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1、工程制圖與工程制圖與AutoCADAutoCAD2023/2/282單元單元2點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影2023/2/28頁面 3知知識要點要點 投影基本理投影基本理論；點、直點、直線、平面投影的投影、平面投影的投影規(guī)律。律。2023/2/28頁面 4 投影的基本知識投影的基本知識l學習目標l 掌握投影的基本概念；掌握投影法的分類（中心投影法、平行投影法）；掌握正投影的基本特征（顯實性、積聚性、類似性）；掌握三面投影圖的產(chǎn)生及投影規(guī)律 2023/2/28頁面 5投影的基本概念投影的基本概念l2.1.1.1 投影的基本概念l 在日常生活中，人們對“形影不離”的現(xiàn)象已習以為常，知道其

2、形成要有光線、物體及投影面。經(jīng)陽光或燈光照射的物體，會在地面或墻面上產(chǎn)生影子，這就是投影現(xiàn)象。如圖2-1所示為經(jīng)陽光照射的物體，在地面上產(chǎn)生影子的圖片。2023/2/28頁面 8 投影的分類投影的分類投影方法投影方法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法直角投影法（正投影法）直角投影法（正投影法）斜角投影法斜角投影法畫透視圖畫透視圖畫斜軸測圖畫斜軸測圖畫工程圖樣畫工程圖樣及正軸測圖及正軸測圖2023/2/28頁面 9 投影法的分類投影法的分類中心投影法中心投影法投影特性投影特性投射線投射線投射中心投射中心物體物體投影面投影面投影投影物體位置改變，物體位置改變，投影大小也改變投影大小也改變 投

3、射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。有影響。度量性較差度量性較差2023/2/28頁面 10投影法的分類投影法的分類平行投影法平行投影法斜角投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小與物體和投影面之間的距離無關。投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量性較好度量性較好工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。投投射射線線互互相相平平行行且且垂垂直直于于投投影影面面投投射射線線互互相相平平行行且且傾傾斜斜于于投投影影面面直角（正）投影法直角（正）投影法 軸測投影圖軸測投影圖 透視投影圖透視投影圖 工

4、程中常見的圖形 工程中常見的圖形 正正投影圖投影圖 標高投影圖標高投影圖(a)地形圖的形成地形圖的形成(b)地形圖地形圖投影法的分類投影法的分類2023/2/28頁面 14平行投影的基本特征平行投影的基本特征1、顯實性：若線段和平面圖形平行于投影面,其投影反映實長或實形。正投影的基本特征正投影的基本特征2、積聚性：若線段和平面圖形垂直于投影面，其投影積聚為一點或一直線段。正投影的基本特征正投影的基本特征3、類似性：若線段和平面圖形傾斜于投影面，其投影短于實長或小于實形，但與空間圖形類似。三面投影三面投影u 問題的提出(b)水平投影圖CBAa,b,cH形體的一面投影不能唯一確定其空間形狀2023

5、/2/28頁面 18三面投影三面投影 Pb AP采用多面投影采用多面投影。過空間點過空間點A的投射線的投射線與投影面與投影面P的交點即為點的交點即為點A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 點在一個投影面上點在一個投影面上的投影不能確定點的空的投影不能確定點的空間位置。間位置。a 解決辦法？解決辦法？空間點空間點A在在兩兩個投影面上的投影個投影面上的投影 兩投影面體系兩投影面體系 點的兩面投影點的兩面投影 由點的兩面投影由點的兩面投影能確定其位置能確定其位置2023/2/28頁面 20 三面投影體系的建立三面投影體系的建立HWV投影面投影面正面投影面（簡稱正正面投影面（簡稱正 面或面或V

6、面）面）水平投影面（簡稱水水平投影面（簡稱水 平面或平面或H面）面）側面投影面（簡稱側側面投影面（簡稱側 面或面或W面）面）投影軸投影軸oXZOX軸軸 V面與面與H面的交線面的交線OZ軸軸 V面與面與W面的交線面的交線OY軸軸 H面與面與W面的交線面的交線Y三個投影面三個投影面互相垂直互相垂直2023/2/28頁面 21三面投影體系的建立三面投影體系的建立 WHVoX空間點空間點A在三個投影面上的投影在三個投影面上的投影a 點點A的正面投影的正面投影a點點A的水平投影的水平投影a 點點A的側面投影的側面投影空間點用大寫字母表空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫示，點的投影用小寫字母表示。字母表

7、示。a aa AZY三面投影的投影規(guī)律三面投影的投影規(guī)律WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不動不動投影面展開投影面展開aaZaa yayaXYYO azx三面投影的投影規(guī)律三面投影的投影規(guī)律 將形體放置在三投影面體系中，按正投影法向各投影面投影，則形成了形體的三面投影圖。正面圖與平面圖正面圖與平面圖長對正長對正；正面圖與側面圖正面圖與側面圖高平齊高平齊；平面圖與側面圖平面圖與側面圖寬相等寬相等。2023/2/28頁面 24 三面投影的投影規(guī)律三面投影的投影規(guī)律度量對應關系度量對應關系 主視圖主視圖(正面投影）正面投影）長和高長和高 俯視圖俯視圖(水平投影）水平

8、投影）長和寬長和寬 側視圖側視圖(側面投影）側面投影）寬和高寬和高 主視圖、俯視圖主視圖、俯視圖長長 俯視圖、左視圖俯視圖、左視圖寬寬 主視圖、左視圖主視圖、左視圖高高 長對正長對正 寬相等寬相等 高平齊高平齊 長長寬寬高高三面投影的投影規(guī)律三面投影的投影規(guī)律 正面圖反映形體的正面圖反映形體的上、下上、下和和左、右左、右，不反映，不反映前前、后后；平面圖反映形體的平面圖反映形體的前、后前、后和和左、右左、右，不反映，不反映上上、下下；側面圖反映形體的側面圖反映形體的上、下上、下和和前、后前、后，不反映，不反映左左、右右。2023/2/28頁面 26點的投影知識點的投影知識l學習目標l掌握點的三

9、面投影及投影規(guī)律；掌握點的投影與直角坐標；掌握兩點的相對位置及重影點。XYZOVHWAaa a 點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律:a a OX軸軸 aax=a az=y=A到到V面的距離面的距離a ax=a ay=z=A到到H面的距離面的距離aay=a az=x=A到到W面的距離面的距離xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ軸軸點的三面投影及其投影規(guī)律點的三面投影及其投影規(guī)律例題已知點例題已知點A(14，10，11)，作出該點的三面投影。，作出該點的三面投影。14111045例題例題2.2已知點已知點A與投影面與投影面W、V、H的距離分別為的距離分別為14mm、10mm、11mm

10、，作出該點的，作出該點的三面投影。三面投影。xA=WA=14yA=VA=10zA=HA=11即點的坐標為：即點的坐標為：A(14，10，11)點的三面投影及其投影規(guī)律點的三面投影及其投影規(guī)律2023/2/28頁面 29a aax例：已知點的兩個投影，求第三投影。例：已知點的兩個投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通過作通過作45線線使使a az=aax解法二解法二:用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量取取a az=aaxa 點的三面投影及其投影規(guī)律點的三面投影及其投影規(guī)律2023/2/28頁面 30兩點的相對位置及重影點兩點的相對位置及重影點三、兩點的相對位置三、兩點的相對位置 兩點的相

11、對位置指兩兩點的相對位置指兩點在空間的點在空間的上下、前后、上下、前后、左右左右位置關系。位置關系。判斷方法：判斷方法：x 坐標大的在左坐標大的在左 y 坐標大的在前坐標大的在前 z 坐標大的在上坐標大的在上b aa a b bB點在點在A點之點之前、之右、之前、之右、之下。下。XYHYWZ兩點的相對位置兩點的相對位置四、重影點：四、重影點：空間兩點在某空間兩點在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合為一點重合為一點時，則時，則稱此兩點為稱此兩點為該投影該投影面面的重影點。的重影點。cd(c)dCDa(b)abAB2023/2/28頁面 32兩點的相對位置兩點的相對位置A、C為為H面的重影點面

12、的重影點a a c c 被擋住的投被擋住的投影加影加()()A、C為哪個投為哪個投影面的重影點影面的重影點呢？呢？a cWVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不動不動投影面展開投影面展開aaZaa yayaXYYO azx回顧回顧例題已知點例題已知點A(14，10，11)，作出該點的三面投影。，作出該點的三面投影。141110452023/2/28頁面 35兩點的相對位置兩點的相對位置 兩點的相對位置指兩兩點的相對位置指兩點在空間的點在空間的上下、前后、上下、前后、左右左右位置關系。位置關系。判斷方法：判斷方法：x 坐標大的在左坐標大的在左 y 坐標大的在前坐標大

13、的在前 z 坐標大的在上坐標大的在上b aa a b bB點在點在A點之點之前、之右、之前、之右、之下。下。XYHYWZ例例1 1如圖，已知點如圖，已知點A A的三投影，另一點的三投影，另一點B B在點在點A A上方上方8mm8mm，左，左方方12mm12mm，前方，前方10mm10mm處，求點處，求點B B的三個投影。的三個投影。2023/2/28頁面 37直線的投影知識直線的投影知識l學習目標l 掌握各種位置直線的投影（一般位置直線、投影面平行線、投影面垂直線、）；掌握求一般位置直線段的真長及對投影面的傾角；掌握求直線上點的方法。l相關知識鏈接l 2.1.2 正投影的基本特征；2.1.3

14、三面投影；2.2.1 點的三面投影及投影規(guī)律。2.2各種位置直線的投影 2023/2/28頁面 38直線的投影直線的投影aa a b b b 兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。直線對一個投影面的投影特性直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性一、直線的投影特性ABab直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點投影重合為一點 積聚性積聚性直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實長投影反映線段實長 ab=AB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABcosABabAMBabm2023/2/28頁面 39 直線在三個投

15、影面中的投影特性直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側平線（平行于面）側平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面2023/2/28頁面 40一般位置直線一般位置直線（a）直觀圖 （b）投影圖圖2-

16、16 一般位置直線的投影 一般位置直線一般位置直線投影特性：投影特性：三個投影都縮短。三個投影都縮短。即即:都不反映空間線都不反映空間線段的實長及與三個投影段的實長及與三個投影面夾角的實大，且與三面夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。根投影軸都傾斜。abb a b a 投影面平行線投影面平行線 水平線的投影特性：水平線的投影特性：水平線的投影特性：水平線的投影特性：1.1.1.1.水平線的水平線的水平線的水平線的H H H H投影反映真長，真長投影與投影反映真長，真長投影與投影反映真長，真長投影與投影反映真長，真長投影與OXOXOXOX夾角為夾角為夾角為夾角為；與；與；與；與OYOYOYOY軸的

17、夾角為軸的夾角為軸的夾角為軸的夾角為；=0=0=0=0。2.2.2.2.水平線的水平線的水平線的水平線的V V V V投影投影投影投影 abOX abOX abOX abOX；W W W W投影投影投影投影 abOY abOY abOY abOY；abbaba 反映真長TLYHYWXZaaabBbAbZXY水平線水平線 正平線的投影特性：正平線的投影特性：正平線的投影特性：正平線的投影特性：1 1 1 1、正平線的、正平線的、正平線的、正平線的V V V V投影反映真長，真長投影與投影反映真長，真長投影與投影反映真長，真長投影與投影反映真長，真長投影與OXOXOXOX夾角為夾角為夾角為夾角為；

18、與與與與OZOZOZOZ軸的夾角為軸的夾角為軸的夾角為軸的夾角為;=0;=0;=0;=0。2 2 2 2、正平線的、正平線的、正平線的、正平線的H H H H投影投影投影投影 a bOX a bOX a bOX a bOX；W W W W投影投影投影投影 abOZ abOZ abOZ abOZ；abbaba反映真長TLYHYWXZabAabBabZXY正平線正平線abbaba反映真長TLYHYWXZabAabBabZXY 側平線的投影特性：側平線的投影特性：側平線的投影特性：側平線的投影特性：1.1.1.1.側平線的側平線的側平線的側平線的W W W W投影反映真長，真長投影與投影反映真長，真

19、長投影與投影反映真長，真長投影與投影反映真長，真長投影與OYOYOYOY夾角為夾角為夾角為夾角為；與；與；與；與OZOZOZOZ軸的夾角為軸的夾角為軸的夾角為軸的夾角為 ；=0=0=0=0。2.2.2.2.側平線的側平線的側平線的側平線的V V V V投影投影投影投影 abOZ abOZ abOZ abOZ；H H H H投影投影投影投影 a bOY a bOY a bOY a bOY；側平線側平線投影面垂直線投影面垂直線鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側垂線側垂線c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)2023/2/28頁面 47 abbab(a)YHYWXZabA(a)bB

20、abZXY 鉛垂線投影特性：鉛垂線投影特性：鉛垂線投影特性：鉛垂線投影特性：1 1 1 1、鉛垂線的、鉛垂線的、鉛垂線的、鉛垂線的H H H H投影積聚為一點；投影積聚為一點；投影積聚為一點；投影積聚為一點；2 2 2 2、鉛垂線的、鉛垂線的、鉛垂線的、鉛垂線的V V V V、W W W W投影反映直線的真長，且平行于投影反映直線的真長，且平行于投影反映直線的真長，且平行于投影反映直線的真長，且平行于OZOZOZOZ軸。軸。軸。軸。鉛垂線鉛垂線2023/2/28頁面 48 baa(b)baYHYWXZa(b)BbAabaZXY 正垂線投影特性：正垂線投影特性：正垂線投影特性：正垂線投影特性：1

21、 1 1 1、正垂線的、正垂線的、正垂線的、正垂線的V V V V投影積聚為一點；投影積聚為一點；投影積聚為一點；投影積聚為一點；2 2 2 2、正垂線的、正垂線的、正垂線的、正垂線的H H H H、W W W W投影反映直線的真長，且平行于投影反映直線的真長，且平行于投影反映直線的真長，且平行于投影反映直線的真長，且平行于OYOYOYOY軸。軸。軸。軸。正垂線正垂線2023/2/28頁面 49 ab（b）abaYHYWXZabAabBa(b)ZXY 側垂線投影特性：側垂線投影特性：側垂線投影特性：側垂線投影特性：1 1 1 1、側垂線的、側垂線的、側垂線的、側垂線的W W W W投影積聚為一

22、點；投影積聚為一點；投影積聚為一點；投影積聚為一點；2 2 2 2、側垂線的、側垂線的、側垂線的、側垂線的V V V V、H H H H投影反映直線的真長，且平行于投影反映直線的真長，且平行于投影反映直線的真長，且平行于投影反映直線的真長，且平行于OXOXOXOX軸。軸。軸。軸。側垂線側垂線2023/2/28頁面 50直線上的點直線上的點定比定理定比定理ABCa(b)EFDedf 直線上點的投影特性直線上點的投影特性直線上點的投影特性直線上點的投影特性:1 1 1 1、直線上點的投影必定位于直線的同面投影上。、直線上點的投影必定位于直線的同面投影上。、直線上點的投影必定位于直線的同面投影上。、

23、直線上點的投影必定位于直線的同面投影上。2 2 2 2、直線上的點分割直線為兩段，則線段的空間之比等于、直線上的點分割直線為兩段，則線段的空間之比等于、直線上的點分割直線為兩段，則線段的空間之比等于、直線上的點分割直線為兩段，則線段的空間之比等于它們的投影之比，即：它們的投影之比，即：它們的投影之比，即：它們的投影之比，即：ED:DF=e d:d f=ed:df=ed:dfED:DF=e d:d f=ed:df=ed:dfED:DF=e d:d f=ed:df=ed:dfED:DF=e d:d f=ed:df=ed:df(c)應用定比定理應用定比定理b另一判斷法另一判斷法?ababkkkabX

24、ZYHYWOK K 點點在在直直線線 AB AB 上上【例題】判定下題中，點【例題】判定下題中，點【例題】判定下題中，點【例題】判定下題中，點K K K K是否在直線是否在直線是否在直線是否在直線ABABABAB上？上？上？上？XYHYWZababkkabkK K點點不不在在直直線線ABAB上上O【例題】判斷點【例題】判斷點【例題】判斷點【例題】判斷點K K是否在直線是否在直線是否在直線是否在直線ABAB上。上。上。上。2023/2/28頁面 53ababC c cXO【例題】試在直線【例題】試在直線【例題】試在直線【例題】試在直線ABAB上確定一點上確定一點上確定一點上確定一點C C，使使使

25、使AC:CB=2:3AC:CB=2:3，求，求，求，求C C點的兩面投影。點的兩面投影。點的兩面投影。點的兩面投影。2023/2/28頁面 54例題例題 檢驗點檢驗點C和和D是否在直線是否在直線AB上上(d)檢驗方法二檢驗方法二(c)檢驗方法一檢驗方法一(a)(a)已知條件已知條件2023/2/28頁面 55 求一般位置直線段的真長及對投影面的傾角求一般位置直線段的真長及對投影面的傾角l用直角三角形法求出一般位置直線段的真長及其對投影面的傾角。2023/2/28頁面 56直角三角形法一般線的實長與傾角一般線的實長與傾角ABABABAB真長真長真長真長ABABABAB真長真長真長真長ababAB

26、abbabZXYaZZZZABABABAB量取量取量取量取Z Z Z ZABABABABYYYYABABABAB量取量取量取量取YYYYABABABAB 在直角三角形中，一條直角邊為直線的投影長，另在直角三角形中，一條直角邊為直線的投影長，另在直角三角形中，一條直角邊為直線的投影長，另在直角三角形中，一條直角邊為直線的投影長，另一條直角邊為直線的坐標差，則斜邊即為該直線的真長；一條直角邊為直線的坐標差，則斜邊即為該直線的真長；一條直角邊為直線的坐標差，則斜邊即為該直線的真長；一條直角邊為直線的坐標差，則斜邊即為該直線的真長；真長與投影長之間的夾角為直線與該投影面的傾角。真長與投影長之間的夾角為

27、直線與該投影面的傾角。真長與投影長之間的夾角為直線與該投影面的傾角。真長與投影長之間的夾角為直線與該投影面的傾角。真長（真長（真長（真長（TL)TL)TL)TL)坐標差Z、Y、XH、V、W投影長、直角三角形法直角三角形法ababXOZAB=ZABC C在AB上量取AC=25mmccBA【例題】試在直線【例題】試在直線【例題】試在直線【例題】試在直線ABAB上其一點上其一點上其一點上其一點 C C，使使使使AC=25 mmAC=25 mm，求點求點求點求點C C的投影。的投影。的投影。的投影。ababYAB量取YAB【例題】已知直線【例題】已知直線【例題】已知直線【例題】已知直線ABAB的的的的

28、V V投影，投影，投影，投影，且且且且=30=30，求，求，求，求ABAB的的的的H H投影。投影。投影。投影。2023/2/28頁面 60兩直線的相對位置兩直線的相對位置兩直線的兩直線的兩直線的兩直線的相對位置相對位置相對位置相對位置兩直線交叉兩直線交叉兩直線交叉兩直線交叉兩直線相交兩直線相交兩直線相交兩直線相交兩直線平行兩直線平行兩直線平行兩直線平行2023/2/28頁面 61 兩直線平行的投影特性：兩直線平行的投影特性：兩直線平行的投影特性：兩直線平行的投影特性：兩直線平行，則兩直線的同面投影相互平行。即兩直線平行，則兩直線的同面投影相互平行。即兩直線平行，則兩直線的同面投影相互平行。即

29、兩直線平行，則兩直線的同面投影相互平行。即ABCDABCDABCDABCD，則：則：則：則：abcd abcd abcd abcd；abcdabcdabcdabcd；abcd abcd abcd abcd。xobaadbbccxobaabdcdcABCD兩直線平行兩直線平行obxaabkcddckxoBDACKbbaaccddkk兩直線相交的投影特性兩直線相交的投影特性兩直線相交的投影特性兩直線相交的投影特性：兩直線相交，則兩直線的同面投影必定相交，且投影兩直線相交，則兩直線的同面投影必定相交，且投影兩直線相交，則兩直線的同面投影必定相交，且投影兩直線相交，則兩直線的同面投影必定相交，且投影的

30、交點符合點的投影規(guī)律。的交點符合點的投影規(guī)律。的交點符合點的投影規(guī)律。的交點符合點的投影規(guī)律。兩直線相交兩直線相交ObXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21 兩直線交叉的投影特性兩直線交叉的投影特性兩直線交叉的投影特性兩直線交叉的投影特性：既不滿足兩直線平行的投影特性既不滿足兩直線平行的投影特性既不滿足兩直線平行的投影特性既不滿足兩直線平行的投影特性,也不滿足兩直線相也不滿足兩直線相也不滿足兩直線相也不滿足兩直線相交的投影特性，均屬于兩直線交叉交的投影特性，均屬于兩直線交叉交的投影特性，均屬于兩直線交叉交的投影特性，均屬于兩直線交叉.兩直線交叉兩直線交叉202

31、3/2/28頁面 64 交叉兩直線的投影交叉兩直線的投影(a)(a)同面投影相交同面投影相交 (b)(b)同面投影平行同面投影平行交叉兩直交叉兩直線的同面線的同面投影的交投影的交點點(是各條是各條直線上的直線上的一個點構一個點構成的成的)稱為稱為重影點重影點。2023/2/28頁面 65abcdc a b d 例例1：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置對于一般位置直線，只要有兩個同直線，只要有兩個同名投影互相平行，空名投影互相平行，空間兩直線就平行。間兩直線就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 對于特殊位置直線，對于特殊位置直線，只有兩個同名

32、投影互相只有兩個同名投影互相平行，空間直線不一定平行，空間直線不一定平行。平行。求出側面投影后可知：求出側面投影后可知：AB與與CD不平行。不平行。例例2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側面投影求出側面投影如何判斷？如何判斷？cabb a c d k kd例：過例：過C點點作水平線作水平線CD與與AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影2023/2/28頁面 68d e f fecaabcd(b)(k)l lk作kle f 作klef【例題】作直線【例題】作直線【例題】作直線【例題】作直線KLKL與與與與ABAB、CDCD相相相相交，且平行于交，且平行于交，且平行于

33、交，且平行于EFEF直線。直線。直線。直線。2023/2/28頁面 69兩直線垂直相交（或垂直交叉）兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性：若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。上的投影仍為直角。設設 直角邊直角邊BC/H面面因因 BC AB,同時同時BC Bb所以所以 BC ABba平面平面直線在直線在H面上的投影互面上的投影互相垂直相垂直即即 abc為直角為直角因此因此 bc ab故故 bc ABba平面平面又因又因 BC bcABCabcHa c b abc.證明：證明：2023/2/28頁面 70OXbabamnnmBHACcbaMNnm兩直線交叉垂直兩直線交叉垂直d abca b c d例：過例：過C點作直線與點作直線與AB垂直相交。垂直相交。AB為正平線為正平線,正面投影反映直正面投影反映直角。角。