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1、 場 標(biāo)量場 矢量場等值面方向?qū)?shù)梯度矢量線通量散度散度定理環(huán)流旋度斯托克斯定理亥姆霍茲定理第一章第一章 矢量分析矢量分析知識(shí)脈絡(luò):11.1 1.1 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量標(biāo)量:數(shù)學(xué)上：實(shí)數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量a(-,+)物理上：代數(shù)量+物理意義；或者說一個(gè)只用大小描述的物理量。如電壓，電荷，質(zhì)量，能量等矢量矢量:數(shù)學(xué)上：一般的三維空間中既有大小又有方向的量 物理上：矢量+物理意義；或者說一個(gè)既有大小又有方向的物理量。常用黑斜體字母或帶箭頭的字母如A或如速度、電磁場等.2場：場：物理量物理量在時(shí)空時(shí)空中的確定分布.標(biāo)量場標(biāo)量場：物理量是一個(gè)標(biāo)量，則所確定的場稱為標(biāo)物理量是一個(gè)標(biāo)量，則所確定

2、的場稱為標(biāo)量場，用標(biāo)量函數(shù)表示為量場，用標(biāo)量函數(shù)表示為如物體的溫度分布如物體的溫度分布T(r,t)、電位分布、電位分布(r,t)等等矢量場矢量場：物理量是一個(gè)矢量，則所確定的場稱為矢物理量是一個(gè)矢量，則所確定的場稱為矢量場，用矢量函數(shù)表示量場，用矢量函數(shù)表示既具有大小又具有方向的場。如電場既具有大小又具有方向的場。如電場3靜態(tài)場靜態(tài)場：物理量不隨時(shí)間變化，則所確定的場物理量不隨時(shí)間變化，則所確定的場稱為靜態(tài)場。稱為靜態(tài)場。動(dòng)態(tài)場動(dòng)態(tài)場（或時(shí)變場時(shí)變場）：物理量隨時(shí)間變化，則所物理量隨時(shí)間變化，則所確定的場稱為動(dòng)態(tài)場。確定的場稱為動(dòng)態(tài)場。1.1.11.1.1矢量的表示形式矢量的表示形式:一個(gè)矢量

3、可以用一條有方向的線一個(gè)矢量可以用一條有方向的線段來表示段來表示,線段的長度表示矢量的模線段的長度表示矢量的模,箭頭指向表箭頭指向表示矢量的方向示矢量的方向.A A P矢量的矢量的模模：表示矢量的大小：表示矢量的大小 A矢量的方向方向；41.1.21.1.2矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算 （加法加法/減法減法）矢量加矢量加矢量加矢量加/減法遵循平行四邊形法則減法遵循平行四邊形法則減法遵循平行四邊形法則減法遵循平行四邊形法則 ,其運(yùn)算滿足其運(yùn)算滿足其運(yùn)算滿足其運(yùn)算滿足:(交換律交換律)(結(jié)合律結(jié)合律)1.1.31.1.3矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算 （點(diǎn)積、叉積點(diǎn)積、叉積點(diǎn)

4、積、叉積點(diǎn)積、叉積）標(biāo)量與矢量乘積標(biāo)量與矢量乘積 模矢量與矢量乘積矢量與矢量乘積 點(diǎn)積（標(biāo)積）點(diǎn)積（標(biāo)積）叉積（矢積）叉積（矢積）5點(diǎn)積點(diǎn)積：（標(biāo)量）（標(biāo)量）叉積：叉積：大小方向：垂直與包含 的面和（矢量）（矢量）右手法則右手法則矢量點(diǎn)積服從：矢量點(diǎn)積服從：（交換律）（交換律）（分配律）（分配律）矢量叉積服從：矢量叉積服從：標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積矢量三重積矢量三重積（不服從不服從交換律）交換律）（分配律）（分配律）6 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交正交曲線的交點(diǎn)來曲線的交點(diǎn)來確定。確定。1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場與波理論中，在電磁場與

5、波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角直角坐坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱；描述坐標(biāo)軸的量稱為為坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量。7n1、直角坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系 位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量體積元體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）（平面）o x y z0 xx=（平面）（平面）0

6、zz=（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 x yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydx8直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中A矢量：矢量：B矢量：矢量：（圓柱坐標(biāo)系及（圓柱坐標(biāo)系及 球坐標(biāo)系下相應(yīng)知識(shí)）類似球坐標(biāo)系下相應(yīng)知識(shí)）類似9n2、圓柱面坐標(biāo)系、圓柱面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量位置矢量位置矢量線元矢量線元矢量體積元體積元面元矢量面元矢量132（1）（2）（3）103、球面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量位置矢量位置矢量線元

7、矢量線元矢量體積元體積元面元矢量面元矢量11n4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系oqrz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq ofxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 f121.3 1.3 標(biāo)量場標(biāo)量場標(biāo)量場標(biāo)量場的梯度的梯度的梯度的梯度等值面的概念等值面的概念：在標(biāo)量場中，使標(biāo)量函數(shù)在標(biāo)量場中，使標(biāo)量函數(shù)取得相同數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)空間曲面稱

8、為等值取得相同數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)空間曲面稱為等值 面。面。等值面方程：等值面方程：C為任意給定的常數(shù)。等值面的特點(diǎn)：等值面的特點(diǎn)：常數(shù)常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；形成等值面族；若若 是標(biāo)量場中的任一點(diǎn)，顯然，曲面是標(biāo)量場中的任一點(diǎn)，顯然，曲面 是通過該點(diǎn)的等值面，因此標(biāo)量場的是通過該點(diǎn)的等值面，因此標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個(gè)空間；等值面充滿場所在的整個(gè)空間；?13例題例題 求二維標(biāo)量場求二維標(biāo)量場求二維標(biāo)量場求二維標(biāo)量場 的等值面的等值面的等值面的等值面 由于由于z z不影響不影響u,u,故在任意故在任意z=co

9、nstz=const的面上場的分布是的面上場的分布是相同的。相同的。(片狀片狀分布分布)取取u u為某一常量為某一常量c c時(shí)時(shí) c=yc=y2 2-x-x 是一組拋物線是一組拋物線 立體拋物柱面立體拋物柱面 由于標(biāo)量函數(shù)由于標(biāo)量函數(shù) 為單一值，一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上，為單一值，一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上，因此標(biāo)量場的等值面因此標(biāo)量場的等值面互不相交互不相交（兩個(gè)等值面不能有相同的（兩個(gè)等值面不能有相同的c值）值）141.3.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)標(biāo)量場的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)的概念概念:方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)的意義意義：方向?qū)?shù)是描述標(biāo)量場：方向?qū)?shù)是描述標(biāo)量場沿沿L方向方向?qū)嚯x對(duì)距離 的變

10、化率。的變化率。方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)的計(jì)算公式計(jì)算公式 是是標(biāo)量量場 中的一點(diǎn)，從中的一點(diǎn)，從該點(diǎn)出點(diǎn)出發(fā)引一條射引一條射線L,M是射是射線上的上的動(dòng)點(diǎn)。到點(diǎn)點(diǎn)。到點(diǎn) 的距離的距離為（直角坐（直角坐標(biāo)系）系）15式中：是L 方向的方向余弦。方向?qū)?shù)的特點(diǎn)方向?qū)?shù)的特點(diǎn)：1.3.3梯度梯度問題的提出：標(biāo)量場在什么方向上的變化率最大、其最大問題的提出：標(biāo)量場在什么方向上的變化率最大、其最大的變化率又是多少？的變化率又是多少？(方向?qū)?shù)沿何方向取得最大值？）方向?qū)?shù)沿何方向取得最大值？）(grads)16通過通過推導(dǎo)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)，當(dāng) 方向與矢量方向與矢量 方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)的值最大，由此可以得到

11、梯度在三種不同方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)的值最大，由此可以得到梯度在三種不同 的坐標(biāo)系下的計(jì)算公式：的坐標(biāo)系下的計(jì)算公式：17為哈密頓算符，（讀作為哈密頓算符，（讀作del或或Nabla)在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中記住記住!練習(xí)練習(xí) U=2x+y+z U=2x+y+z 求其梯度求其梯度1819自證（作業(yè)）在電磁場中，通常以在電磁場中，通常以 表示表示源源點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，以的坐標(biāo)，以 表示表示場點(diǎn)場點(diǎn)的坐的坐標(biāo)，因此上述運(yùn)算結(jié)果在電磁場中非標(biāo)，因此上述運(yùn)算結(jié)果在電磁場中非常重要！常重要！20 1.4 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度1.4.1 矢量場的矢量線矢量場的矢量線形象地描述矢量場在空間的分布形

12、象地描述矢量場在空間的分布 矢量線的概念矢量線的概念：矢量線是場空間中的矢量線是場空間中的有向曲線，矢量線上任一點(diǎn)的切線方向有向曲線，矢量線上任一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)的場矢量方向相同，如圖所示都與該點(diǎn)的場矢量方向相同，如圖所示。21特點(diǎn)：矢量場中的每一點(diǎn)都有矢量線通過，矢量線充滿矢特點(diǎn)：矢量場中的每一點(diǎn)都有矢量線通過，矢量線充滿矢量場所在的空間。量場所在的空間。解此微分方程組，即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。解此微分方程組，即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。則既能根據(jù)矢量線確定矢量場中各點(diǎn)矢量的方向，又可根據(jù)則既能根據(jù)矢量線確定矢量場中各點(diǎn)矢量的方向，又可根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判

13、別各處的矢量大小及變化趨勢。各處矢量線的疏密程度，判別各處的矢量大小及變化趨勢。如：如：電場線22求此二維場求此二維場的力線方程及場圖的力線方程及場圖由力線方程有：例題有一二維矢量場例題有一二維矢量場例題有一二維矢量場例題有一二維矢量場:因此求得的矢量因此求得的矢量線是一是一組同心同心圓。？思考哪種矢量？思考哪種矢量線具有具有這種特點(diǎn)種特點(diǎn)23 分析矢量分析矢量穿過穿過一個(gè)曲面的通量一個(gè)曲面的通量面元矢量面元矢量法向矢量法向矢量 有兩個(gè)要素：有兩個(gè)要素：右手螺旋法則右手螺旋法則 （開面）（開面）閉合面外法線（雞蛋殼外表面）閉合面外法線（雞蛋殼外表面）面大小穿越方向1.矢量場的通量矢量場的通量

14、矢量場的通量是描述矢量場性質(zhì)的重要概念之一。矢量場的通量是描述矢量場性質(zhì)的重要概念之一。通量的概念通量的概念：矢量場：矢量場 在在場中的曲面場中的曲面上的標(biāo)量積（稱為矢量場上的標(biāo)量積（稱為矢量場的通量的通量，取一小面元取一小面元ds為例為例1.4.2 1.4.2 1.4.2 1.4.2 矢量的通量、散度矢量的通量、散度矢量的通量、散度矢量的通量、散度(點(diǎn)乘）點(diǎn)乘）點(diǎn)積點(diǎn)積24曲面通量曲面通量曲面通量曲面通量n n ：0 0 表示有表示有表示有表示有凈凈凈凈流出流出流出流出-正通量源正通量源正通量源正通量源 例：靜電場中的正電荷例：靜電場中的正電荷例：靜電場中的正電荷例：靜電場中的正電荷n n

15、0 0 表示有表示有表示有表示有凈凈凈凈流入流入流入流入-負(fù)通量源負(fù)通量源負(fù)通量源負(fù)通量源 例：靜電場中的負(fù)電荷例：靜電場中的負(fù)電荷例：靜電場中的負(fù)電荷例：靜電場中的負(fù)電荷n n 0 0 正通量源與負(fù)通量源代數(shù)和為正通量源與負(fù)通量源代數(shù)和為正通量源與負(fù)通量源代數(shù)和為正通量源與負(fù)通量源代數(shù)和為0 0無通量源無通量源無通量源無通量源矢量流矢量流與與穿越面穿越面積積方向乘積方向乘積的和的和通量的物理意義：通量的物理意義：手例手例穿出閉曲面的正通量與進(jìn)入閉曲面穿出閉曲面的正通量與進(jìn)入閉曲面穿出閉曲面的正通量與進(jìn)入閉曲面穿出閉曲面的正通量與進(jìn)入閉曲面的負(fù)通量的代數(shù)和。的負(fù)通量的代數(shù)和。的負(fù)通量的代數(shù)和。

16、的負(fù)通量的代數(shù)和。25通量的特點(diǎn)：通量的特點(diǎn)：描述的是一定范圍內(nèi)描述的是一定范圍內(nèi)總總的的凈凈通量源，通量源，而不能反映場域內(nèi)的而不能反映場域內(nèi)的每一點(diǎn)每一點(diǎn)的具體分布的具體分布情況情況2矢量場的散度矢量場的散度 矢量場的散度描述矢量場在矢量場的散度描述矢量場在一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)附近的通量附近的通量特性。特性。26散度的物理意義：通量源的密度。散度的物理意義：通量源的密度。時(shí)，發(fā)出矢量線的正源；時(shí)，發(fā)出矢量線的正源；時(shí)，發(fā)出矢量線的時(shí)，發(fā)出矢量線的 負(fù)源負(fù)源；時(shí)，無通量源時(shí)，無通量源。27設(shè)有如圖的小立方體及矢量場 散度的直角坐標(biāo)表示28!29記住301.4.41.4.4散度散度散度散度(高斯高斯高

17、斯高斯)定理定理定理定理例球體 31例例例例1:1:已知已知已知已知解：解：解：解：根據(jù)散度的計(jì)算公式根據(jù)散度的計(jì)算公式根據(jù)散度的計(jì)算公式根據(jù)散度的計(jì)算公式：3233 341.5.2矢量場的旋度 矢量矢量場的旋度描述的旋度描述場域內(nèi)的旋域內(nèi)的旋渦源分布情況的重要概念。源分布情況的重要概念。35上式為旋度在上式為旋度在上式為旋度在上式為旋度在 方向的投影方向的投影方向的投影方向的投影 （面元矢量面元矢量面元矢量面元矢量為為 ）3637不同坐不同坐標(biāo)系下旋度系下旋度計(jì)算公式：算公式：直角坐直角坐標(biāo)系系（圓柱坐柱坐標(biāo)系）系）（球坐球坐標(biāo)系）系）!記住381.5.31.5.3斯托克斯定理斯托克斯定理斯

18、托克斯定理斯托克斯定理矢量對(duì)閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對(duì)該矢量對(duì)閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對(duì)該矢量對(duì)閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對(duì)該矢量對(duì)閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對(duì)該矢量旋度的面積分。矢量旋度的面積分。矢量旋度的面積分。矢量旋度的面積分。39例：例：401.61.6無旋場與無散場無旋場與無散場1.無旋場 （1 1）如果一個(gè)矢量場的旋度處處為如果一個(gè)矢量場的旋度處處為0 0，即，即 則該矢量場為無旋場。則該矢量場為無旋場。它是由散度源產(chǎn)生的。例如靜電場。它是由散度源產(chǎn)生的。例如靜電場。梯度是一無旋場梯度是一無旋場證明證明：取直角坐標(biāo)

19、系取直角坐標(biāo)系結(jié)論結(jié)論1 1：4142結(jié)論（結(jié)論（2 2）引申：無旋場可以表示為某一個(gè)標(biāo)量場的梯度引申：無旋場可以表示為某一個(gè)標(biāo)量場的梯度即如果即如果則存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)則存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u,u,使得使得其中的負(fù)號(hào)是為了與電磁場中的電場強(qiáng)度其中的負(fù)號(hào)是為了與電磁場中的電場強(qiáng)度E E與與標(biāo)量電位標(biāo)量電位 的關(guān)系相一致的關(guān)系相一致43 結(jié)論（結(jié)論（結(jié)論（結(jié)論（3 3 3 3）由斯托克斯定理由斯托克斯定理由斯托克斯定理由斯托克斯定理對(duì)一個(gè)無旋場對(duì)一個(gè)無旋場表明無旋場的曲線積分表明無旋場的曲線積分與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)與路徑無關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)和終點(diǎn)有關(guān)。（證明如下）（證明如下）44以以Q Q為固定點(diǎn)

20、，則上式可以看作是點(diǎn)為固定點(diǎn)，則上式可以看作是點(diǎn)P P的函數(shù)：的函數(shù)：因?yàn)橐驗(yàn)橐粋€(gè)標(biāo)量場可以完全由它的梯度來確定一個(gè)標(biāo)量場可以完全由它的梯度來確定同時(shí)表明一個(gè)無旋場可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)標(biāo)量位函數(shù)同時(shí)表明一個(gè)無旋場可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)標(biāo)量位函數(shù)同時(shí)表明一個(gè)無旋場可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)標(biāo)量位函數(shù)同時(shí)表明一個(gè)無旋場可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)標(biāo)量位函數(shù) （參考點(diǎn)的選取）（參考點(diǎn)的選?。▍⒖键c(diǎn)的選?。▍⒖键c(diǎn)的選?。?5結(jié)論：任意矢量旋度的散度恒為零結(jié)論：任意矢量旋度的散度恒為零結(jié)論：任意矢量旋度的散度恒為零結(jié)論：任意矢量旋度的散度恒為零1.6.2無散場如果一個(gè)矢量場的散度處處為如果一個(gè)矢量場的散度處處為0 0，即，即 則該矢量場為

21、無散場則該矢量場為無散場證明證明：46由此可知：對(duì)于任何一個(gè)無散場。必然可以表示為某由此可知：對(duì)于任何一個(gè)無散場。必然可以表示為某個(gè)矢量場的旋度。即個(gè)矢量場的旋度。即 ：為矢量位函數(shù)，簡稱矢量位為矢量位函數(shù)，簡稱矢量位471.71.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算：拉普拉斯運(yùn)算：1.1.對(duì)標(biāo)量場而言對(duì)標(biāo)量場而言：稱為稱為標(biāo)量場標(biāo)量場的拉普拉斯運(yùn)算的拉普拉斯運(yùn)算稱為拉普拉斯算符稱為拉普拉斯算符48直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：2.2.對(duì)矢量場而言對(duì)矢量場而言：直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：49 格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定

22、理由散度定理設(shè)設(shè)而而得得格林第一恒等式格林第一恒等式同理，若設(shè)同理，若設(shè)格林第一恒等式表示為格林第一恒等式表示為格林第二恒等式格林第二恒等式1.7.2格林定理格林定理50由散度定理由散度定理格林第一恒等式：格林第一恒等式：格林第二恒等式：格林第二恒等式：格林定理描述了兩個(gè)標(biāo)量場之間的關(guān)系，如果已知其中一個(gè)格林定理描述了兩個(gè)標(biāo)量場之間的關(guān)系，如果已知其中一個(gè)場的分布，可以利用該定理求解另一個(gè)場的分布。場的分布，可以利用該定理求解另一個(gè)場的分布。51前面討論的均為矢量分析中的基本概念及方法，前面討論的均為矢量分析中的基本概念及方法，概括起來包括概括起來包括：標(biāo)志標(biāo)量場標(biāo)志標(biāo)量場標(biāo)志標(biāo)量場標(biāo)志標(biāo)量場

23、的特性的特性的特性的特性標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度矢量場的旋度矢量場的旋度矢量場的旋度矢量場的旋度標(biāo)志矢量場標(biāo)志矢量場標(biāo)志矢量場標(biāo)志矢量場的特性的特性的特性的特性矢量場的散度矢量場的散度矢量場的散度矢量場的散度 1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理52亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 表述：在有限的區(qū)域表述：在有限的區(qū)域V V內(nèi)，任一矢量場由它的散內(nèi)，任一矢量場由它的散度、旋度和邊界條件（即限定區(qū)域度、旋度和邊界條件（即限定區(qū)域V V的閉合面的閉合面S S上的矢上的矢量場的分布）唯一的確定。量場的分布）唯一的確定。53矢量場可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的矢量場可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度梯度和一個(gè)

24、矢和一個(gè)矢量函數(shù)的量函數(shù)的旋度旋度之和來表示。之和來表示。一個(gè)矢量可以表示為一個(gè)矢量可以表示為無旋場無旋場與與無散場無散場之和之和結(jié)論：54如果在給定區(qū)域內(nèi)，矢量的散度與旋度均處處為如果在給定區(qū)域內(nèi)，矢量的散度與旋度均處處為0 0，則該矢量由其在邊界面則該矢量由其在邊界面s s上的場的分布完全確定。上的場的分布完全確定。對(duì)于對(duì)于無界無界空間，矢量場由其散度和旋度完全確定，在無界空間，矢量場由其散度和旋度完全確定，在無界空間，散度與旋度處處位空間，散度與旋度處處位0 0的矢量場是不存在的，因?yàn)槿蔚氖噶繄鍪遣淮嬖诘?，因?yàn)槿魏我粋€(gè)物理量都必須有源，場是同源一起出現(xiàn)的，源是產(chǎn)何一個(gè)物理量都必須有源，場

25、是同源一起出現(xiàn)的，源是產(chǎn)生場的起因。生場的起因。亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場的基本性質(zhì)，矢量場由它的散度亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場的基本性質(zhì)，矢量場由它的散度和旋度惟一地確定，矢量的散度和矢量的旋度各對(duì)應(yīng)矢量場的和旋度惟一地確定，矢量的散度和矢量的旋度各對(duì)應(yīng)矢量場的一種源。所以，分析矢量場總是從研究它的散度和旋度著手，一種源。所以，分析矢量場總是從研究它的散度和旋度著手，散度方程和旋度方程組成了矢量場的基本方程（微分形式）。散度方程和旋度方程組成了矢量場的基本方程（微分形式）。也可以從矢量場沿閉合面的通量和沿閉合路徑的環(huán)流著手，得也可以從矢量場沿閉合面的通量和沿閉合路徑的環(huán)流著手，得到基本方程的積分形式。到基本方程的積分形式。55補(bǔ)充：特殊的矢量運(yùn)算法則P334工程電磁場導(dǎo)論P(yáng)341電磁場與電磁波56