點一：倒數(shù)的概念乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。當a0時，a與互為倒數(shù)；當m0,n0時,與互為倒數(shù)。說明：1、由倒數(shù)的意義可知，正數(shù)的倒數(shù)仍為正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)仍為負數(shù)。 2、在小學我們知道，1的倒數(shù)等于1，比1大的倒數(shù)比本身小，比1小的倒數(shù)比本身大。數(shù)的范圍擴大到了有理數(shù)，有：-1的倒數(shù)等于-1，0-1之間的數(shù)的倒數(shù)比本身小，小于-1的數(shù)倒數(shù)比本身大。如圖：【例1】求下列各數(shù)的倒數(shù)-4 0.125 知識點二：有理數(shù)除法的法則法