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1、題型專項(xiàng)(八)與切線有關(guān)的證明與計(jì)算類型1與全等三角形有關(guān)1(2016梧州)如圖，過(guò)O上的兩點(diǎn)A，B分別作切線，交于BO，AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，D，連接CD，交O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)圓心O作OMCD，垂足為點(diǎn)M.求證：(1)ACOBDO；(2)CEDF. 證明：(1)AC，BD分別是O的切線，AB90.又AOBO，AOCBOD，ACOBDO.(2)ACOBDO，OCOD.又OMCD，CMDM.又OMEF，點(diǎn)O是圓心，EMFM.CMEMDMFM.CEDF.2(2016玉林模擬)如圖，AB是O的直徑，BAC60，P是OB上一點(diǎn)，過(guò)P作AB的垂線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C的切線CD交PQ于點(diǎn)D，連接OC

2、.(1)求證：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值解：(1)證明：由已知得ACB90，ABC30.Q30，BCOABC30.CD是O的切線，CO是半徑，CDCO.DCQBCO30.DCQQ.故CDQ是等腰三角形(2)設(shè)O的半徑為1，則AB2，OC1，BC.等腰三角形CDQ與等腰三角形COB全等，CQCB.AQACCQ1.APAQ.BPABAP.POAPAO.BPPO.3(2016柳州)如圖，AB為ABC外接圓O的直徑，點(diǎn)P是線段CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在弧上且滿足PE2PAPC，連接CE，AE，OE交CA于點(diǎn)D.(1)求證：PAEPEC；(2)求證：PE為O的切線；(3)

3、若B30，APAC，求證：DODP.證明：(1)PE2PAPC，.又APEEPC，PAEPEC.(2)PAEPEC，PEAPCE.PCEAOE，PEAAOE.OAOE，OAEOEA.AOEOEAOAE180，AOE2OEA180，即2PEA2OEA180.PEAOEA90.PE為O的切線(3)設(shè)O的半徑為r，則AB2r.B30，PCB90，ACr，BCr.過(guò)點(diǎn)O作OFAC于點(diǎn)F，OFr.APAC，AP.PE2PAPC，PEr.在ODF與PDE中，ODFPDE.DODP.類型2與相似三角形有關(guān)4(2016泰州)如圖，在ABC中，ACB90，在D為AB上一點(diǎn)，以CD為直徑的O交BC于點(diǎn)E，連接AE

4、交CD于點(diǎn)P，交O于點(diǎn)F，連接DF，CAEADF.(1)判斷AB與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若PFPC12，AF5，求CP的長(zhǎng)解：(1)AB是O切線理由：ACB90，CAECEA90.CAEADF，CDFCEA，ADFCDF90.AB是O切線(2)連接CF.ADFCDF90，PCFCDF90，ADFPCF.PCFPAC.又CPFAPC，PCFPAC.PC2PFPA.設(shè)PFa，則PC2a.4a2a(a5)a.PC2a.5(2015北海)如圖，AB，CD為O的直徑，弦AECD，連接BE交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作直線EP與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，使PEDC.(1)求證：PE是O的切線；(2)求證：E

5、D平分BEP；(3)若O的半徑為5，CF2EF，求PD的長(zhǎng)解：(1)證明：連接OE.CD是圓O的直徑，CED90.OCOE，COEC.又PEDC，PEDOEC.PEDOEDOECOED90，即OEP90.OEEP.又點(diǎn)E在圓上，PE是O的切線(2)證明：AB，CD為O的直徑，AEBCED90.AECDEB(同角的余角相等)又PEDC，AECD，PEDDEB，即ED平分BEP.(3)設(shè)EFx，則CF2x.O的半徑為5，OF2x5.在RtOEF中，OE2EF2OF2，即52x2(2x5)2，解得x4，EF4.BE2EF8，CF2EF8.DFCDCF1082.AB為O的直徑，AEB90.AB10，B

6、E8，AE6.BEPA，EFPAEB90，EFPAEB.，即.PF.PDPFDF2.6(2014桂林)如圖，ABC為O的內(nèi)接三角形，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PACB，AD為O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作CGAD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，交O于點(diǎn)G.(1)判斷直線PA與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：AG2AFAB；(3)若O的直徑為10，AC2，AB4，求AFG的面積解：(1)PA與O相切理由：連接CD.AD為O的直徑，ACD90.DCAD90.BD，PACB，PACD.PACCAD90，即DAPA.點(diǎn)A在圓上，PA與O相切(2)證明：連接BG.AD為O的直徑，CGAD，.AGFABG.GAFBAG，AG

7、FABG.AGABAFAG.AG2AFAB.(3)連接BD.AD是直徑，ABD90.AG2AFAB，AGAC2，AB4，AF.CGAD，AEFABD90.EAFBAD，AEFABD.，即，解得AE2.EF1.EG4，F(xiàn)GEGEF413.SAFGFGAE323.類型3與銳角三角函數(shù)有關(guān)7(2014梧州)如圖，已知O是以BC為直徑的ABC的外接圓，OPAC，且與BC的垂線交于點(diǎn)P，OP交AB于點(diǎn)D，BC，PA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.(1)求證：PA是O的切線；(2)若sinE，PA6，求AC的長(zhǎng)解：(1)證明：連接OA.ACOP，AOPOAC，BOPOCA.OAOC，OCAOAC.AOPBOP.又OAO

8、B，OPOP，AOPBOP.OAPOBP.BPCB，OAPOBP90.OAPA.PA是O的切線(2)PBCB，PB是O的切線又PA是O的切線，PAPB6.又sinE，AO3.在RtOPB中，OP3.BC為O直徑，CAB90.CABOBP90，OCABOP.ACBBOP.AC.8(2015來(lái)賓)已知O是以AB為直徑的ABC的外接圓，ODBC交O于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD，BD，BD交AC于點(diǎn)F.(1)求證：BD平分ABC；(2)延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P，使PFPB，求證：PB是O的切線；(3)如果AB10，cosABC，求AD.解：(1)證明：ODBC，ODBCBD.OBOD，OBDODB.CBDOB

9、D.BD平分ABC.(2)證明：O是以AB為直徑的ABC的外接圓，ACB90.CFBCBF90.PFPB，PBFCFB.由(1)知OBDCBF，PBFOBD90.OBP90.PB是O的切線(3)在RtABC中，ACB90，AB10，cosABC.BC6，AC8.ODBC，AOEABC，AEDOEC180ACB90.，.AE4，OE3.DEODOE532.AD2.9(2016柳州模擬)如圖，已知：AC是O的直徑，PAAC，連接OP，弦CBOP，直線PB交直線AC于點(diǎn)D，BD2PA.(1)證明：直線PB是O的切線；(2)探究線段PO與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)求sinOPA的值解：

10、(1)證明：連接OB.BCOP，OBOC，BCOPOA，CBOPOB，BCOCBO.POAPOB.又POPO，OBOA，POBPOA.PBOPAO90.PB是O的切線(2)2PO3BC.(寫(xiě)POBC亦可)證明：POBPOA，PBPA.BD2PA，BD2PB.BCPO，DBCDPO.2PO3BC.(3)CBOP，DBCDPO.，即DCOD.OCOD.DC2OC.設(shè)OAx，PAy.則OD3x，OBx，BD2y.在RtOBD中，由勾股定理得(3x)2x2(2y)2，即2x2y2.x0，y0，yx，OPx.sinOPA.類型4與特殊四邊形有關(guān)10(2016玉林)如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C，D在圓上，且

11、四邊形AOCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)D作O的切線，分別交OA延長(zhǎng)線與OC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF.(1)求證：BF是O的切線；(2)已知圓的半徑為1，求EF的長(zhǎng)解：(1)證明：連接OD.EF為O的切線，ODF90.四邊形AOCD為平行四邊形，AODC，AODC.又DOOCOA，DOOCDC.DOC為等邊三角形DOCODC60.DCAO，AODODC60.BOF180CODAOD60.在DOF和BCF中，DOFBOF.ODFOBF90.BF是O的切線(2)DOF60，ODF90，OFD30.BOF60，BOFCFDE，EOFD30.OFOE.又ODEF，DEDF.在RtODF中，OFD30.OF2OD.DF.EF2DF2.11(2016寧波)如圖，已知O的直徑AB10，弦AC6，BAC的平分線交O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DEAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：DE是O的切線；(2)求DE的長(zhǎng)解：(1)證明：連接OD.AD平分BAC，DAEDAB.OAOD，ODADAO.ODADAE.ODAE.