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1、第七節(jié)直接證明與間接證明,1直接證明,推理論證,成立,證明的結(jié)論,充分條件,2.間接證明 反證法：假設(shè)原命題 _(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出_因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法,不成立,矛盾,1綜合法和分析法的區(qū)別和聯(lián)系是什么？ 【提示】綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是尋找它的必要條件分析法的特點(diǎn)：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”其逐步推理實(shí)際上是尋求它的充分條件在解決問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用,2反證法的關(guān)鍵是推出矛盾，所謂矛盾主要是指什么？ 【提示】反證法的關(guān)鍵是在正

2、確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等,1(人教A版教材習(xí)題改編)用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，應(yīng)假設(shè)() A三個(gè)內(nèi)角都不大于60 B三個(gè)內(nèi)角都大于60 C三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60 D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60 【答案】B,【答案】D,【答案】b,4定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)： 1*11，(n1)*1n*11，則n*1_ 【解析】由(n1)*1n*11，得 n*1(n1)*11(n2)*12 1*1(n1)1n1n. 【答案】n,定義在x0，1上的函數(shù)f(x)若x10，x20且x1x2

3、1，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)g(x)2x1(x0，1)是否為理想函數(shù)，如果是，請(qǐng)予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)理想函數(shù)的定義加以判定證明,【嘗試解答】g(x)2x1(x0，1)是理想函數(shù) 當(dāng)x0，1時(shí)，g(x)2x1是增函數(shù)， 201g(x)211，即0g(x)1， 則函數(shù)g(x)(x0，1)滿足條件(1)， 當(dāng)x10，x20，且x1x21時(shí)， f(x1x2)2x1x21， f(x1)f(x2)2x12x22， f(x1x2)f(x1)f(x2) 2x1x22x12x21,2x1(2x21)(2x21) (2x21)(2x11)，

4、x10，x20， 2x110，2x210， f(x1x2)f(x1)f(x2)0， 則f(x1x2)f(x1)f(x2)滿足條件(2) 故函數(shù)g(x)2x1(x0，1)是理想函數(shù),1綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性 2綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理,(2012湖南高考改編)已知函數(shù)f(x)rxxr(1r)，其中x0，r為有理數(shù) (1)若0r1，求函數(shù)f(x)的最小值 (2)試用(1)的結(jié)論證明命題：設(shè)a10，a20，b1，b2為正有理數(shù)，

5、若b1b21，則a1b1a2b2a1b1a2b2. 【解】(1)f(x)rrxr1r(1xr1)， 令f(x)0，得x1，,【思路點(diǎn)撥】從條件難以向結(jié)論轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)換角度從結(jié)論出發(fā)，尋找使結(jié)論成立的充分條件,1對(duì)于無(wú)理不等式，常用分析法證明通過(guò)反推，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵 2對(duì)于較復(fù)雜的不等式，通常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以證明，分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗姆较蛎鞔_，思路自然，而綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表述，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔,即證2a2acc20，即證(2ac)(ac)0. 2acab0，ac0，

6、 (2ac)(ac)0成立，原命題成立.,(2011安徽高考)設(shè)直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k220. (1)證明：l1與l2相交； (2)證明：l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2y21上 【思路點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)采用反證法；(2)求直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證,1當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，直用反證法來(lái)證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等 2用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須否定結(jié)論；(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理；(3)推導(dǎo)出

7、的矛盾必須是明顯的,已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列,綜合法與分析法的關(guān)系：分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件的關(guān)系，找到解題思路，再運(yùn)用綜合法證明；或兩種方法交叉使用,1.用分析法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論 2利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒(méi)有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的,反證法證明的關(guān)鍵：(1)準(zhǔn)確反設(shè)；(2)從否定

8、的結(jié)論正確推理；(3)得出矛盾,從近兩年高考試題看，綜合法、分析法是高考考查的熱點(diǎn)，主要考查考生的觀察、抽象概括、聯(lián)想等思維能力，同時(shí)也考查考生運(yùn)用綜合分析法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力多在知識(shí)的交匯處命題，如數(shù)列、立體幾何中的平行垂直、不等式、函數(shù)、解析幾何等都可能考查在具體求解時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想尋求解題思路,【解析】中，a2b2(ab)(ab)1，a，b為正實(shí)數(shù)，若ab1，則必有ab1，不合題意，故正確,【答案】,易錯(cuò)提示：(1)解題時(shí)不注意分析題目中條件與結(jié)論的差異之處，不能化異為同，從而導(dǎo)致無(wú)從下手或無(wú)的放矢 (2)忽視命題真假不定，而一味地證明其為真，導(dǎo)致事倍功半，甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤

9、,防范措施：(1)注意培養(yǎng)觀察能力，即觀察條件、結(jié)論，且能從數(shù)學(xué)的角度揭示其差異，如“高次低次”、“分式(根式)整式”、“多元一元”等，從而為我們的化歸轉(zhuǎn)化指明方向，奠定基礎(chǔ) (2)注意這類判斷命題真假的題目，其解法上既要規(guī)范，又要靈活當(dāng)判斷為真時(shí)，需嚴(yán)格地推理證明；而判斷為假時(shí)，只需舉一反例即可,1(2012江西高考改編)下列命題中，假命題為() A存在四邊相等的四邊形不是正方形 Bz1，z2C，z1z2為實(shí)數(shù)的充分必要條件是z1，z2互為共軛復(fù)數(shù) C若x，yR，且xy2，則x，y至少有一個(gè)大于1 D對(duì)于任意nN*，2n都是偶數(shù),【解析】選項(xiàng)B中，若z1z2為實(shí)數(shù)，則保證z1，z2虛部互為相反數(shù)即可，并不需要z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，如z11i，z22i.故B不對(duì) 【答案】B,