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1、第一章 靜電場1-1電場強度電場強度電位電位近代物理學(xué)的發(fā)展告訴我們：凡有電荷的地方，四周就存在著一種特殊形式的物質(zhì)，稱為電場。即任何電荷都在自己周圍的空間激發(fā)電場。相對于觀測者靜止，且其電量不隨時間而相對于觀測者靜止，且其電量不隨時間而變化地電荷，在其周圍空間產(chǎn)生的電場，即為靜電場變化地電荷，在其周圍空間產(chǎn)生的電場，即為靜電場。1.1.1 電場強度表征電場基本特性的場矢量是電場強度，簡稱場強，用表示，它被定義為：式中F表示試驗電荷q0在點（x，y，z）所受的力，顯然，E是一個無論大小和方向都與試驗電荷無關(guān)的矢量，它只反映了電場本身的性質(zhì)。根據(jù)庫侖定律，在無限大真空中有兩個帶電體，它們之間的相

2、互作用力可表示為：其中：q1、q2分別是兩帶電體的電荷量。R是兩帶電體之間的距離，e21和e12是沿兩帶電體之間的連線方向的單位矢量，F(xiàn)的下標(biāo)中第一個數(shù)是力的受體編號，第二個數(shù)是力的施體編號，例如F12表示第1個帶電體受到第2個帶電體的作用力。如圖1-1所示。0=109/36=8.851012F/m(法/米)q1q1q2q2F12F21e21e12圖1-1以后，為了分析問題和計算上的方便，作如下記法約定：在場的問題中，必須經(jīng)常地區(qū)分兩類“點”：一類是表明場源所在的點，簡稱源點源點，記為（x,y,z）；另一類是需要確定場量的點，簡稱場點場點，記為（x,y,z）。同時，我們規(guī)定用r表示從坐標(biāo)原點到

3、源點的矢量，用r表示從坐標(biāo)原點到場點的矢量。因此，矢量差r-r就表示由源點到場點的距離矢量（見圖1-2），通常用R表示之。yxz(x,y,z)(x,y,z)o圖1-2rrr-r 根據(jù)電場強度的定義和庫侖定律在無限大真空中r處的點電荷q，在r處引起的電場強度為當(dāng)q位于坐標(biāo)原點時1.1.2疊加積分法計算電場強度由電場強度的迭加原理可知，當(dāng)n個點電荷在空間一點形成電場時,該點的電場強度等于各個點電荷單獨在該點產(chǎn)生的電場強度的矢量和：根據(jù)物質(zhì)結(jié)構(gòu)理論，從微觀上看，電荷是不連續(xù)的。但從宏觀效果來看，人們往往把電荷看成是連續(xù)分布連續(xù)分布的。這樣，就可以引入電荷密度的概念，其定義為：它們在空間一點r產(chǎn)生的電

4、場強度分別為：例例1-1 一均勻帶電的無限大平面，其電荷面密度為，求距該平面前x處的電場。（p.5例1-2）解解：在平面上取一圓環(huán)，以觀測點到平面的垂足為圓心，半徑為a、寬為da，環(huán)上的元電荷dq在觀測點產(chǎn)生的電場為adaxEn圖1-3 均勻帶電無限大平面電荷的電場dqR其中eR是由dq指向觀測點（x）的單位矢量，考慮整個圓環(huán)產(chǎn)生的電場，根據(jù)對稱性，與平面平行的方向上合成電場為零，與平面垂直的方向上，合成電場為：此時dq=dS=2ada，cos=x/R，R=(a2+x2)1/2，所以adaxEn圖1-3 均勻帶電無限大平面電荷的電場dqRE的量值是一常數(shù)，與場點和帶電平面的距離無關(guān)。adaxE

5、n圖1-3 均勻帶電無限大平面電荷的電場dqR1.1.3 電位考慮由點電荷q單獨產(chǎn)生的電場中任意兩點A、B間電場強度的線積分，參照圖1-4，并考慮到erdl=dr，可得：qrBrAdldrEBA圖1-4r 積分的結(jié)果只與A、B兩點的位置有關(guān)，而與積分的途徑無關(guān)。我們也可以沿圖中虛線的途徑積分，得到相同的結(jié)果。假如我們沿一條途徑計算從A到B的積分，并從另一條途徑計算由B到A的積分，兩者之和必為零，可表示成：對于任意分布電荷得電場，可以看成點電荷電場得迭加，而每一分量均符合于上式，故相加的結(jié)果也符合于上式。由此可知：在靜電場中沿任意閉合途徑，電場強度的線在靜電場中沿任意閉合途徑，電場強度的線積分恒

6、等于零積分恒等于零。這個結(jié)論也可看作是單位正電荷在電場作用下，沿閉合曲線移動一周時，電場力所作的功為零。它反映了靜電場的一條重要性質(zhì)，稱為靜電場的守恒性。qrBrAdldrEBAr 應(yīng)用斯托克斯定理：書P.328式（20）其中S為以l為周界的任意曲面。此式告訴我們，靜電場中場強的旋度的面積分在任何情況下總是零，所以被積函數(shù)一定為零，即即靜電場中電場強度矢量E的旋度到處為零，靜電場是無旋場。由矢量分析知，任意一個標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零。因此，可引入標(biāo)量函數(shù)，并定義這個標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場的電位函數(shù)。負(fù)號表示電位沿電場的方向降低。1.1.4疊加積分法計算電位 對于場源既有點電荷又包含各種分布電

7、荷的一般情況，由疊加原理得場點（r）上的電位表達(dá)式為：求出電位后，再由電位的負(fù)梯度求電場強度。例例1-2：求電荷面密度為，半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電位和電場強度。（p.9例1-4）解解：如圖所示，在圓盤上取一半徑為r寬為dr的圓環(huán)，環(huán)上元電荷dq=（2r）dr，環(huán)上各點距離P點皆為 在軸線上一點P產(chǎn)生的電位為oaardrrz圖1-5 均勻帶電圓盤PO（Z0）（Z0）圓盤上全部電荷在P點所產(chǎn)生的電位 由電荷分布的對稱性可知，在軸線上，電場強度只有z向分量，即（Z0）（Z0）圓盤中心（z=0）的電位圓盤中心表面處的電場強度（Z=0+）（Z=0-）圓盤面兩側(cè)電位連續(xù)而電場強度E不連續(xù)。例例1-

8、3：如圖所示，兩點電荷+q和-q相距為d。當(dāng)rd時，這一等量異號的電荷q，稱為電偶極子。計算任一點P處的電位和電場強度。（p.10例1-5）prr1r2doz+q-q圖1-6 電偶極子 解解：應(yīng)用疊加原理，由點電荷在空間任一點的電位公式得P點的電位為因rd，則r1r2r2，r2r1dcos，所以有上式改寫成式中p=qd，稱為電偶極子的電偶極矩，p（d）的方向由負(fù)電荷指向正電荷，單位為Cm（庫米）因rd，則r1r2r2，r2r1dcos，所以有推導(dǎo)：P.334第1行，在球坐標(biāo)系下1.1.5電力線和等位面(線)電場和電位的分布也可用圖形表示。即畫出電力線（簡稱E線）和等位面（線），電力線上每一點的

9、切線方向與該點電場強度的方向相一致；電位相等的各點連成的曲面或曲線，稱為等位面或等位線。由于電場中每一點都有一個確定的電位值，故等位面（線）不會相交，否則等位面（線）交點處就會有兩個不同的電位值，等位面（線）和電力線到處正交，等位面（線）愈密處,場強愈大。圖1.1.10 點電荷與接地導(dǎo)體的電場 圖1.1.11 點電荷與不接地導(dǎo)體的電場 介質(zhì)球在均勻電場中 導(dǎo)體球在均勻電場中點電荷位于無限大介質(zhì)上方點電荷位于無限大導(dǎo)板上方下 頁上 頁返 回1-2高斯定律高斯定律 在物理學(xué)中，我們已有高斯定律的基本概念，但那里回避了場域內(nèi)實體物質(zhì)的存在，根據(jù)物體的靜電表現(xiàn)，我們可以把它們分成兩大類：導(dǎo)體和電介質(zhì)。

10、1.2.1靜電場中的導(dǎo)體 靜電場中的導(dǎo)體必須滿足靜電平衡條件。就是說，不論導(dǎo)體是否帶電，或是否受外電場的作用，它的內(nèi)部或表面上任何部分都沒有宏觀的電荷運動，根據(jù)上述條件并考慮到導(dǎo)體具有自由電子的特點，可以推知：在靜電場中導(dǎo)體內(nèi)部的場強處處為零；導(dǎo)體是個等位體，導(dǎo)體表面是個等位面；導(dǎo)體外的場強處處與它的表面垂直；導(dǎo)體如帶電，則電荷只能分布于其表面。1.2.2靜電場中的電介質(zhì) 電介質(zhì)的特征是，它所含的自由帶電粒子數(shù)量極其微小。實際上，它的帶電粒子是被原子內(nèi)在力、分子內(nèi)在力或分子間的力緊密束縛著，因此這些粒子的電荷叫做束縛電荷束縛電荷。即使在外電場作用下，這些電荷也只能在微觀范圍內(nèi)移動。在靜電平衡條

11、件下，電介質(zhì)內(nèi)部可以長期地存在電場。這是電介質(zhì)和導(dǎo)體在靜電場中的基本區(qū)別。在外電場作用下,電介質(zhì)被極化,極化的程度可用極化強度矢量表示。并定義電極化強度為每單位體積內(nèi)的電偶極矩，即：顯然，在國際單位制中，極化強度的單位是庫侖米（C/m2）實驗結(jié)果表明在各向同性的線性介質(zhì)中，極化強度P與電場強度E成正比。即 P=E式中稱為電介質(zhì)的極化率電介質(zhì)的極化率。再來討論極化電荷體密度、面密度與極化強度P的關(guān)系。已知電偶極子在場中任意點的電位為則體積元V內(nèi)總電偶極矩p所產(chǎn)生的電位為整個極化電介質(zhì)所產(chǎn)生的電位為由于上式可改寫成再根據(jù)矢量恒等式對上式應(yīng)用散度定理，得式中en是閉合面S的外法線方向的單位矢量。上式

12、與體積電荷和面積電荷的電位積分式相比較，可以寫成可得極化電荷的體密度與面密度分別為可以證明，當(dāng)介質(zhì)均勻時，P存在的條件，是自由電荷的體密度不為零。應(yīng)該指出，P只能出現(xiàn)在每一種介質(zhì)的表面上。此外，這兩部分極化電荷的總和應(yīng)等于零，符合電荷守恒原理。物理學(xué)中，對真空中靜電場的高斯定律的表述為：在真空在真空中，由任意閉合面穿出的通量，應(yīng)等于該面內(nèi)所有電中，由任意閉合面穿出的通量，應(yīng)等于該面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和與真空中的介電常數(shù)荷的代數(shù)和與真空中的介電常數(shù)0的比值。的比值。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為1.2.3高斯定律式中q是面S所限定的體積內(nèi)的全部電荷 。高斯定理是建立在庫侖定律的基礎(chǔ)上的，在有介質(zhì)存在時，它也成立，

13、只不過在計算總電場的電通量時，應(yīng)計及高斯面內(nèi)所含的自由電荷q和束縛電荷qp。即式中q與qP分別為閉合面S內(nèi)的總自由電荷和總極化電荷其中從而有：所以：令并稱D為電位移矢量，于是有它比原來的公式優(yōu)越的地方，在于其中不包含束縛電荷，但這并不表示D本身與束縛電荷無關(guān)。應(yīng)用高斯散度定律因此這就是高斯定律的微分形式，它表明靜電場是一個有源場。此外，對于各向同性的電介質(zhì)，由于P=0E，所以引入則 上式中的為介質(zhì)的介電常數(shù)，而r=/0稱為相對介電常數(shù)。應(yīng)該指出：D=0E+P是電位移D的一般定義式，不問介質(zhì)如何它都成立；而D=E這一關(guān)系，僅適用于各向同性的線性電介質(zhì)1.2.4用高斯定律計算靜電場 當(dāng)帶電體的分布

14、具有某種對稱性時，電場的分布也將具有一定的對稱性，這時應(yīng)用高斯定律可以十分簡捷地求得電位移D和電場強度E。例例1-4 有一半徑為a，電荷面密度為的均勻帶電球，試求：空間電場；電位分布。1-3靜電場基本方程分界面上的銜接條件1.3.1靜電場基本方程靜電場基本方程是靜電場基本性質(zhì)的數(shù)學(xué)表示，有積分和微分兩種形式在各向同性的線性介質(zhì)中 第式是靜電場的環(huán)路特性,靜電場E的環(huán)路線積分恒等于零，說明靜電場是一個守恒場（又稱為無旋場，位場、勢場）。關(guān)于靜電場的守恒性，不管介質(zhì)如何，不管是線性的還是非線性的，各向同性的還是各向異性的，只要是靜電場都具有這個性質(zhì)。所以它也是靜電場的基本方程之一。第式高斯定律的積

15、分形式,它說明穿出閉合面的(電)通量恒等于閉合面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和。凡是靜電場也必有此性質(zhì)。所以。它是靜電場的基本方程之一。第式是高斯定律的微分形式。它表明靜電場是一個有源（散）場。這與我們前面提到過的D線從正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷的說法是完全相符的。第式表示靜電場中E矢量的旋度處處為零，靜電場是無旋場。1.3.2分界面上的銜接條件要解決復(fù)雜的電場問題，必須知道在兩種媒質(zhì)的分界面上，場矢量與將如何改變。E與在分界面上各自須滿足的關(guān)系，就是統(tǒng)稱的兩種媒質(zhì)分界面上的銜接條件。我們討論的出發(fā)點是積分形式的靜電場的兩個基本方程。電位移D的邊界條件如圖1-8，設(shè)兩種媒質(zhì)中緊靠分界面上一點P的

16、電位移分別為D1、D2，它們相對于分界面的切線與法線分量分別為D1t、D1n和D2t、D2n，作一包圍P點的小扁圓柱體，它的高度l0，上下兩個面的面積均為S，柱體的閉合表面所包住的電荷應(yīng)為：S+(1/2)(1+2)VlD1P1221圖1-8D2S式中V為扁圓柱體的體積，為分界面上自由電荷密度，1、2分別為兩種介質(zhì)的電荷體密度。由于l0、V0，因此，后面一項可以忽略不計。應(yīng)用高斯通量定律于圓柱表面，可得：-D1nS+D2nS=S或 D2n-D1n=如果分界面上沒有作面分布的自由電荷，則上式可寫成 D1n=D2n也就是說：D的法向分量不連續(xù)，是由于分界面上存在自由的法向分量不連續(xù)，是由于分界面上存在自由電荷。如果分界面上不存在自由電荷，則電荷。如果分界面上不存在自由電荷，則D的法線分量連的法線分量連續(xù)。續(xù)。電場強度的邊界條件如圖1-9，設(shè)在第一種介質(zhì)中緊靠點的電場強度是1，在第二種介質(zhì)中緊靠點的電場強度2。E2nE2E1E1nE2tE1t12l1l212圖1-9P它們對于分界面的切線分量與法向分量分別是E1t、E2t和E1n、E2n，作一包圍P點的狹小矩形，使它的軸線與分界面重合，矩形的短