《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題4-7 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題4-7 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用.docx（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、專題4.7 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用【考情分析】能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題【重點(diǎn)知識(shí)梳理】1仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖)圖圖2方向角相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等3方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)4坡度(又稱坡比)坡面的垂直高度與水平長度之比【典型題分析】高頻考點(diǎn)一解三角形中的實(shí)際問題例（2020河南省鶴壁市一中模擬）如圖，高山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李

2、在山腳 B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150；從D處再攀登800米可到達(dá)C處，則索道AC的長為_米【答案】400【解析】在ABD中，BD400米，ABD120.因?yàn)锳DC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得，所以，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400)280022400800cos 150400213，解得AC400(米)故索道AC的長為400米【方法技巧】利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般步驟(1)分析理解題意

3、，分清已知與未知，畫出示意圖(2)建模根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗(yàn)檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解【變式探究】（2020山東省淄博市八中模擬）如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為_【答案】【解析】在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得B

4、C2AB2AC22ABACcos 1202 800，得BC20.由正弦定理，得，即sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.高頻考點(diǎn)二平面幾何中的解三角形問題例【2020全國卷】如圖，在三棱錐PABC的平面展開圖中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，則cosFCB=_.【答案】【解析】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在BCF中，由余弦定理得.【變式探究】（2020江西省貴溪市一中模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，ABC，ABAD，AB1. (1)

5、若AC，求ABC的面積；(2)若ADC，CD4，求sinCAD.【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即51BC2BC，解得BC，所以ABC的面積SABCABBCsinABC1.(2)設(shè)CAD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA()，由正弦定理得，即，兩式相除，得，即4(sin cos )sin ，整理得sin 2cos .又因?yàn)閟in2cos21，所以sin ，即sinCAD.【方法技巧】 與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計(jì)算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或

6、余弦定理建立已知和所求的關(guān)系具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果【變式探究】(2020湖南衡陽第三次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，0DAB，AD2，AB3，ABD的面積為，ABBC. (1)求sinABD的值；(2)若BCD，求BC的長【解析】(1)因?yàn)锳BD的面積SADABsinDAB23sinDAB，所以sinDAB.又0DAB，所以DAB，所以cosDABcos .由余弦定理得BD，由正弦定理得sinABD.(2)因?yàn)锳BBC，所以ABC，sinDBCsin

7、(ABD)cosABD.在BCD中，由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DCBCcosDCBBD2，可得3BC24BC50，解得BC或BC(舍去)故BC的長為.高頻考點(diǎn)三與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題例【2020全國II卷】中，sin2Asin2Bsin2C= sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值【解析】（1）由正弦定理和已知條件得，由余弦定理得，由，得.因?yàn)?，所?（2）由正弦定理及（1）得，從而，.故.又，所以當(dāng)時(shí)，周長取得最大值.【舉一反三】【2020全國卷】某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓

8、弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BCDG，垂足為C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積為_cm2【答案】【解析】設(shè)，由題意，所以，因?yàn)?所以，因?yàn)椋?，因?yàn)榕c圓弧相切于點(diǎn)，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，因?yàn)?，所以，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：.【變式探究】(2019全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC為銳角三角形，且c1，求ABC面積的取值范

9、圍【解析】(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因?yàn)閟in A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因?yàn)閏os0，故sin，因此B60.(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABCa.由正弦定理得a.由于ABC為銳角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，從而SABC.因此，ABC面積的取值范圍是?！痉椒记伞?解三角形問題中，求解某個(gè)量(式子)的最值(范圍)的基本思路為：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大【變式探究】（2020福建省安溪八中模擬）在ABC中，b，B60，(1)求ABC周長l的范圍；(2)求ABC面積最大值?！窘馕觥?1)lac，b23a2c22accos 60a2c2ac，(ac)23ac3，(ac)233ac3()2，ac2，當(dāng)僅僅當(dāng)ac時(shí)，取“”，又ac，2l3.(2)b23a2c2ac2acac，ac3，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，取“”，SABCacsin B3sin 60，ABC面積最大值為.