《最全的遞推數列求通項公式方法(總24頁).doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《最全的遞推數列求通項公式方法(總24頁).doc（24頁珍藏版）》請在匯文網上搜索。

1、高考遞推數列題型分類歸納解析 各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。本文總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。類型1 解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知數列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，變式:（2004，全國I，個理22本小題滿分14分）已知數列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項公式.解：，即， 將以上k個式子相加，得將代入

2、，得，。經檢驗也適合，類型2 解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知數列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例:已知， ，求。解： 。變式:（2004，全國I,理15）已知數列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項 解：由已知，得，用此式減去已知式，得當時，即，又，將以上n個式子相乘，得類型3 （其中p，q均為常數，）。解法（待定系數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。例:已知數列中，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.變式:（2006，重

3、慶,文,14）在數列中，若，則該數列的通項_（key:）變式:（2006. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數列滿足（I）求數列的通項公式；（II）若數列bn滿足證明：數列bn是等差數列；（）證明：（I）解：是以為首項，2為公比的等比數列 即（II）證法一：，得即，得即是等差數列 證法二：同證法一，得令得設下面用數學歸納法證明（1）當時，等式成立 （2）假設當時，那么這就是說，當時，等式也成立 根據（1）和（2），可知對任何都成立 是等差數列 （III）證明：變式:遞推式：。解法：只需構造數列，消去帶來的差異類型4 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。解法：一般

4、地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定系數法解決。例:已知數列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以變式:（2006，全國I,理22,本小題滿分12分）設數列的前項的和，（）求首項與通項；（）設，證明：解：（I）當時，；當時，即，利用（其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數）的方法，解之得：()將代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 0 ， anan1=5 (n2) 當a1=3時，a3=13，a15=73 a1， a3

5、，a15不成等比數列a13;當a1=2時， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 變式: (2005,江西,文,22本小題滿分14分）已知數列an的前n項和Sn滿足SnSn2=3求數列an的通項公式.解：，兩邊同乘以，可得令 又，。類型7 解法：這種類型一般利用待定系數法構造等比數列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數列。例:設數列：，求.解：設，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得說明：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉化為求之.變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數列中

6、，在直線y=x上，其中n=1,2,3 ()令()求數列()設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出 若不存在,則說明理由 解：（I）由已知得 又是以為首項，以為公比的等比數列 （II）由（I）知，將以上各式相加得： （III）解法一：存在，使數列是等差數列 數列是等差數列的充要條件是、是常數即又當且僅當，即時，數列為等差數列 解法二：存在，使數列是等差數列 由（I）、（II）知，又當且僅當時，數列是等差數列 類型8 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數后轉化為，再利用待定系數法求解。例：已知數列中，求數列解：由兩邊取對數得，令，則，再利用待定系數法解得：。變式:（2005，

7、江西,理,21本小題滿分12分）已知數列（1）證明（2）求數列的通項公式an.解：用數學歸納法并結合函數的單調性證明：（1）方法一 用數學歸納法證明：1當n=1時， ，命題正確.2假設n=k時有 則 而又時命題正確.由1、2知，對一切nN時有方法二：用數學歸納法證明：1當n=1時，； 2假設n=k時有成立， 令，在0，2上單調遞增，所以由假設有：即也即當n=k+1時 成立，所以對一切 （2）解法一：所以,又bn=1，所以解法二：由（I）知，兩邊取以2為底的對數，令,則或變式:（2006,山東,理,22,本小題滿分14分）已知a1=2，點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上，其中

8、=1，2，3，（1） 證明數列l(wèi)g(1+an)是等比數列；（2） 設Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數列an的通項；記bn=，求bn數列的前項和Sn，并證明Sn+=1 解：（）由已知，兩邊取對數得，即是公比為2的等比數列 （）由（）知 （*）=由（*）式得（）， ，又，又， 類型9 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數后換元轉化為。例：已知數列an滿足：，求數列an的通項公式。解：取倒數：是等差數列，變式:（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）已知數列an滿足：a1，且an（1） 求數列an的通項公式；（2） 證明：對于一切正整數n，不等式a1a2an2n！解：（

9、1）將條件變?yōu)椋?，因此1為一個等比數列，其首項為1，公比，從而1，據此得an（n1）1（2）證：據1得，a1a2an為證a1a2an2顯然，左端每個因式都是正數，先證明，對每個nN*，有1（）3用數學歸納法證明3式：（i） n1時，3式顯然成立，（ii） 設nk時，3式成立，即1（）則當nk1時，1（）（）1（）（）1（）即當nk1時，3式也成立 故對一切nN*，3式都成立 利用3得，1（）11故2式成立，從而結論成立 類型10 解法：如果數列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數列。例：已知數列滿足性質：對于且求的通項公式. 解: 數列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有即例：已知數列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)對于都有(2) 令，得.故數列從第5項開始都不存在，當4，時，.(3)令則對于(4)、顯然當時，數列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數列是存在的，當時，則有令則