53定積分的換元法和分部積分法習(xí)題.doc
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1、1計算下列定積分:;【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應(yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從單調(diào)變化到時,從單調(diào)變化到,于是有 。;【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應(yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從1單調(diào)變化到16,于是有 。;【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應(yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從0單調(diào)變化到時,從1單調(diào)變化到0,于是有。;【解】被積式為,不屬于三角函數(shù)的基本可積形式,須進行變換。由于1是獨立的,易于分離出去獨立積分,于是問題成為對的積分,這是正、余弦的奇數(shù)次冪的積分,其一般方法是應(yīng)用第一換元法,先分出一次式以便作湊微分:,余下的,這樣得到的便為變量代
2、換做好了準(zhǔn)備。具體的變換方式有如下兩種:【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式?!窘夥ǘ繎?yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從0單調(diào)變化到時,從1單調(diào)變化到,于是有。;【解】這是正、余弦的偶次冪,其一般積分方法為,利用三角函數(shù)的半角公式:,將平方部份降次成為一次的余弦三角函數(shù):,使之可以換元成為基本可積形式:【解法一】應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式。【解法二】應(yīng)用定積分換元法令,則,當(dāng)從單調(diào)變化到時,從單調(diào)變化到,于是有。;【解】被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法:為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方,應(yīng)令,當(dāng)從0單調(diào)變化到時,從0單調(diào)變化到,且,使得。;
3、【解】被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法:為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方,應(yīng)令,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從單調(diào)變化到,且,使得。();【解】被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法:為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方,應(yīng)令,當(dāng)從0單調(diào)變化到時,從0單調(diào)變化到,且,使得。;【解】被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法:為使根號內(nèi)的變量在后的平方和轉(zhuǎn)換成完全平方,應(yīng)令,當(dāng)從1單調(diào)變化到時,從單調(diào)變化到,且使得這時,再令,當(dāng)從單調(diào)變化
4、到時,從單調(diào)變化到,又得。;【解】被積函數(shù)中含根號,且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法。由于根號內(nèi)的二次多項式并非為三角變換中的平方和或差的標(biāo)準(zhǔn)形式,需要先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形:,現(xiàn)在,根號內(nèi)的二次多項式成為了變量在后的平方差的形式了,因此可令,當(dāng)從0單調(diào)變化到1時,從單調(diào)變化到0,從而對應(yīng)從單調(diào)變化到0,而且,于是。;【解】被積函數(shù)中含根號,可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法:【解法一】令,當(dāng)從1單調(diào)變化到4時,從1單調(diào)變化到2,且由此得,于是?!窘夥ǘ繛楸阌诜e分,可使變換后的分母成為簡單變量,即令,當(dāng)從1單調(diào)變化到4時
5、,從2單調(diào)變化到3,且由此得,于是。;【解】被積函數(shù)中含根號,可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法:【解法一】令,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從單調(diào)變化到0,且由此得,于是。【解法二】為便于積分,可使變換后的分母成為簡單變量,即令,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從單調(diào)變化到,且由此得,于是。;【解】被積函數(shù)中含根號,可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等,應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法:令,當(dāng)從單調(diào)變化到1時,從3單調(diào)變化到1,且由此得,于是。;【解】由于,為含復(fù)合函數(shù)的積分,且微分部份僅與復(fù)合函數(shù)之中間變量的微分相差一個常數(shù)倍,可以應(yīng)用第一換元積分法:【解法一】應(yīng)用牛頓-
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