《2022屆高三二輪練習(xí)卷 數(shù)學(xué)（十二）空間向量與立體幾何 答案版.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022屆高三二輪練習(xí)卷 數(shù)學(xué)（十二）空間向量與立體幾何 答案版.docx（26頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、專題十二空間向量與立體幾何XXXXXXXXX1如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，則（ ）ABCD【答案】A【解析】連接BD，如圖，則，故選A2已知長(zhǎng)方體中，E是棱的中點(diǎn)，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且AP平面，則EP長(zhǎng)度為（ ）ABCD【答案】B【解析】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以直線DA，DC，為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，所以，則，所以，故選B3如圖，已知圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，為圓錐底面圓的直徑，是圓弧的中點(diǎn)，是母線的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】C【解析】連接、，因?yàn)闉閳A錐底

2、面圓的直徑，是圓弧的中點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，易知，則，所以，、，則，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選C4（多選）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)P，E分別為AB，的中點(diǎn)，點(diǎn)M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）A對(duì)任意的點(diǎn)N，一定存在點(diǎn)M，使得B向量，共面C異面直線PM和所成角的最小值為D存在點(diǎn)M，使得直線PM與平面所成角為【答案】BCD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，而，故，即，故，若，則，即，當(dāng)時(shí)，不存在，故當(dāng)為中點(diǎn)，不存在，使得，故A錯(cuò)誤；連接，則，由長(zhǎng)方體可得，故，故，即，共面，故B正確；，故，當(dāng)時(shí)，此時(shí)

3、；當(dāng)時(shí)，令，設(shè)，則，故，所以異面直線PM和所成角的范圍為，故直線PM和所成角的最小值為，故C正確；平面的法向量為，故，若直線PM與平面所成角為，則，故，所以或，故D正確，故選BCD5（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足，則下列選項(xiàng)正確的為（ ）A若，則二面角為B若，則三棱錐的體積為定值C若，且直線AP與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D若，則點(diǎn)P的軌跡與正方體表面交線的總長(zhǎng)度為【答案】BCD【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，平面，也即平面的法向量為，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)二面角為，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，則，即到平面也即平面的距離為定值，而三角形

4、的面積是定值，所以三棱錐的體積為定值，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，且，依題意直線與平面所成角為，所以，兩邊平方并化簡(jiǎn)得所以點(diǎn)的軌跡是線段，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，表示到的距離為定值，所以的軌跡是以為球心，半徑的球，注意到，所以球與正方形，正方形，正方形相交形成的軌跡是如下圖中的弧形，三段弧長(zhǎng)和為球與正方形，正方形，正方形相交形成的軌跡是如下圖中的弧形，三段弧長(zhǎng)和為，所以點(diǎn)P的軌跡與正方體表面交線的總長(zhǎng)度為，D選項(xiàng)正確，故選BCD6（多選）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（ ）A若，則B若為中點(diǎn)，則C若，則四棱錐外接球表面積為D直線與平面所成的角的余弦值的取值范圍

5、是【答案】ABD【解析】B選項(xiàng)，由于平面平面且交線為，所以平面，所以，所以，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，即，由于平面平面且交線為，所以平面，所以，而，即兩兩相互垂直，所以四棱錐外接球的直徑，所以外接球的表面積為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，三角形是等邊三角形，所以，所以，所以A選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成的角為，則，由于線面角的范圍是，所以，將代入上式并化簡(jiǎn)得，由于，所以，所以D選項(xiàng)正確，故選ABD7長(zhǎng)方體中，已知點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線，且，則點(diǎn)H到平面ABCD的距離為_【答案】【解析】在長(zhǎng)方體中，

6、以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，因點(diǎn)H，A，三點(diǎn)共線，令，點(diǎn)，則，又，則，解得，所以點(diǎn)到平面ABCD的距離為，故答案為8如圖，已知菱形，沿直線將翻折成，分別為的中點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，為線段上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），則與平面所成角的正弦值的最大值為_【答案】【解析】設(shè)頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕鐖D1，在平面中，為等邊三角形，所以平分，即，所以在中，解得，（舍），所以點(diǎn)為的中心，故三棱錐是棱長(zhǎng)為的正四面體，故如圖2，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，因?yàn)?，設(shè)與平面

7、所成角為，所以，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，與平面所成角的正弦值最大，最大值為，故答案為9如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面所成角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：因?yàn)槠矫?，四邊形為矩形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)平面的法向量為，由，取，可的，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為（2）解：設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，由圖可知，平面與平面所成角為銳角，因此，平面與平面所成角的余弦值為10如圖，已知圓柱的上，下底面圓心分別為是圓柱的軸截面，正方形A

8、BCD內(nèi)接于下底面圓Q，（1）當(dāng)k為何值時(shí)，點(diǎn)Q在平面PBC內(nèi)的射影恰好是PBC的重心；（2）若，當(dāng)平面PAD與平面PBC所成的銳二面角最大時(shí)，求該銳二面角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，則，又，所以平面，過(guò)作，交于，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，即是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影因?yàn)榍『檬堑闹匦?，所以，在中，所以，所以，即所以?dāng)時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好是的重心（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，作，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，即，取，得，設(shè)平面的法向量，則，即，取，得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，上式取得最小值，此時(shí)二面角最大，所以平面與平面所成銳二面角最大時(shí)，其余

9、弦值為11如圖，在直三棱柱中，是中點(diǎn)（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則有，得，令，則，所以可以取，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為（2）因?yàn)槠矫?，取平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，平面與平面夾角的余弦值12如圖，在四棱錐中，面ABCD，且，N為PD的中點(diǎn)（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且【解

10、析】（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，且平面，所以平面（2），設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且13如圖在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，是與的交點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：平面；（3）求直線與平面的距離【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）證明：法一：在直三棱柱中，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，所以，所以，所以，所以法二?/p>

11、連接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，則，因?yàn)椋悦?，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)?，所以四邊形為正方形，所以，因?yàn)?，所以面，因?yàn)槊妫苑ㄈ河萌咕€定理證明：連接，在直三棱柱中，有面，因?yàn)槊?，所以，又，則，因?yàn)椋悦?，所以在平面?nèi)的射影為，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因此根?jù)三垂線定理可知（2）證明：法一：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，所以，依題意可知為重心，則，可得，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，得，則平面的一個(gè)法向量為所以，則，因?yàn)槠矫?，所以平面法二：連接在正方形中，為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又為中點(diǎn)，所以四邊形是矩形，所以且，因?yàn)榍遥?，所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)?，平面，平面，平面，平面，所以平面平面，平面，所以平面?）法一：由（2）知平面的一個(gè)法向量，且平面，所以到平面的距離與到平面的距離相等，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，所以到平面的距離為法二：因?yàn)榉謩e為和中點(diǎn)，所以為的重心，所以，所以到平面的距離是到平面距離的，取中點(diǎn)，則，又，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離與到平面的距離相等設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，又，所以，所以到平面的距離是，所以到平面的距離為