2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)專題4-7 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用.pdf
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1、專題 4.7 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用 【考情分析】 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題 【重點(diǎn)知識(shí)梳理】 1仰角和俯角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視 線在水平視線下方叫俯角(如圖 ) 圖圖 2方向角 相對(duì)于某正方向的水平角,如南偏東 30,北偏西 45等 3方位角 指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如 B 點(diǎn)的方位角為 (如圖) 4坡度(又稱坡比) 坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比 【典型題分析】 高頻考點(diǎn)一解三角形中的實(shí)際問(wèn)題 例 (2020河南省鶴壁市一中模擬)如圖,高山上原有一條
2、筆直的山路 BC,現(xiàn)在又新架設(shè)了一條 索道 AC,小李在山腳 B 處看索道 AC,發(fā)現(xiàn)張角ABC 120;從 B 處攀登 400 米到達(dá) D 處,回頭看索 道 AC,發(fā)現(xiàn)張角ADC150;從 D 處再攀登 800 米可到達(dá) C 處,則索道 AC 的長(zhǎng)為_米 【答案】400 13 【解析】在ABD 中,BD400 米,ABD120. 因?yàn)锳DC150,所以ADB30.所以 DAB18012030 30. 由正弦定理,可得 ,所以 ,得 BDsin DAB ADsin ABD 400sin 30 ADsin 120 AD400 (米 )在ADC 中, DC800 米,ADC150,由余弦定理得3
3、AC2AD 2CD 22AD CDcosADC(400 )2800 22400 800cos 150400 213,解得 AC4003 3 (米) 故索道 AC 的長(zhǎng)為 400 米13 13 【方法技巧】利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟 (1)分析理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖 (2)建模根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中,建立一個(gè)解斜 三角形的數(shù)學(xué)模型 (3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解 (4)檢驗(yàn)檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解 【變式探究】 (2020山東省淄博市八中模擬)如圖所示,位于 A 處
4、的信息中心獲悉:在其正東方向 相距 40 海里的 B 處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東 的方向沿直線 CB 前往 B 處救援,則 cos 的值為_ 【答案】 2114 【解析】在ABC 中,AB40,AC 20,BAC120, 由余弦定理得 BC2AB 2AC 22ABAC cos 1202 800,得 BC20 .7 由正弦定理,得 ,即 sinACB sinBAC . ABsin ACB BCsin BAC ABBC 217 由BAC120,知ACB 為銳角,則 cosACB . 277 由 ACB30
5、 ,得 cos cos(ACB 30)cosACBcos 30sin ACBsin 30 . 2114 高頻考點(diǎn)二平面幾何中的解三角形問(wèn)題 例 【2020全國(guó)卷】如圖,在三棱錐 PABC 的平面展開圖中, AC=1, ,AB AC ,ABAD,CAE =30,則 cosFCB=_.3ABD 【答案】 14 【解析】 , , ,ABC31AC 由勾股定理得 , 2 同理得 , ,6D6FD 在 中, , , ,ACE 13AE30CAE 由余弦定理得 , 22 3cos121 ,1F 在BCF 中, , , ,2BC6FC 由余弦定理得 . 22146cosBF 【變式探究】 (2020江西省貴
6、溪市一中模擬)如圖,在平面四邊形 ABCD 中, ABC ,ABAD,AB1. 34 (1)若 AC ,求 ABC 的面積;5 (2)若ADC ,CD4,求 sinCA D. 6 【解析】(1)在ABC 中,由余弦定理得, AC2AB 2BC 22ABBCcosABC, 即 51BC 2 BC,解得 BC ,2 2 所以ABC 的面積 SABC ABBCsinABC 1 . 12 12 2 22 12 (2)設(shè)CAD ,在 ACD 中,由正弦定理得 ,即 , ACsin ADC CDsin CAD ACsin 6 4sin 在ABC 中,BAC ,BCA ( ) , 2 34 2 4 由正弦定
7、理得 , ACsin ABC ABsin BCA 即 , AC sin34 1 sin( 4) 兩式相除,得 , sin34 sin 6 4sin( 4) sin 即 4( sin cos ) sin ,整理得 sin 2cos . 22 22 2 又因?yàn)?sin2 cos21, 所以 sin ,即 sinCAD . 255 255 【方法技巧】 與平面圖形有關(guān)的解三角形問(wèn)題的關(guān)鍵及思路 求解平面圖形中的計(jì)算問(wèn)題,關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問(wèn)題的類型,然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中,利用 正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系 具體解題思路如下: (1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形,然后在各個(gè)三角
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