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1、題型專項(xiàng)題型專項(xiàng)(八八)與切線有關(guān)的證明與計(jì)算與切線有關(guān)的證明與計(jì)算類型 1與全等三角形有關(guān)1(2016梧州)如圖，過O 上的兩點(diǎn) A，B 分別作切線，交于 BO，AO 的延長線于點(diǎn)C，D，連接 CD，交O 于點(diǎn) E，F(xiàn)，過圓心 O 作 OMCD，垂足為點(diǎn) M.求證：(1)ACOBDO；(2)CEDF.證明：(1)AC，BD 分別是O 的切線，AB90.又AOBO，AOCBOD，ACOBDO.(2)ACOBDO，OCOD.又OMCD，CMDM.又OMEF，點(diǎn) O 是圓心，EMFM.CMEMDMFM.CEDF.2(2016玉林模擬)如圖，AB 是O 的直徑，BAC60，P 是 OB 上一點(diǎn)，過

2、P 作AB 的垂線與 AC 的延長線交于點(diǎn) Q，過點(diǎn) C 的切線 CD 交 PQ 于點(diǎn) D，連接 OC.(1)求證：CDQ 是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求 BPPO 的值解：(1)證明：由已知得ACB90，ABC30.Q30，BCOABC30.CD 是O 的切線，CO 是半徑，CDCO.DCQBCO30.DCQQ.故CDQ 是等腰三角形(2)設(shè)O 的半徑為 1，則 AB2，OC1，BC.3等腰三角形 CDQ 與等腰三角形 COB 全等，CQCB.3AQACCQ1.3AP AQ.121 32BPABAP.3 32POAPAO.312BPPO.33(2016柳州)如圖，AB 為ABC 外

3、接圓O 的直徑，點(diǎn) P 是線段 CA 的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn) E 在弧上且滿足 PE2PAPC，連接 CE，AE，OE 交 CA 于點(diǎn) D.(1)求證：PAEPEC；(2)求證：PE 為O 的切線；(3)若B30，AP AC，求證：DODP.12證明：(1)PE2PAPC，.PEPCPAPE又APEEPC，PAEPEC.(2)PAEPEC，PEAPCE.PCE AOE，12PEA AOE.OAOE，12OAEOEA.AOEOEAOAE180，AOE2OEA180，即 2PEA2OEA180.PEAOEA90.PE 為O 的切線(3)設(shè)O 的半徑為 r，則 AB2r.B30，PCB90，ACr，BC

4、r.3過點(diǎn) O 作 OFAC 于點(diǎn) F，OFr.AP AC，3212AP.PE2PAPC，PEr.r232在ODF 與PDE 中，ODFPDE，OFDPED，OFPE，)ODFPDE.DODP.類型 2與相似三角形有關(guān)4(2016泰州)如圖，在ABC 中，ACB90，在 D 為 AB 上一點(diǎn)，以 CD 為直徑的O 交 BC 于點(diǎn) E，連接 AE 交 CD 于點(diǎn) P，交O 于點(diǎn) F，連接 DF，CAEADF.(1)判斷 AB 與O 的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若 PFPC12，AF5，求 CP 的長解：(1)AB 是O 切線理由：ACB90，CAECEA90.CAEADF，CDFCEA，ADF

5、CDF90.AB 是O 切線(2)連接 CF.ADFCDF90，PCFCDF90，ADFPCF.PCFPAC.又CPFAPC，PCFPAC.PCPAPFPCPC2PFPA.設(shè) PFa，則 PC2a.4a2a(a5)a.53PC2a.1035(2015北海)如圖，AB，CD 為O 的直徑，弦 AECD，連接 BE 交 CD 于點(diǎn) F，過點(diǎn)E 作直線 EP 與 CD 的延長線交于點(diǎn) P，使PEDC.(1)求證：PE 是O 的切線；(2)求證：ED 平分BEP；(3)若O 的半徑為 5，CF2EF，求 PD 的長解：(1)證明：連接 OE.CD 是圓 O 的直徑，CED90.OCOE，COEC.又P

6、EDC，PEDOEC.PEDOEDOECOED90，即OEP90.OEEP.又點(diǎn) E 在圓上，PE 是O 的切線(2)證明：AB，CD 為O 的直徑，AEBCED90.AECDEB(同角的余角相等)又PEDC，AECD，PEDDEB，即 ED 平分BEP.(3)設(shè) EFx，則 CF2x.O 的半徑為 5，OF2x5.在 RtOEF 中，OE2EF2OF2，即 52x2(2x5)2，解得 x4，EF4.BE2EF8，CF2EF8.DFCDCF1082.AB 為O 的直徑，AEB90.AB10，BE8，AE6.BEPA，EFPAEB90，EFPAEB.，即.PFBEEFAEPF846PF.163P

7、DPFDF2.1631036(2014桂林)如圖，ABC 為O 的內(nèi)接三角形，P 為 BC 延長線上一點(diǎn)，PACB，AD 為O 的直徑，過點(diǎn) C 作 CGAD 于點(diǎn) E，交 AB 于點(diǎn) F，交O 于點(diǎn)G.(1)判斷直線 PA 與O 的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證：AG2AFAB；(3)若O 的直徑為 10，AC2，AB4，求AFG 的面積55解：(1)PA 與O 相切理由：連接 CD.AD 為O 的直徑，ACD90.DCAD90.BD，PACB，PACD.PACCAD90，即 DAPA.點(diǎn) A 在圓上，PA 與O 相切(2)證明：連接 BG.AD 為O 的直徑，CGAD，.AGFABG.A

8、C AG GAFBAG，AGFABG.AGABAFAG.AG2AFAB.(3)連接 BD.AD 是直徑，ABD90.AG2AFAB，AGAC2，AB4，55AF.AG2AB5CGAD，AEFABD90.EAFBAD，AEFABD.，即，解得 AE2.AEABAFADAE4 5510EF1.AF2AE2EG4，AG2AE2FGEGEF413.SAFG FGAE 323.1212類型 3與銳角三角函數(shù)有關(guān)7(2014梧州)如圖，已知O 是以 BC 為直徑的ABC 的外接圓，OPAC，且與 BC 的垂線交于點(diǎn) P，OP 交 AB 于點(diǎn) D，BC，PA 的延長線交于點(diǎn) E.(1)求證：PA 是O 的切

9、線；(2)若 sinE，PA6，求 AC 的長35解：(1)證明：連接 OA.ACOP，AOPOAC，BOPOCA.OAOC，OCAOAC.AOPBOP.又OAOB，OPOP，AOPBOP.OAPOBP.BPCB，OAPOBP90.OAPA.PA 是O 的切線(2)PBCB，PB 是O 的切線又PA 是O 的切線，PAPB6.又sinE，AO3.PBEPAOEO35在 RtOPB 中，OP3.62325BC 為O 直徑，CAB90.CABOBP90，OCABOP.ACBBOP.ACBOCBOPAC.CBBOOP183 56 558(2015來賓)已知O 是以 AB 為直徑的ABC 的外接圓，O

10、DBC 交O 于點(diǎn) D，交AC 于點(diǎn) E，連接 AD，BD，BD 交 AC 于點(diǎn) F.(1)求證：BD 平分ABC；(2)延長 AC 到點(diǎn) P，使 PFPB，求證：PB 是O 的切線；(3)如果 AB10，cosABC，求 AD.35解：(1)證明：ODBC，ODBCBD.OBOD，OBDODB.CBDOBD.BD 平分ABC.(2)證明：O 是以 AB 為直徑的ABC 的外接圓，ACB90.CFBCBF90.PFPB，PBFCFB.由(1)知OBDCBF，PBFOBD90.OBP90.PB 是O 的切線(3)在 RtABC 中，ACB90，AB10，cosABC.BCABBC1035BC6，

11、AC8.AB2BC2ODBC，AOEABC，AEDOEC180ACB90.，.AEACOEBCAOABAE8OE6510AE4，OE3.DEODOE532.AD2.AE2DE2422259(2016柳州模擬)如圖，已知：AC 是O 的直徑，PAAC，連接 OP，弦 CBOP，直線 PB 交直線 AC 于點(diǎn) D，BD2PA.(1)證明：直線 PB 是O 的切線；(2)探究線段 PO 與線段 BC 之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)求 sinOPA 的值解：(1)證明：連接 OB.BCOP，OBOC，BCOPOA，CBOPOB，BCOCBO.POAPOB.又POPO，OBOA，POBPOA.PBO

12、PAO90.PB 是O 的切線(2)2PO3BC.(寫 PO BC 亦可)32證明：POBPOA，PBPA.BD2PA，BD2PB.BCPO，DBCDPO.2PO3BC.BCPOBDPD23(3)CBOP，DBCDPO.，即 DC OD.DCDOBDPD2323OC OD.DC2OC.13設(shè) OAx，PAy.則 OD3x，OBx，BD2y.在 RtOBD 中，由勾股定理得(3x)2x2(2y)2，即 2x2y2.x0，y0，yx，OPx.2x2y23sinOPA.OAOPx3x1333類型 4與特殊四邊形有關(guān)10(2016玉林)如圖，AB 是O 的直徑，點(diǎn) C，D 在圓上，且四邊形 AOCD

13、是平行四邊形，過點(diǎn) D 作O 的切線，分別交 OA 延長線與 OC 延長線于點(diǎn) E，F(xiàn)，連接 BF.(1)求證：BF 是O 的切線；(2)已知圓的半徑為 1，求 EF 的長解：(1)證明：連接 OD.EF 為O 的切線，ODF90.四邊形 AOCD 為平行四邊形，AODC，AODC.又DOOCOA，DOOCDC.DOC 為等邊三角形DOCODC60.DCAO，AODODC60.BOF180CODAOD60.在DOF 和BCF 中，DOBO，DOFBOF，OFOF，)DOFBOF.ODFOBF90.BF 是O 的切線(2)DOF60，ODF90，OFD30.BOF60，BOFCFDE，EOFD3

14、0.OFOE.又ODEF，DEDF.在 RtODF 中，OFD30.OF2OD.DF.OF2OD222123EF2DF2.311(2016寧波)如圖，已知O 的直徑 AB10，弦 AC6，BAC 的平分線交O 于點(diǎn)D，過點(diǎn) D 作 DEAC 交 AC 的延長線于點(diǎn) E.(1)求證：DE 是O 的切線；(2)求 DE 的長解：(1)證明：連接 OD.AD 平分BAC，DAEDAB.OAOD，ODADAO.ODADAE.ODAE.DEAC，ODDE.DE 是O 切線(2)過點(diǎn) O 作 OFAC 于點(diǎn) F.AFCF3.OF4.OA2AF25232OFEDEFODE90，四邊形 OFED 是矩形DEO

15、F4.12(2015桂林)如圖，四邊形 ABCD 是O 的內(nèi)接正方形，AB4，PC，PD 是O 的兩條切線，C，D 為切點(diǎn)(1)如圖 1，求O 的半徑；(2)如圖 1，若點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn)，連接 PE，求 PE 的長度；(3)如圖 2，若點(diǎn) M 是 BC 邊上任意一點(diǎn)(不含 B，C)，以點(diǎn) M 為直角頂點(diǎn)，在 BC 的上方作AMN90，交直線 CP 于點(diǎn) N，求證：AMMN.解：(1)連接 OD，OC.PC，PD 是O 的兩條切線，C，D 為切點(diǎn)，ODPOCP90.四邊形 ABCD 是O 的內(nèi)接正方形，DOC90，ODOC.四邊形 DOCP 是正方形AB4，ODCOCD45，DOCODCsin4542.222(2)連接 EO，OP.點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn)，OEBC，OCE45，則EOP90.EOEC2，OPCO4.2PE2.OE2OP25(3)證明：在 AB 上截取 BFBM.ABBC，BFBM，AFMC，BFMBMF45.AMN90，AMFNMC45，F(xiàn)AMAMF45.FAMNMC.由(1)得 PDPC，DPC90，DCP45.MCN135.AFM180BFM135，在AFM 和MCN 中，F(xiàn)AMCMN，AFMC，AFMMCN，)AFMMCN(ASA)AMMN.