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1、彎彎 曲曲 變變 形形第第 六六 章章目錄/第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-1 6-1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形6-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形6-6 6-6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施6-5 6-5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁目錄目錄/為保證構(gòu)件正常的工作，不但要求其具有足夠的為保證構(gòu)件正常的工作，不但要求其具有足夠的強度，在某些情況下，還應有足夠的剛度，即彎曲強度，在某些情況下，還應有足夠的剛度，即彎曲變形不應過大，否則，將影響正常工作。

2、變形不應過大，否則，將影響正常工作。l6-1 6-1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題/軸變形軸變形齒輪不能正常嚙合、齒輪不能正常嚙合、齒面磨損、軸與軸承配合不好，齒面磨損、軸與軸承配合不好，出現(xiàn)噪音。出現(xiàn)噪音。P1P2軋輥軋輥鋼板鋼板軋鋼軋鋼軋輥變形，鋼板沿寬度軋輥變形，鋼板沿寬度方向的厚度不均。方向的厚度不均。齒輪軸齒輪軸/利用彎曲變形利用彎曲變形緩沖、減震緩沖、減震汽車疊板彈簧汽車疊板彈簧求解靜不定梁則必須考慮梁的變形。求解靜不定梁則必須考慮梁的變形。F測力矩扳手測力矩扳手/6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程1.1.基本概念基本概念撓曲線撓曲線撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角(3)

3、轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度,稱為稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 。7-2目錄（1）撓曲線：撓曲線：彎曲后的梁軸線。（彈性曲線）彎曲后的梁軸線。（彈性曲線）對于平面彎曲，梁軸線在該平面內(nèi)彎成一條平面曲線。對于平面彎曲，梁軸線在該平面內(nèi)彎成一條平面曲線。（2）撓度：）撓度：某截面的形心在垂直于原軸線方向的位移為截面的某截面的形心在垂直于原軸線方向的位移為截面的撓度撓度撓度撓度w w 。（截面形心的撓度）（截面形心的撓度）/6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程撓曲線方程：撓曲線方程：由于小變形，截面形心在由于小變形，截面形心在x x方向的位移忽略不計方向的位移忽略不計撓

4、度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓曲線撓曲線撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角向上為正向上為正逆時針為正逆時針為正7-2目錄討論變形的關(guān)鍵在于：建立梁的撓曲線方程。討論變形的關(guān)鍵在于：建立梁的撓曲線方程。/2.2.撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程目錄/由數(shù)學知識可知：由數(shù)學知識可知：略去高階小量，得略去高階小量，得所以所以6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程目錄/由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號

5、一致，所以撓曲線的近似微分方程為：的二階導數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。撓度。6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程目錄/6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3目錄微分方程的原函數(shù)有無數(shù)個，而具體梁受力變形后撓曲線只有一個。微分方程的原函數(shù)有無數(shù)個，而具體梁受力變形后撓曲線只有一個。每段梁有每段梁有C、D兩個兩個積分常數(shù)。積分常

6、數(shù)。/積分常數(shù)積分常數(shù)C C、D D 由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。條件確定。位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件 彈簧變形彈簧變形目錄/例例1 1 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的梁的EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整體平衡分析可得：）由梁的整體平衡分析可得：2 2）寫出）寫出x x截面的彎矩方程截面的彎矩方程3 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次積分一次再積分一次再積分一次A AB BF F6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求

7、彎曲變形目錄/4 4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解代入求解5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度A AB BF F6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形目錄/例例2 2 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的梁的EI已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：2 2）彎矩方程）彎矩方程AC 段：段：CB 段：段：6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形目錄/3

8、3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分AC 段：段：CB 段：段：6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形目錄積分時，將（積分時，將（x2-a）作作為一個整體變量，可為一個整體變量，可簡化運算！簡化運算！/4 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形目錄/5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC 段：段：CB 段：段：6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形目錄/6 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最

9、大轉(zhuǎn)角和最大撓度令令 得，得，令令 得，得，6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形目錄/討討 論論積分法求變形有什么優(yōu)缺點？積分法求變形有什么優(yōu)缺點？6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形目錄注意注意:等截面梁，等截面梁，EI為常量，可將其寫在等號左為常量，可將其寫在等號左邊減少麻煩；邊減少麻煩；變截面梁，變截面梁，EI為為x的函數(shù)，故不但要將其的函數(shù)，故不但要將其寫在等號右邊，還要將其放進積分符號內(nèi)。寫在等號右邊，還要將其放進積分符號內(nèi)。/但在工程實際中，往往需要某些指定截面的但在工程實際中，往往需要某些指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角，這時采用積分法就顯得繁瑣。利用撓度和轉(zhuǎn)

10、角，這時采用積分法就顯得繁瑣。利用積分法的結(jié)果（查表積分法的結(jié)果（查表6.1）采用疊加法就非常方）采用疊加法就非常方便。便。積分法是求梁位移的基本方法，其優(yōu)點是可以積分法是求梁位移的基本方法，其優(yōu)點是可以用數(shù)學的方法求梁任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角。用數(shù)學的方法求梁任意截面的撓度和轉(zhuǎn)角。/材料力學討論的是線彈性小變形，反力、內(nèi)材料力學討論的是線彈性小變形，反力、內(nèi)力、應力、變形都是載荷的線性齊次函數(shù)，所力、應力、變形都是載荷的線性齊次函數(shù)，所以在計算反力、內(nèi)力、應力、變形等都可以應以在計算反力、內(nèi)力、應力、變形等都可以應用疊加法。用疊加法。疊加法：疊加法：幾個載荷共同作用下所引起的某一物幾個載荷共同作

11、用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨作用時所引起的該物理量的理量，等于各載荷單獨作用時所引起的該物理量的總和（代數(shù)和或矢量和）。總和（代數(shù)和或矢量和）。6-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形/在使用疊加法時應注意在使用疊加法時應注意:6-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形1.勿舍簡就繁勿舍簡就繁,已知已知wmax,max不必通過不必通過w(x)來求；來求；2.根據(jù)實際題目作代換，不能照搬公式；根據(jù)實際題目作代換，不能照搬公式；3.給定載荷與圖中載荷的方向若相反，應代負值；給定載荷與圖中載荷的方向若相反，應代負值；4.當撓曲線方程為分段函數(shù)時，應注意每段函數(shù)的適當撓

12、曲線方程為分段函數(shù)時，應注意每段函數(shù)的適用范圍。用范圍。/BA要求：計算吊車梁的最大撓度。要求：計算吊車梁的最大撓度。例例1 起重量為起重量為50kN的單梁吊車，由的單梁吊車，由45b工字鋼制成，工字鋼制成，q=87.485kg/m，Iz=33800cm4?？缍取？缍萳=10m。已知。已知E=210GPa。yzlqP解：解：計算簡圖計算簡圖受力情況：受力情況：q=875N/mP=50kNC CP+Cq疊加得梁的最大撓度為：疊加得梁的最大撓度為：max CP+Cq=16.3mmq單獨作用單獨作用P單獨作用單獨作用自重引起的變形與載荷引起得變形相比很小。自重引起的變形與載荷引起得變形相比很小。/解

13、解疊加疊加lABm=ql2Cq單獨作用單獨作用m單獨作用單獨作用求梁求梁中點中點中點中點C C的撓度和的撓度和B B截面截面截面截面的轉(zhuǎn)角。的轉(zhuǎn)角。例例2BqAlm=ql2CBqAlC/例例3 3試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面撓度 wC 和兩支座截面的轉(zhuǎn)角qA 及 qB。(a)解：解：此梁 wC 及qA，qB 實際上可不按疊加原理而直接利用表6.1情況下的公式得出。這里是作為靈活運用疊加原理的例子，假設(shè)沒有可直接利用的現(xiàn)成公式來講述的。/作用在該簡支梁左半跨上的均布荷載可視為與跨中截面C正對稱和反對稱荷載的疊加(圖b)。第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移(b)(a)/在集度為q

14、/2的正對稱均布荷載作用下，表6.1中序號10公式有C/注意到反對稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分別視為受集度為 q/2 的均布荷載作用而跨長為 l/2 的簡支梁。于是利用表6.1中序號10情況下的公式有第五章第五章 梁彎曲時的位移梁彎曲時的位移 在集度為q/2的反對稱均布荷載作用下，由于撓曲線也是與跨中截面反對稱的，故有C/按疊加原理得/解解aDBAP2CP1求求B截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和C點的撓度。點的撓度。例例4BC段的變形可引起段的變形可引起C點的撓度和點的撓度和B點轉(zhuǎn)角。點轉(zhuǎn)角。AB段的變形可引起段

15、的變形可引起C點的撓度和點的撓度和B點轉(zhuǎn)角。點轉(zhuǎn)角。如何計算？如何計算？（1）討論）討論BC變形引起的變形引起的wC1，B1，剛化剛化AB。P1CBDBAP2CP1/解解（2）討論）討論AB變形引起的變形引起的wC2，B2，剛化剛化BC。aDBAP2CP1求求B截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和C點的撓度。點的撓度。例例4P1P1aDBACP1P2DBAP2C BP2DBACP1P1P1a BP1/（1）討論）討論BC變形引起的變形引起的yC1，B1，剛化剛化AB。P1CB解解（2）討論）討論AB變形引起的變形引起的yC2，B2，剛化剛化BC。DBAP2C BP2BP2DBACP1P1P1a BP1BP

16、1aDBAP2CP1求求B截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和C點的撓度。點的撓度。例例8.3（3）疊加）疊加/逐段剛化法：逐段剛化法：在分析某梁段的變形在需求位移處引起的位移時，其余梁段視為剛體。/6-5 6-5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁1.1.基本概念：基本概念：超靜定梁：超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁多余約束：多余約束：從維持平衡角度而言從維持平衡角度而言,多余的約束多余的約束超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余約束，建立相當系統(tǒng)解除多余約束，建立相當系統(tǒng)(靜定基靜定基)比較變比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件形，列變形協(xié)調(diào)條件由物理關(guān)系建立補充方程由物理關(guān)系建立補充方程利用靜力平衡條件求其他約束反力。利用靜力平衡條件求其他約束反力。相當系統(tǒng)：相當系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)7-6目錄/解解例例5 5 求梁的支反力，梁的抗彎求梁的支反力，梁的抗彎剛度為剛度為EIEI。1 1）判定超靜定次數(shù)）判定超靜定次數(shù)2 2）解除多余約束，建立