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1、77圓錐曲線 軌跡方程 基本知識(shí)概要：基本知識(shí)概要：一、求軌跡的一般方法：一、求軌跡的一般方法：1直接法直接法：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表述成含等量關(guān)系，這些條件簡(jiǎn)單明確，易于表述成含x,y的的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一般有建系用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡一般有建系,設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，證明五個(gè)步驟，最后的證明可以省略，但要注意證明五個(gè)步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖挖”與與“補(bǔ)補(bǔ)”。2定義法：定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用

2、定義（例如圓運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。跡方程。3.代入法代入法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)的運(yùn)動(dòng)而的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為給定或容易求得，的軌跡為給定或容易求得，則可先將則可先將x,y表示為表示為x,y的式子，再代入的式子，再代入Q的軌跡方的軌跡方程，然

3、而整理得程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點(diǎn)法。4.參數(shù)法參數(shù)法：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫：求軌跡方程有時(shí)很難直接找到動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再?gòu)乃笫阶又兄g建立起聯(lián)系，然而再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。消去參數(shù)，得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。5.交軌法交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?/p>

4、數(shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然而消去可以引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f(shuō)是參數(shù)法的一種變種。參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f(shuō)是參數(shù)法的一種變種。6.幾何法幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識(shí)分析圖：利用平面幾何或解析幾何的知識(shí)分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，然而得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。而得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。7.待定系數(shù)法待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求程常用待定系數(shù)法求.8.點(diǎn)差法點(diǎn)差法：求：求圓錐圓錐曲曲線線中點(diǎn)弦中點(diǎn)弦軌軌跡跡問題時(shí)問題時(shí)，常把兩個(gè)，

5、常把兩個(gè) 端點(diǎn)端點(diǎn)設(shè)為設(shè)為 并代入圓錐曲線方程，并代入圓錐曲線方程，然而作差求出曲線的軌跡方程。然而作差求出曲線的軌跡方程。二、注意事項(xiàng)：二、注意事項(xiàng)：1直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈活動(dòng)用定義；代入法要設(shè)法找到關(guān)系式活動(dòng)用定義；代入法要設(shè)法找到關(guān)系式x=f(x,y),y=g(x,y);參數(shù)法要合理選取點(diǎn)參、角參、斜率參等參數(shù)法要合理選取點(diǎn)參、角參、斜率參等參數(shù)并學(xué)會(huì)消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方參數(shù)并學(xué)會(huì)消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方程再直接消參；幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量程再直接消參；幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。關(guān)系

6、。2要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后的結(jié)果出來(lái)后，要注意挖去或補(bǔ)上一些點(diǎn)等。的結(jié)果出來(lái)后，要注意挖去或補(bǔ)上一些點(diǎn)等。典型例題選講典型例題選講一、直接法題型：一、直接法題型：例例1 已知直角坐已知直角坐標(biāo)標(biāo)系中，點(diǎn)系中，點(diǎn)Q（2，0），），圓圓C的方程的方程為為 ，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到圓到圓C的切線長(zhǎng)與的切線長(zhǎng)與 的的比等于常數(shù)比等于常數(shù) ，求動(dòng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的軌跡。說(shuō)明：求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡說(shuō)明：求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說(shuō)明軌跡是什么。卻不僅要求出方程而且要說(shuō)明軌跡是什么。練習(xí)練習(xí)：（待定系

7、數(shù)法：（待定系數(shù)法題題型）型）在在中，中，且，且的面的面積為積為1，建立適當(dāng)?shù)淖?，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)標(biāo)系，求以系，求以M，N為為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)，且且過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P的的橢圓橢圓方程。方程。二、定二、定義義法法題題型：型：例例2 如圖，某建筑工地要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱如圖，某建筑工地要挖一個(gè)橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿形土坑，挖出的土只能沿AP、BP運(yùn)到運(yùn)到P處，其中處，其中AP=100m，BP=150m，APB=600，問怎能樣運(yùn)，問怎能樣運(yùn)才能最省工？才能最省工？練習(xí)練習(xí)：已知圓已知圓O的方程為的方程為 x2+y2=100,點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為（-6，0），），M為圓為圓O上任一點(diǎn)，上任一點(diǎn)

8、，AM的垂直平分線的垂直平分線交交OM于點(diǎn)于點(diǎn)P，求點(diǎn)，求點(diǎn)P的方程。的方程。三、代入法題型：三、代入法題型：例例3 如圖，從雙曲線如圖，從雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)上一點(diǎn)Q引直線引直線x+y=2的垂線，垂足為的垂線，垂足為N。求線段。求線段QN的中點(diǎn)的中點(diǎn)P的軌的軌跡方程。跡方程。練習(xí)練習(xí)：已知曲線方程：已知曲線方程f(x,y)=0.分別求此曲線關(guān)于原分別求此曲線關(guān)于原點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)，關(guān)于x軸，關(guān)于軸，關(guān)于y軸，關(guān)于直線軸，關(guān)于直線y=x，關(guān)于直線，關(guān)于直線y=-x，關(guān)于直線，關(guān)于直線y=3對(duì)稱的曲線方程。對(duì)稱的曲線方程。四、參數(shù)法與點(diǎn)差法題型：四、參數(shù)法與點(diǎn)差法題型：例例4 經(jīng)過(guò)拋物線經(jīng)過(guò)拋物

9、線y2=2p(x+2p)(p0)的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A作互相作互相垂直的兩直線分別交拋物線于垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點(diǎn)，求線段兩點(diǎn)，求線段BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)M軌跡方程。軌跡方程。五、交軌法與幾何法題型五、交軌法與幾何法題型例例5 拋物拋物線線 的頂點(diǎn)作互相垂直的的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦兩弦OA、OB，求拋物線的頂點(diǎn)，求拋物線的頂點(diǎn)O在直線在直線AB上的射上的射影影M的軌跡。（考例的軌跡。（考例5）說(shuō)明：說(shuō)明：用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，用交軌法求交點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消不一定非要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間的關(guān)去參數(shù)，得到交點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間的關(guān)系即可

10、。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的系即可。交軌法實(shí)際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。一種特殊情況。六、點(diǎn)差法：六、點(diǎn)差法：例例6（2004年福建，年福建，22）如）如圖圖，P是拋物是拋物線線C：上一點(diǎn)，直上一點(diǎn)，直線線 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P且與拋物線且與拋物線C交于另一點(diǎn)交于另一點(diǎn)Q。若直線若直線 與過(guò)點(diǎn)與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直，求線段的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)中點(diǎn)M的的軌跡方程。（圖見教材軌跡方程。（圖見教材P129頁(yè)例頁(yè)例2）。）。說(shuō)明：說(shuō)明：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)，以本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)，以及求軌跡方程的常用方法，本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求及求軌跡方程的常用方法，本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線

11、的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問切線的斜率以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題。題。小結(jié)一、求軌跡的一般方法：一、求軌跡的一般方法：1直接法，直接法，2定義法，定義法，3代入法，代入法，4參數(shù)法，參數(shù)法，5交軌法，交軌法，6幾何法，幾何法，7.待定系數(shù)法，待定系數(shù)法，8.點(diǎn)差法。點(diǎn)差法。二、注意事項(xiàng)：二、注意事項(xiàng)：1直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈活動(dòng)用定義；化入法要設(shè)法找到關(guān)系式活動(dòng)用定義；化入法要設(shè)法找到關(guān)系式x=f(x,y),y=g(x,y);參數(shù)法要合理選取點(diǎn)參、角參、斜率參等參數(shù)法要合理選取點(diǎn)參、角參、斜率參等參數(shù)并學(xué)會(huì)

12、消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方參數(shù)并學(xué)會(huì)消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方程；幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。程；幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。2要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后的結(jié)果出來(lái)后，要注意挖去或補(bǔ)上一些點(diǎn)等。的結(jié)果出來(lái)后，要注意挖去或補(bǔ)上一些點(diǎn)等。課 前 熱 身y=0(x1)1.動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P到到定定點(diǎn)點(diǎn)(-1，0)的的距距離離與與到到點(diǎn)點(diǎn)(1，0)距距離離之之差差為為2，則則P點(diǎn)的軌跡方程是點(diǎn)的軌跡方程是_.2.已已知知OP與與OQ是是關(guān)關(guān)于于y軸軸對(duì)對(duì)稱稱，且且2OPOQ=1，則則點(diǎn)點(diǎn)P(x、y)的軌跡方程是的軌跡方程

13、是_3.與與圓圓x2+y2-4x=0外外切切，且且與與y軸軸相相切切的的動(dòng)動(dòng)圓圓圓圓心心的的軌軌跡跡方方程是程是_.-2x2+y2=1y2=8x(x0)或或y=0(x0)4.ABC的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)為為A(0，-2)，C(0，2)，三三邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)a、b、c成成等等差數(shù)列，公差差數(shù)列，公差d0；則動(dòng)點(diǎn)；則動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程為的軌跡方程為_.5.動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)M(x,y)滿滿足足 則則點(diǎn)點(diǎn)M軌軌跡跡是是()(A)圓圓 (B)雙曲線雙曲線 (C)橢圓橢圓 (D)拋物線拋物線返回返回D 6.當(dāng)當(dāng)0,/2時(shí)時(shí)，拋拋物物線線y=x2-4xsin-cos 2的的頂頂點(diǎn)的軌跡方程是點(diǎn)的軌跡方程是_7.已已知知線線段段AB的的

14、兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)A、B分分別別在在x軸軸、y軸軸上上滑滑動(dòng)動(dòng)，|AB|=3，點(diǎn)點(diǎn)P是是AB上上一一點(diǎn)點(diǎn)，且且|AP|=1，則則點(diǎn)點(diǎn)P的的軌跡方程是軌跡方程是_8.過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)的的動(dòng)動(dòng)橢橢圓圓的的一一個(gè)個(gè)焦焦點(diǎn)點(diǎn)為為F(1，0)，長(zhǎng)長(zhǎng)軸軸長(zhǎng)長(zhǎng)為為4，則動(dòng)橢圓中心的軌跡方程為，則動(dòng)橢圓中心的軌跡方程為_X2=-2y-2返回返回 9.9.已知已知A+B+C=0A+B+C=0，則直線，則直線Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A、B B、CR)CR)被拋被拋物線物線y2=2xy2=2x所截線段中點(diǎn)所截線段中點(diǎn)M M的軌跡方程是的軌跡方程是 ()()(A)y2+y-x+1=0(A)y2+y-x+1

15、=0(B)y2-y-x+1=0(B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0(C)y2+y+x+1=0(D)y2-y-x-1=0(D)y2-y-x-1=0B B能力思維方法【解解題題回回顧顧】求求動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)軌軌跡跡時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)注注意意它它的的完完備備性性與與純純粹粹性性化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)過(guò)過(guò)程程破破壞壞了了方方程程的的同同解解性性，要要注注意意補(bǔ)補(bǔ)上上遺遺漏漏的的點(diǎn)點(diǎn)或或者者要要挖挖去去多多余余的的點(diǎn)點(diǎn).“軌軌跡跡”與與“軌軌跡跡方方程程”是是兩兩個(gè)個(gè)不不同同的的概概念念，前前者者要要指指出出曲曲線線的的形形狀狀、位位置置、大大小小等等特特征征，后后者者指指方方程程(包括范圍包括范圍)1.設(shè)設(shè)動(dòng)動(dòng)直直

16、線線l垂垂直直于于x軸軸，且且與與橢橢圓圓x2+2y2=4交交于于A、B兩兩點(diǎn)點(diǎn)，P是是l 上滿足上滿足PAPB=1的點(diǎn)，求點(diǎn)的點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程【解解解解題題題題回回回回顧顧顧顧】本本本本題題題題的的的的軌軌軌軌跡跡跡跡方方方方程程程程是是是是利利利利用用用用直直直直接接接接法法法法求求求求得得得得，注注注注意意意意x x的的的的取取取取值值值值范范范范圍圍圍圍的的的的求求求求法法法法.利利利利用用用用數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)量量量量積積積積的的的的定定定定義義義義式式式式的的的的變變變變形形形形可可可可求求求求得得得得相相相相關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)的的的的角或三角函數(shù)值角或三角函數(shù)值角或三角函數(shù)值角或三角函數(shù)值.2.2.已知兩點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，MM(-1(-1，0)0)，N N(1(1，0)0)，且點(diǎn)，且點(diǎn)，且點(diǎn)，且點(diǎn)P P使使使使MPMP MNMN，PMPN PMPN,NMNPNMNP成成成成公公公公差差差差小小小小于于于于零零零零的的的的等等等等差差差差數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)列列列列，(1)(1)求求求求點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)P P的的的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)跡跡跡跡方方方方程程程程.(2).(2)若若若若點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)P