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1、第五章第五章 自旋波理論自旋波理論n5.1 自旋波物理圖像自旋波物理圖像n5.2 自旋波的半經(jīng)典理論自旋波的半經(jīng)典理論n5.3 自旋波的量子力學(xué)處理自旋波的量子力學(xué)處理n5.4 鐵磁體在低溫下的熱力學(xué)性質(zhì)鐵磁體在低溫下的熱力學(xué)性質(zhì)n5.5 H-PH-P自旋波理論與自旋波相互作用自旋波理論與自旋波相互作用n5.6 反鐵磁體和亞鐵磁體中的自旋波反鐵磁體和亞鐵磁體中的自旋波n5.7 磁偶極作用下的自旋波色散譜磁偶極作用下的自旋波色散譜n5.8 體非均勻體系中的自旋波體非均勻體系中的自旋波 自旋波作為磁性固體中一種重要的元激發(fā)（如格自旋波作為磁性固體中一種重要的元激發(fā)（如格波波-晶格振動(dòng)），是由局域自

2、旋之間存在交換作用而晶格振動(dòng)），是由局域自旋之間存在交換作用而引起。自旋波理論從引起。自旋波理論從體系整體激發(fā)體系整體激發(fā)的概念出發(fā)，很好的概念出發(fā)，很好的解釋了自發(fā)磁化在低溫下的行為。在低溫下，體系的解釋了自發(fā)磁化在低溫下的行為。在低溫下，體系能量處于較低的激發(fā)態(tài)，自旋波數(shù)較少，自旋波相互能量處于較低的激發(fā)態(tài)，自旋波數(shù)較少，自旋波相互作用可以忽略，每一個(gè)自旋波可以看作是相互獨(dú)立的，作用可以忽略，每一個(gè)自旋波可以看作是相互獨(dú)立的，系統(tǒng)能量等于各個(gè)自旋波能量簡單求和。在這種近似系統(tǒng)能量等于各個(gè)自旋波能量簡單求和。在這種近似下，得到鐵磁體自發(fā)磁化強(qiáng)度遵守下，得到鐵磁體自發(fā)磁化強(qiáng)度遵守T T3/23

3、/2定律，與實(shí)驗(yàn)定律，與實(shí)驗(yàn)符合很好。符合很好。5.1 5.1 自旋波物理圖像自旋波物理圖像設(shè)：設(shè)：N N個(gè)格點(diǎn)組成自旋體系，每個(gè)格點(diǎn)自旋個(gè)格點(diǎn)組成自旋體系，每個(gè)格點(diǎn)自旋S=1/2S=1/2，只，只 考慮最近鄰格點(diǎn)之間的交換作用考慮最近鄰格點(diǎn)之間的交換作用，并認(rèn)為相鄰自，并認(rèn)為相鄰自 旋間的交換作用均相同（旋間的交換作用均相同（A0A0）體系體系Hamilton:Hamilton:當(dāng)當(dāng)T=0KT=0K時(shí)，自旋體系呈現(xiàn)完全有序?？偞啪貢r(shí)，自旋體系呈現(xiàn)完全有序?？偞啪豈 M0 0=NSg=NSgB B此時(shí)總能量最低，處于基態(tài)。此時(shí)總能量最低，處于基態(tài)。T0KT0K，體系中有一個(gè)自旋發(fā)生翻轉(zhuǎn)（偏差）

4、，則由于，體系中有一個(gè)自旋發(fā)生翻轉(zhuǎn)（偏差），則由于相鄰格點(diǎn)間的交換作用，一方面翻轉(zhuǎn)了的自旋將牽動(dòng)相鄰格點(diǎn)間的交換作用，一方面翻轉(zhuǎn)了的自旋將牽動(dòng)近鄰格點(diǎn)自旋，使它們趨于翻轉(zhuǎn)；另一方面，近鄰格近鄰格點(diǎn)自旋，使它們趨于翻轉(zhuǎn)；另一方面，近鄰格點(diǎn)的自旋又力圖使翻轉(zhuǎn)了的自旋重新翻轉(zhuǎn)回來。從點(diǎn)的自旋又力圖使翻轉(zhuǎn)了的自旋重新翻轉(zhuǎn)回來。從 而導(dǎo)致自旋翻轉(zhuǎn)（偏差）不會(huì)停留在一個(gè)格點(diǎn)上，而導(dǎo)致自旋翻轉(zhuǎn)（偏差）不會(huì)停留在一個(gè)格點(diǎn)上，而是要一個(gè)傳一個(gè)，以波的形式傳播，直至彌散整而是要一個(gè)傳一個(gè)，以波的形式傳播，直至彌散整 個(gè)晶體，這種自旋翻轉(zhuǎn)（偏離）在晶體中的傳播稱個(gè)晶體，這種自旋翻轉(zhuǎn)（偏離）在晶體中的傳播稱 為為自旋

5、波自旋波。與晶格振動(dòng)的格波類似與晶格振動(dòng)的格波類似：a.a.同屬晶體元激發(fā)同屬晶體元激發(fā) b.b.所有格點(diǎn)都是等價(jià)的，每個(gè)格點(diǎn)自旋翻轉(zhuǎn)概率所有格點(diǎn)都是等價(jià)的，每個(gè)格點(diǎn)自旋翻轉(zhuǎn)概率相同（相同（1/N1/N）c.c.可以表述為可以表述為 波矢波矢 的方向表的方向表征了波傳播的方向。其大小與波長征了波傳播的方向。其大小與波長有關(guān)，有關(guān)，K=2K=2/其取值不是任意的，它取決于體系的邊界條件，其取值不是任意的，它取決于體系的邊界條件，k k 可能的取值數(shù)目也不是任意的，它等于體系的總自可能的取值數(shù)目也不是任意的，它等于體系的總自 由度。由度。d.d.自旋波的能量自旋波的能量 ,動(dòng)量動(dòng)量 （由于自旋波自

6、旋只（由于自旋波自旋只 是原地翻轉(zhuǎn)故又稱準(zhǔn)動(dòng)量）其行為常如同一個(gè)真實(shí)是原地翻轉(zhuǎn)故又稱準(zhǔn)動(dòng)量）其行為常如同一個(gè)真實(shí) 的粒子，故又名的粒子，故又名“磁激子磁激子”或或“鐵磁子鐵磁子”。e.e.描述波性質(zhì)的關(guān)系仍是色散關(guān)系，即頻率描述波性質(zhì)的關(guān)系仍是色散關(guān)系，即頻率和波矢和波矢 的關(guān)系的關(guān)系 (a)(a)側(cè)視圖側(cè)視圖 (b)(b)府視圖府視圖 (c)(c)kaka 大小和進(jìn)動(dòng)的關(guān)系示意圖大小和進(jìn)動(dòng)的關(guān)系示意圖一維鏈的自旋波一維鏈的自旋波5.25.2自旋波的半經(jīng)典理論自旋波的半經(jīng)典理論自旋自旋S S在磁場在磁場H H中的中的HamiltonHamilton為：為：如如 軸，即軸，即 則則無阻尼時(shí)自旋在

7、磁場無阻尼時(shí)自旋在磁場H H作用下的運(yùn)動(dòng)方程為：作用下的運(yùn)動(dòng)方程為：考慮一簡單的一維無窮鏈，每個(gè)格點(diǎn)有相同的自旋考慮一簡單的一維無窮鏈，每個(gè)格點(diǎn)有相同的自旋 ,相相鄰格點(diǎn)之間存在交換作用（鄰格點(diǎn)之間存在交換作用（A0A0），則第），則第n n個(gè)格點(diǎn)交換作用個(gè)格點(diǎn)交換作用Hamilton:Hamilton:比較（比較（2 2）、（）、（4 4）兩式）兩式相鄰格點(diǎn)自旋的交換作用用等效場相鄰格點(diǎn)自旋的交換作用用等效場H Heffeff替代替代（5 5）代入（）代入（3 3）：）：即即 將圍繞交換作用等效場將圍繞交換作用等效場 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)令令 ，其中，其中，為為 在進(jìn)動(dòng)軸方向的投影矢量，且根據(jù)在進(jìn)動(dòng)軸方

8、向的投影矢量，且根據(jù)前面的假設(shè)，不同格點(diǎn)處前面的假設(shè)，不同格點(diǎn)處 相同，不隨時(shí)間變化；相同，不隨時(shí)間變化；為進(jìn)動(dòng)振幅矢量，其方向隨時(shí)間變化。為進(jìn)動(dòng)振幅矢量，其方向隨時(shí)間變化。n nS SZ ZS Sn nZ Zx xy y如振幅很小，即如振幅很小，即 時(shí)，略去二次以上項(xiàng)得線性時(shí)，略去二次以上項(xiàng)得線性方程：方程：(分量形式見分量形式見P P255255)如令如令 則寫成標(biāo)量方程：則寫成標(biāo)量方程：自旋自旋 在交換作用等效場下的運(yùn)動(dòng)方程（在交換作用等效場下的運(yùn)動(dòng)方程（P P255255)：n n可取所有整數(shù)值，可取所有整數(shù)值，個(gè)形式相同的聯(lián)立線性齊次方程個(gè)形式相同的聯(lián)立線性齊次方程其解應(yīng)當(dāng)具有如下形

9、式：其解應(yīng)當(dāng)具有如下形式：a a為相鄰格點(diǎn)的間距，為相鄰格點(diǎn)的間距，(9)(9)代入代入(8)(8)中中 一維鐵磁鏈的自旋波色散關(guān)系一維鐵磁鏈的自旋波色散關(guān)系如共有如共有N N個(gè)格點(diǎn)，則可以有個(gè)格點(diǎn)，則可以有N N個(gè)個(gè)k k的取值，即可以有的取值，即可以有N N個(gè)波長不同個(gè)波長不同的自旋波存在。的自旋波存在。k k的取值決定于的取值決定于邊界條件，在周期性邊界條件下邊界條件，在周期性邊界條件下w w-kaka當(dāng)當(dāng)k0k0（長波極限），則（長波極限），則考慮德布羅意關(guān)系：考慮德布羅意關(guān)系：如如 a a1010-10-10米，米，A A500K,S500K,Sz z=1/2=1/2，則，則 大約比

10、電子質(zhì)量大大約比電子質(zhì)量大2 2個(gè)數(shù)量級。個(gè)數(shù)量級。5.35.3自旋波的量子力學(xué)處理自旋波的量子力學(xué)處理 方法：用交換作用方法：用交換作用HamiltonHamilton量，求解薛定諤方程本征量，求解薛定諤方程本征 解，從而得出自旋波色散關(guān)系。解，從而得出自旋波色散關(guān)系。設(shè)自旋增加算符設(shè)自旋增加算符S S+=S=Sx x+iS+iSy y，自旋減少算符，自旋減少算符S S-=S=Sx x-iS-iSy y體系交換作用體系交換作用Hamilton:Hamilton:如只考慮最近鄰交換作用，則如只考慮最近鄰交換作用，則 Z Z為最近鄰數(shù)，為最近鄰數(shù)，N N為體系中的格點(diǎn)數(shù)為體系中的格點(diǎn)數(shù)一、基態(tài)：

11、設(shè)一、基態(tài)：設(shè)A0A0，自旋向上的本征態(tài)計(jì)為，自旋向上的本征態(tài)計(jì)為 自旋向下的本征態(tài)計(jì)為自旋向下的本征態(tài)計(jì)為則則0K0K時(shí)所有自旋應(yīng)平行排列，系統(tǒng)狀態(tài)可表示為：時(shí)所有自旋應(yīng)平行排列，系統(tǒng)狀態(tài)可表示為：共共NZ/2NZ/2項(xiàng)項(xiàng)由于不存在翻轉(zhuǎn)的自旋由于不存在翻轉(zhuǎn)的自旋，所以有，所以有所以所以|0|0是是 的本征態(tài)，其能量本征值為：的本征態(tài)，其能量本征值為：二、局域在一個(gè)格點(diǎn)上的自旋翻轉(zhuǎn)態(tài)二、局域在一個(gè)格點(diǎn)上的自旋翻轉(zhuǎn)態(tài) 設(shè)在第設(shè)在第l l格點(diǎn)上有一個(gè)自旋翻轉(zhuǎn)，則體系狀態(tài)為：格點(diǎn)上有一個(gè)自旋翻轉(zhuǎn)，則體系狀態(tài)為：三三.第一激發(fā)態(tài)的本征解第一激發(fā)態(tài)的本征解 為求為求HamiltionHamiltion量

12、的本征解，可將態(tài)量的本征解，可將態(tài) 作付里葉展開：作付里葉展開：令令（相應(yīng)反變換（相應(yīng)反變換 ）將（將（1616）代入（）代入（1515）則得）則得即狀態(tài)即狀態(tài) 是是HamiltionHamiltion的本征態(tài)。令的本征態(tài)。令則狀態(tài)則狀態(tài) 相應(yīng)的能量本征值為相應(yīng)的能量本征值為由此得到三個(gè)重要結(jié)論由此得到三個(gè)重要結(jié)論：1.能量本征態(tài)能量本征態(tài) 表征了體系一個(gè)確定的狀態(tài)。在這個(gè)態(tài)表征了體系一個(gè)確定的狀態(tài)。在這個(gè)態(tài) 中，每個(gè)格點(diǎn)自旋翻轉(zhuǎn)的概率都相等（中，每個(gè)格點(diǎn)自旋翻轉(zhuǎn)的概率都相等（1/N），即自旋），即自旋 翻轉(zhuǎn)不是局域在一個(gè)格點(diǎn)上，而是以相同的概率彌散在翻轉(zhuǎn)不是局域在一個(gè)格點(diǎn)上，而是以相同的概率

13、彌散在 晶體的每一個(gè)格點(diǎn)上。晶體的每一個(gè)格點(diǎn)上。2.在狀態(tài)在狀態(tài) 中，不同格點(diǎn)自旋翻轉(zhuǎn)態(tài)相差一個(gè)相位因中，不同格點(diǎn)自旋翻轉(zhuǎn)態(tài)相差一個(gè)相位因 子，相鄰格點(diǎn)相位差因子均為子，相鄰格點(diǎn)相位差因子均為 （a：相鄰格點(diǎn)間：相鄰格點(diǎn)間 距）。因此，態(tài)距）。因此，態(tài) 顯示了波動(dòng)的特征，它表征了波矢顯示了波動(dòng)的特征，它表征了波矢 為為K的一個(gè)自旋波。的一個(gè)自旋波。3.與基態(tài)相比，一個(gè)自旋波帶系的能量增量為：與基態(tài)相比，一個(gè)自旋波帶系的能量增量為：它表征了波矢為它表征了波矢為k的自旋波能量的最小單位，一個(gè)自旋波的自旋波能量的最小單位，一個(gè)自旋波相當(dāng)于體系中總有一個(gè)自旋翻轉(zhuǎn)。而上式表明：同為一個(gè)相當(dāng)于體系中總有一

14、個(gè)自旋翻轉(zhuǎn)。而上式表明：同為一個(gè) 自旋翻轉(zhuǎn)，由于自旋波波矢不同，則體系能量不同。因自旋翻轉(zhuǎn)，由于自旋波波矢不同，則體系能量不同。因此，（此，（19）式也反應(yīng)了自旋波的色散關(guān)系）式也反應(yīng)了自旋波的色散關(guān)系,并且很顯然。并且很顯然。體系中允許兩個(gè)以上自旋波具有相同的波矢體系中允許兩個(gè)以上自旋波具有相同的波矢k,因此，自旋因此，自旋波不服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)。波不服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)。四四.近獨(dú)立近似下的自旋波總能量近獨(dú)立近似下的自旋波總能量 如果體系中存在許多相互獨(dú)立的自旋波，則體系自旋如果體系中存在許多相互獨(dú)立的自旋波，則體系自旋波總能量等于所有自旋波能量簡單的疊加。波總能量等于所有自旋波能量簡單的疊加。波矢為波

15、矢為k的自旋波個(gè)數(shù)的自旋波個(gè)數(shù)五五.近飽和近似下自旋波的玻色性近飽和近似下自旋波的玻色性 自旋波不服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，也不符合玻色自旋波不服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，也不符合玻色（Bose)Bose)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)（因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)镹 N總是有限的，自旋能夠翻轉(zhuǎn)的總數(shù)總是有限的，自旋能夠翻轉(zhuǎn)的總數(shù)n n不能超過不能超過NS)NS)當(dāng)體系的溫度遠(yuǎn)低于居里點(diǎn)時(shí)，體系中的自旋基本上是有當(dāng)體系的溫度遠(yuǎn)低于居里點(diǎn)時(shí)，體系中的自旋基本上是有序的序的 這時(shí)可以近似地把自旋波看作玻色子。這時(shí)可以近似地把自旋波看作玻色子。當(dāng)鐵磁物質(zhì)在當(dāng)鐵磁物質(zhì)在T T0.5Tc0.5Tc時(shí)，相對自發(fā)磁化強(qiáng)度時(shí)，相對自發(fā)磁化強(qiáng)度即即因此，當(dāng)因此，當(dāng)T T0.5

16、Tc0.5Tc時(shí)，自旋波的波色性能夠很好地滿足。時(shí)，自旋波的波色性能夠很好地滿足。5.4 鐵磁體在低溫下的磁體在低溫下的熱力學(xué)性力學(xué)性質(zhì)一一.自自發(fā)磁化磁化強(qiáng)度的度的 定律定律 N個(gè)格點(diǎn)個(gè)格點(diǎn)組成自旋體系，體成自旋體系，體積V，溫度，溫度T時(shí)體系自旋翻體系自旋翻轉(zhuǎn)總數(shù)的數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均平均值，則 自自發(fā)磁化磁化強(qiáng)度表示度表示為 或或?yàn)橛?jì)算算 作如下作如下簡化：化：a.格點(diǎn)數(shù)十分巨大格點(diǎn)數(shù)十分巨大（N N10102323),),因此因此k的取的取值可看作可看作連續(xù)，從而求和從而求和變?yōu)榉e分。分。b.溫度不高時(shí)，高能態(tài)波幾乎不能被激發(fā)。溫度不高時(shí)，高能態(tài)波幾乎不能被激發(fā)。一維情況下，一維情況下，K的間距的間距 令令 則則 這個(gè)積分是發(fā)散的，同樣二維情況下的積分也是發(fā)散這個(gè)積分是發(fā)散的，同樣二維情況下的積分也是發(fā)散的，因此，一維晶體和二維晶體均不可能具有鐵磁性。的，因此，一維晶體和二維晶體均不可能具有鐵磁性。在三維情況下：在三維情況下：對立方晶體，結(jié)果得：對立方晶體，結(jié)果得：其中：其中：f為結(jié)構(gòu)子數(shù)。簡單立方為結(jié)構(gòu)子數(shù)。簡單立方f=1f=1 體心立方體心立方f=2f=2 面心立方面心立方f=4f