《空間點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系(優(yōu)秀經(jīng)典公開(kāi)課比賽ppt課件).ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《空間點(diǎn)、平面、直線之間的位置關(guān)系(優(yōu)秀經(jīng)典公開(kāi)課比賽ppt課件).ppt（39頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、空間點(diǎn)、直線、平面之間的空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系位置關(guān)系返回目錄返回目錄 一、平面一、平面 1.1.三個(gè)公理三個(gè)公理 公理公理1 如果一條直線上的如果一條直線上的 在一個(gè)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理公理2 ,有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)平面，也可簡(jiǎn)單地說(shuō)成，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面平面，也可簡(jiǎn)單地說(shuō)成，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.兩點(diǎn)兩點(diǎn) 過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn) 考點(diǎn)分析考點(diǎn)分析 公理公理3 如果兩個(gè)不重合的平面如果兩個(gè)不重合的平面 ，那么它們有且只有，那么它們有且只有 .2.符號(hào)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的關(guān)系符號(hào)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言的關(guān)系有

2、一個(gè)公共點(diǎn)有一個(gè)公共點(diǎn) 一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言數(shù)學(xué)表達(dá)語(yǔ)言數(shù)學(xué)表達(dá)語(yǔ)言點(diǎn)點(diǎn)A A在直線在直線a a上上點(diǎn)點(diǎn)A A在直線在直線a a外外點(diǎn)點(diǎn)A A在平面在平面內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)A A在平面在平面外外直線直線a a在平面在平面內(nèi)內(nèi)直線直線a,ba,b相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)A A平面平面,相交于直線相交于直線a a返回目錄返回目錄=a A a A a Aaaab=A A a返回目錄返回目錄 1.空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交、平行、異面空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：相交、平行、異面(1)相交直線相交直線:;(2)平行直線平行直線:;(3)異面直線異面直線:.2.判定異

3、面直線的方法判定異面直線的方法(1)利用定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平利用定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.二、空間兩條直線的位置關(guān)系二、空間兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn) 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)（或者說(shuō)，異面直線既不同在任何一個(gè)平面內(nèi)（或者說(shuō)，異面直線既 不相交又不平行的兩條直線），沒(méi)有公共點(diǎn)不相交又不平行的兩條直線），沒(méi)有公共點(diǎn) 返回目錄返回目錄(2)利用反證法：假設(shè)兩條直線不是異面直線，推導(dǎo)出矛利用反證法：假設(shè)兩

4、條直線不是異面直線，推導(dǎo)出矛盾盾.3.公理公理4 空間平空間平行線的傳遞性行線的傳遞性.4.等角定理等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角 .平行于同一條直線的兩條直線互相平行平行于同一條直線的兩條直線互相平行 相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ) 返回目錄返回目錄 5.異面直線所成的角異面直線所成的角 設(shè)設(shè)a,b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O，分別作直線，分別作直線a a,b b，把直線，把直線a與與b所成的所成的 叫叫做異面直線做異面直線a與與b所成的角所成的角(或夾角或夾角).三、空間直線與平面的位置關(guān)系三、空間直

5、線與平面的位置關(guān)系 直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：（1）直線在平面內(nèi)：）直線在平面內(nèi)：；（2）直線與平面相交：）直線與平面相交：；（3）直線與平面平行：）直線與平面平行：，銳角銳角(或直角或直角)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn) 返回目錄返回目錄 直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱 .四、平面與平面的位置關(guān)系四、平面與平面的位置關(guān)系兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：（1）兩個(gè)平面平行：）兩個(gè)平面平行：；（2）兩個(gè)平面相交：）兩個(gè)平面相交：

6、.有一條公共直線有一條公共直線 直線在平面外直線在平面外 沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn) 返回目錄返回目錄 例例1 如圖所示，空間四邊形如圖所示，空間四邊形ABCD中，中，E，F(xiàn)，G分別分別在在AB，BC，CD上，且滿足上，且滿足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，過(guò)，過(guò)E，F(xiàn)，G的平面交的平面交AD于于H，連接，連接EH.（1）求）求AH:HD；（2）求證：）求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn)三線共點(diǎn).考點(diǎn)一考點(diǎn)一考點(diǎn)一考點(diǎn)一 證明共點(diǎn)問(wèn)題證明共點(diǎn)問(wèn)題證明共點(diǎn)問(wèn)題證明共點(diǎn)問(wèn)題 題型分析題型分析【分析分析分析分析】證明線共點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的證明線共點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問(wèn)

7、題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看問(wèn)題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理3得證得證.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 【解析解析解析解析】（1）=2，EF AC.EF 平面平面ACD.而而EF平面平面EFGH，且平面，且平面EFGH平面平面ACD=GH，EF GH.而而EF AC，AC GH.=3，即，即AH:HD=3:1.返回目錄返回目錄（2）證明：）證明：EF GH，且，且 ，EFGH,四邊形四邊形EFGH為梯形為梯形.令令EHFG=P,則則P EH,而而EH 平面平面ABD，P FG，F(xiàn)G 平面平面BCD，平面，平面

8、ABD平面平面BCD=BD，P BD.EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn)三線共點(diǎn).【評(píng)析評(píng)析評(píng)析評(píng)析】所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)上的直線交于一點(diǎn).（1）證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理）證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3.（2）證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于）證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題.實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)際上，點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題來(lái)處理都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題來(lái)處理.返回目

9、錄返回目錄 對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練如圖所示，已知空間四邊形如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是分別是AB，AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，G，H分別是分別是BC，CD上的點(diǎn)上的點(diǎn).且且CG=BC，CH=DC.求證：求證：（1）E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面；四點(diǎn)共面；（2）三直線）三直線FH，EG，AC共點(diǎn)共點(diǎn).返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄（1）連接）連接EF，GH.由由E,F分別為分別為AB,AD中點(diǎn)，中點(diǎn)，EF BD,由由CG=BC CH=DC，HG BD，EF HG且且EFHG.EF,HG可確定平面可確定平面,E,F,G,H四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面.（2）由（）由（1）知）知,EFHG為

10、平面圖形，且為平面圖形，且EF HG，EFHG.四邊形四邊形EFHG為梯形，設(shè)直線為梯形，設(shè)直線FH直線直線EG=O，點(diǎn)點(diǎn)O 直線直線FH，直線，直線FH 面面ACD，點(diǎn)點(diǎn)O 平面平面ACD.同理點(diǎn)同理點(diǎn)O 平面平面ABC.又面又面ACD面面ABC=AC，點(diǎn)點(diǎn)O 直線直線AC（公理（公理2）.三直線三直線FH，EG，AC共點(diǎn)共點(diǎn).返回目錄返回目錄 例例2 在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中中,對(duì)角線對(duì)角線A1C與平與平面面BDC1交于點(diǎn)交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)M,求證求證:點(diǎn)點(diǎn)C1,O,M共共線線.【分析分析分析分析】證明三點(diǎn)共線常用方法是取其中兩點(diǎn)確定一證明三點(diǎn)共線常用方法是

11、取其中兩點(diǎn)確定一直線直線,再證明其余點(diǎn)也在該直線上再證明其余點(diǎn)也在該直線上.考點(diǎn)二考點(diǎn)二考點(diǎn)二考點(diǎn)二 點(diǎn)共線問(wèn)題點(diǎn)共線問(wèn)題點(diǎn)共線問(wèn)題點(diǎn)共線問(wèn)題 返回目錄返回目錄【證明證明證明證明】如圖如圖,A1A C1C,A1A,C1C確定平面確定平面A1C.A1C,O A1C,O 平面平面A1C,而而O=平面平面BDC1線線A1C,O 平面平面BDC1,O在平面在平面BDC1與平面與平面A1C的交線上的交線上.ACBD=M,M 平面平面BDC1且且M 平面平面A1C,平面平面BDC1平面平面A1C=C1M,O CM,即即M,O,C1三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 【評(píng)析評(píng)析評(píng)析評(píng)析】證

12、證 明若干點(diǎn)共線也可用基本性質(zhì)明若干點(diǎn)共線也可用基本性質(zhì)3 為依為依據(jù)據(jù),找出兩個(gè)平面的交線找出兩個(gè)平面的交線,然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共點(diǎn)的公共點(diǎn).返回目錄返回目錄 對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練如圖所示如圖所示,已知已知ABC在在平面平面外外,AB,BC,AC的的延長(zhǎng)線分別交平面延長(zhǎng)線分別交平面于于P,Q,R三點(diǎn)三點(diǎn).求證求證:P,Q,R三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.證明證明證明證明:設(shè)設(shè)ABC所在平面為所在平面為,因?yàn)橐驗(yàn)锳P=P,AP,所以所以與與相交于過(guò)點(diǎn)相交于過(guò)點(diǎn)P的直線的直線l,即即P l.因?yàn)橐驗(yàn)锽Q=Q,BQ,所以所以Q,Q.所以所以Q l.同理可證同理

13、可證R l.所以所以P,Q,R三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.返回目錄返回目錄 【分析分析分析分析】四條直線兩兩相交且不共點(diǎn)四條直線兩兩相交且不共點(diǎn),有兩種情況有兩種情況:一是恰有三條直線共點(diǎn)一是恰有三條直線共點(diǎn);二是任意三條直線均不共點(diǎn)二是任意三條直線均不共點(diǎn),故應(yīng)故應(yīng)分兩種情況證明分兩種情況證明.考點(diǎn)三考點(diǎn)三考點(diǎn)三考點(diǎn)三 共面問(wèn)題共面問(wèn)題共面問(wèn)題共面問(wèn)題 例例3 證明：空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi)證明：空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi).【解析解析解析解析】(1)如圖如圖,設(shè)直線設(shè)直線a,b,c相交于相交于O點(diǎn)點(diǎn),直線直線d和和a,b,c分別分別交于交于M,N,P三點(diǎn)三點(diǎn),份直線份

14、直線d和點(diǎn)和點(diǎn)O確定平面確定平面.O 直線直線a,M 直線直線a,直線直線a平面平面.同理同理b平面平面,c平面平面.a,b,c,d四線共面四線共面.返回目錄返回目錄(2)如圖如圖,設(shè)直線設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交兩兩相交,且任意三條不共點(diǎn)且任意三條不共點(diǎn).直線直線ab=M,直線直線a和和b確定平面確定平面.ac=N,bc=Q,N,Q都在平面都在平面內(nèi)內(nèi).直線直線a,b,c,d共面于共面于.綜合（綜合（1），（），（2）知）知,兩兩兩相交而不過(guò)同一點(diǎn)的兩相交而不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi)四條直線必在同一平面內(nèi).返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 【評(píng)析評(píng)析評(píng)析評(píng)析】所謂點(diǎn)線共面問(wèn)題就是

15、指證明一些點(diǎn)或直線所謂點(diǎn)線共面問(wèn)題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問(wèn)題在同一個(gè)平面內(nèi)的問(wèn)題.（1）證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：）證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理1）.經(jīng)過(guò)不在同一條直經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理2）.（2）證明點(diǎn)線）證明點(diǎn)線共面的常用方法共面的常用方法:納入平面內(nèi)：先確定一個(gè)平面，再證明納入平面內(nèi)：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).輔助平面法：先證明

16、有關(guān)的點(diǎn)、輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面線確定平面，再證明其余元素確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，最后證明平面,重合重合.反證法反證法.（3）具體操作方法：）具體操作方法：證明幾點(diǎn)共面證明幾點(diǎn)共面的問(wèn)題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證的問(wèn)題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).證明空間幾條直線共面問(wèn)題證明空間幾條直線共面問(wèn)題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個(gè)平面，再證明其可先取兩條（相交或平行）直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi)余直線均在這個(gè)平面內(nèi).返回目錄返回目錄 對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演

17、練對(duì)應(yīng)演練如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.（1）直線）直線AC1平面平面CC1B1B；（2）設(shè)正方形）設(shè)正方形ABCD與與A1B1C1D1的中心分別為的中心分別為O，O1，平面，平面AA1C1C 平面平面BB1D1D=OO1；（3）點(diǎn)）點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；可以確定一個(gè)平面；（4）由點(diǎn)）由點(diǎn)A，C1，B1確定的平面是確定的平面是ADC1B1；（5）由）由A，C1，B1確定的平面和由確定的平面和由A，C1，D確定的平面是同一平面確定的平面是同一平面.返回目錄返回目錄(1)錯(cuò)誤，若錯(cuò)誤，若AC1平面平

18、面CC1B1B，則，則A 平面平面 CC1B1B，這與，這與A 平面平面CC1B1B的幾何事實(shí)矛盾的幾何事實(shí)矛盾.(2)正確，正確，O，O1是這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)是這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn).(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤,點(diǎn)點(diǎn)A，O，C在同一直線上在同一直線上.(4)正確，正確，A，C1，B1不共線，不共線，確定平面確定平面.AB1C1D是平行四邊形，過(guò)是平行四邊形，過(guò)AD與與B1C1兩平行線確定兩平行線確定一平面一平面,又又,都過(guò)不共線三點(diǎn)都過(guò)不共線三點(diǎn)A,C1,B1，與與重合重合.點(diǎn)點(diǎn)D 平面平面AC1B1，即，即A,C1,B1確定的平面是確定的平面是ADC1B1.(5)正確，同（正確，同（4）.返回目錄

19、返回目錄 例例4 如圖所示，正方體如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分別是分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn).問(wèn)：?jiǎn)枺海?）AM和和CN是否是異面直線？是否是異面直線？（2）D1B和和CC1是否是異面直是否是異面直 線？請(qǐng)說(shuō)明理由線？請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)四考點(diǎn)四考點(diǎn)四考點(diǎn)四 異面直線的判定和證明異面直線的判定和證明異面直線的判定和證明異面直線的判定和證明 【分析分析分析分析】（1）由于）由于M,N分別是分別是A1B1和和B1C1的中點(diǎn)，可的中點(diǎn)，可證明證明MN AC，因此，因此AM與與CN不是異面直線不是異面直線.（2）由空）由空間圖形可感知間圖形可感知D1B和和CC1為異面

20、直線的可能性較大，判為異面直線的可能性較大，判斷的方法可用反證法斷的方法可用反證法.【解析解析解析解析】（1）不是異面直線）不是異面直線.理由如下：理由如下：M,N分別是分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn),MN A1C1，又又A1A D1D,而而D1D C1C，A1A C1C，四邊形四邊形A1ACC1為平行四邊形為平行四邊形.A1C1 AC，得到，得到MN AC，A,M,N,C在同一個(gè)平面內(nèi)，故在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和和CN不是異面直線不是異面直線.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄（2）是異面直線，證明如下：）是異面直線，證明如下：假設(shè)假設(shè)D1B與與CC1在同一個(gè)平面在同一個(gè)平面D1CC1

21、內(nèi)，內(nèi)，則則B 平面平面CC1D1，C 平面平面CC1D1.BC平面平面CC1D1，這與正方體這與正方體ABCDA1B1C1D1中中BC 面面CC1D1相矛盾相矛盾.假設(shè)不成立，故假設(shè)不成立，故D1B與與CC1是異面直線是異面直線.返回目錄返回目錄【評(píng)析評(píng)析評(píng)析評(píng)析】判定異面直線的常用方法有：（判定異面直線的常用方法有：（1）定義法；）定義法；（2）反證法；（）反證法；（3）判定定理法，應(yīng)用異面直線判定定）判定定理法，應(yīng)用異面直線判定定理來(lái)判定時(shí)，應(yīng)注意是否滿足它的理來(lái)判定時(shí)，應(yīng)注意是否滿足它的“四要素四要素”，即，即點(diǎn)點(diǎn)A 平面平面,B ,直線直線a,A a,則直線則直線AB與與a異異面面.

22、返回目錄返回目錄 如如圖圖所所示示，E,F在在AD上上，G,H在在BC上上，圖圖中中 8條條 線線段段所所在在的的直直線線，哪哪些些直直線線互互 為為 異異 面面 直直 線線？先找規(guī)律性較強(qiáng)的直線，如先找規(guī)律性較強(qiáng)的直線，如AB與與CD，AC與與BD，AD與與BC互為異面直線，然后再把互為異面直線，然后再把EG添入，那么易得添入，那么易得EG分別與分別與AB,AC,BD,DC成異面直線成異面直線.同理，同理，F(xiàn)H也與它們分別成也與它們分別成 異異面直線，面直線，EG與與FH也互為異面直線也互為異面直線.每?jī)蓷l異面直線稱每?jī)蓷l異面直線稱 為為“一對(duì)一對(duì)”，則共有，則共有12對(duì)異面直線對(duì)異面直線.

23、對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練返回目錄返回目錄 例例 5 在在 空空 間間 四四 邊邊 形形ABCD中中，AB=CD且且其其所所成成的的角角是是 60，點(diǎn)點(diǎn)M,N分分別別是是 BC,AD的的 中中點(diǎn)點(diǎn).求求 直直 線線 AB與與MN所所成成的的角角.【分析分析分析分析】本題首先要考慮將題目中的直線本題首先要考慮將題目中的直線AB與與 CD所成的角是所成的角是60反映在圖形上反映在圖形上，故要考慮添加輔，故要考慮添加輔 助線，通常取中點(diǎn)將其中的直線進(jìn)行平移，從而得解助線，通常取中點(diǎn)將其中的直線進(jìn)行平移，從而得解.考點(diǎn)五考點(diǎn)五考點(diǎn)五考點(diǎn)五 異面直線所成的角異面直線所成的角異面直線所成的角異面直線

24、所成的角 【解析解析解析解析】取取AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)P，連結(jié)，連結(jié)PM,PN，則有，則有 PM AB，且，且PM=AB.PN CD，且，且PN=CD.又又AB=CD且其所成的角是且其所成的角是60，PM=PN，MPN=120或或60.MPN=60或或30，即直線，即直線AB與與MN所成的角為所成的角為60或或30.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄 【評(píng)析評(píng)析評(píng)析評(píng)析】求異面直線所成的角主要有定義法求異面直線所成的角主要有定義法(平移法平移法)和和向量法向量法.利用定義法利用定義法(平移法平移法)求異面直線所成角的一般步驟為求異面直線所成角的一般步驟為:(1)平移平移:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),

25、平移異面直線中的一條或兩條平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線成為相交直線,這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn),如線段的如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)中點(diǎn)或端點(diǎn),也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn)也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn).(2)證明證明:證明所作的角是異面直線所成的角證明所作的角是異面直線所成的角.(3)尋找尋找:在立體圖形中在立體圖形中,尋找或作出含有此角的三角形尋找或作出含有此角的三角形,并解之并解之.(4)取舍取舍:因?yàn)楫惷嬷本€所成角因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是的取值范圍是090,所以所作的角為鈍角時(shí)所以所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面應(yīng)取它的補(bǔ)角作

26、為異面直線所成的角直線所成的角.對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱的菱形，形，DAB=60,對(duì)角線對(duì)角線AC與與BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，PO 平面平面ABCD，PB與平面與平面ABCD所成角為所成角為60.(1)求四棱錐的體積；求四棱錐的體積；(2)若若E是是PB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求異面直線求異面直線DE與與PA所成角的余弦值所成角的余弦值.返回目錄返回目錄 返回目錄返回目錄（1）在四棱錐）在四棱錐PABCD中，中，PO 平面平面ABCD，PBO是是PB與平面與平面ABCD所成的角，所成的角，即即PBO=60,在在R

27、t POB中，中，BO=ABsin30=1,又又PO OB，PO=BOtan60=,底面菱形的面積底面菱形的面積S=2 22 =2 ，四棱錐四棱錐PABCD的體積的體積VPABCD=2 =2.返回目錄返回目錄(2)取取AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)F，連接，連接EF，DF，E為為PB中點(diǎn)，中點(diǎn)，EF PA.DEF為異面直線為異面直線DE與與PA所成角（或其補(bǔ)角）所成角（或其補(bǔ)角）.在在Rt AOB中，中，AO=ABcos30=OP,在在Rt POA中，中，PA=，EF=.在正三角形在正三角形ABD和正三角形和正三角形PDB中，中，DF=DE=，由余弦定理得由余弦定理得cos DEF=異面直線異面直線DE與與

28、PA所成角的余弦值為所成角的余弦值為 .返回目錄返回目錄 1.1.對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能用符號(hào)準(zhǔn)確地表述用符號(hào)準(zhǔn)確地表述用符號(hào)準(zhǔn)確地表述用符號(hào)準(zhǔn)確地表述.2.2.主要題型的解題方法主要題型的解題方法主要題型的解題方法主要題型的解題方法 （1 1）要證明）要證明）要證明）要證明“線共面線共面線共面線共面”或或或或“點(diǎn)共面點(diǎn)共面點(diǎn)共面點(diǎn)共面”可先由部分直可先由部分直可先由部分直可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面線或點(diǎn)確定一個(gè)平面線或點(diǎn)確定一個(gè)平面線或點(diǎn)確定一

29、個(gè)平面,再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)（即內(nèi)（即內(nèi)（即內(nèi)（即“納入法納入法納入法納入法”）.（2 2）要證明）要證明）要證明）要證明“點(diǎn)共線點(diǎn)共線點(diǎn)共線點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，可將線看作兩個(gè)平面的交線，可將線看作兩個(gè)平面的交線，可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),根據(jù)公理根據(jù)公理根據(jù)公理根據(jù)公理3 3可可可可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線知這些點(diǎn)在交線上，因此共線知這些點(diǎn)

30、在交線上，因此共線知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.高考專家助教高考專家助教返回目錄返回目錄 3.3.判定空間兩條直線是異面直線的方法判定空間兩條直線是異面直線的方法判定空間兩條直線是異面直線的方法判定空間兩條直線是異面直線的方法 （1 1）判定定理）判定定理）判定定理）判定定理.平面外一點(diǎn)平面外一點(diǎn)平面外一點(diǎn)平面外一點(diǎn)A A與平面內(nèi)一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)B B的連線和的連線和的連線和的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)B B的直線是異面直線的直線是異面直線的直線是異面直線的直線是異面直線.（2 2）反證法：證明兩線平行、相交不可能或證明兩）反證

31、法：證明兩線平行、相交不可能或證明兩）反證法：證明兩線平行、相交不可能或證明兩）反證法：證明兩線平行、相交不可能或證明兩線共面不可能，從而可得兩線異面線共面不可能，從而可得兩線異面線共面不可能，從而可得兩線異面線共面不可能，從而可得兩線異面.4.4.求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決.根據(jù)

32、空根據(jù)空根據(jù)空根據(jù)空間等角定理及推理可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位間等角定理及推理可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位間等角定理及推理可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位間等角定理及推理可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特別地，置無(wú)關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特別地，置無(wú)關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特別地，置無(wú)關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特別地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面線段的端點(diǎn)線段的端點(diǎn)線段的端點(diǎn)線段的端點(diǎn).