第三節(jié)一、三重積分概念三重積分概念 二、三重積分計算二、三重積分計算機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三重積分 第九章 第1頁一、三重積分概念一、三重積分概念 類似二重積分處理問題思想,采取 引例引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻物質(zhì),求分布在 內(nèi)物質(zhì)可得“大化小大化小,常代變常代變,近似和近似和,求極限求極限”處理方法處理方法:質(zhì)量 M.密度函數(shù)為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁定義定義.設(shè)存在,稱為體積元素體積元素,若對 作任意分割任意分割:任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)在上三重積分三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分性質(zhì)與二重積分相同.性質(zhì)性質(zhì):比如 以下“乘中值定理中值定理.在有界閉域 上連續(xù),則存在使得V 為 體積,積和式”極限記作記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁二、三重積分計算二、三重積分計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法方法1.投影法(“先一后二”)方法方法2.截面法(“先二后一”)方法方法3.三次積分法 先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 經(jīng)過計算該物體質(zhì)量引出以下各計算最終,推廣到普通可積函數(shù)積分計算.密度函數(shù),方法:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)該物體質(zhì)量為細(xì)長柱體微元質(zhì)量為微元線密度記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)為底,d z 為高柱形薄片質(zhì)量為該物體質(zhì)量為面密度記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁投影法方法方法3.三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號時,因為均為非負(fù)函數(shù)依據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹方法計算.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁小結(jié)小結(jié):三重積分計算方法三重積分計算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.“先二后一先二后一”方法方法3.“三次積分三次積分”詳細(xì)計算時應(yīng)依據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域特點靈活選擇.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁其中 為三個坐標(biāo)例例1.計算三重積分所圍成閉區(qū)域.解解:面及平面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁例例2.計算三重積分解解:用用“先二后一先二后一”機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁2.利用柱坐標(biāo)計算三重積分利用柱坐標(biāo)計算三重積分 就稱為點M 柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁如圖所表示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為所以其中適用范圍適用范圍:1)積分域積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單方程簡單;2)被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量相互分離變量相互分離.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁其中為由例例3.計算三重積分所圍解解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁例例4.計算三重積分解解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中由拋物面原式=機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁3.利用球坐標(biāo)計算三重積分利用球坐標(biāo)計算三重積分 就稱為點M 球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁如圖所表示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為所以有其中適用范圍適用范圍:1)積分域積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單方程簡單;2)被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量相互分離變量相互分離.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁例例5.計算三重積分解解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中 與球面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁例例6.求曲面所圍立體體積.解解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于 xoz 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡練,或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明說明:三重積分也有類似二重積分換元積分公式換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁1.將用三次積分表示,其中由所提醒提醒:思索與練習(xí)思索與練習(xí)六個平面圍成,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁2.設(shè)計算提醒提醒:利用對稱性原式=奇函數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁3.設(shè)由錐面和球面所圍成,計算提醒提醒:利用對稱性用球坐標(biāo) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁作業(yè)作業(yè)P106 1(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁備用題備用題 1.計算所圍成.其中 由分析分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!采取“三次積分”很好.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁所圍,故可 思索思索:若被積函數(shù)為 f(y)時,怎樣計算簡便?表為 解解:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁2.計算其中解解:利用對稱性機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁