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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上矩陣可對(duì)角化的總結(jié)莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系02級(jí)1班 連涵生 摘要：主要討論n級(jí)方陣可對(duì)角化問題：（1）通過特征值 ，特征向量和若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形討論方陣可對(duì)角化的條件；（2）實(shí)n級(jí)對(duì)稱矩陣的可對(duì)角化討論；（3）幾個(gè)常見n 級(jí)方陣的可對(duì)角化討論。關(guān)鍵詞：n級(jí)方陣；可對(duì)角化；相似；特征值；特征向量；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣 說明：如果沒有具體指出是在哪一個(gè)數(shù)域上的n級(jí)方陣，都認(rèn)為是復(fù)數(shù)域上的。當(dāng)然如果它的特征多項(xiàng)式在某一數(shù)域上不能表成一次多項(xiàng)式的乘積的話，那么在此數(shù)域上它一定不能相似對(duì)角陣。只要適當(dāng)擴(kuò)大原本數(shù)域使得滿足以上條件就可以。復(fù)數(shù)域上一定滿足，因此這樣假設(shè)，就不用再去討論數(shù)

2、域。引言所謂矩陣可對(duì)角化指的是矩陣與對(duì)角陣相似，而說線性變換是可對(duì)角化的指的是這個(gè)線性變換在某一組基下是對(duì)角陣（或者說線性變換在一組基下的矩陣是可對(duì)角化的），同樣可以把問題歸到矩陣是否可對(duì)角化。本文主要是討論矩陣可對(duì)角化。定義1：設(shè)A，B是兩個(gè)n級(jí)方陣，如果存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，則稱B與A相似，記作AB。矩陣P稱為由A到B的相似變換矩陣。定義2：設(shè)A是一個(gè)n級(jí)方陣，如果有數(shù)和非零向量X，使AX=X則稱是矩陣A的特征值，X稱為A的對(duì)應(yīng)于的特征向量，稱為矩陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征子空間。定義3：設(shè)A是數(shù)域上一個(gè)n級(jí)方陣，若多項(xiàng)式，使則稱為矩陣A的零化多項(xiàng)式。定義4：數(shù)域上次數(shù)最低的首項(xiàng)為1

3、的以A為根的多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式。一、 首先從特征值，特征向量入手討論n級(jí)方陣可對(duì)角化的相關(guān)條件。定理1：一個(gè)n級(jí)方陣A可對(duì)角化的充要條件它有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。證明：必要性：由已知，存在可逆矩陣P，使即把矩陣P按列分塊，記每一列矩陣為 即 于是有=，即 于是有 。 由特征值，特征向量定義，表明P的每一列都是A的特征向量，因?yàn)镻是可逆的，因此是A的n個(gè)線性無關(guān)特征向量，其中為A的特征值。充分性：若A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量則有，其中是對(duì)應(yīng)于特征向量的A的特征值。以為列作矩陣，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以矩陣P是可逆的。由 = =則有 即A與對(duì)角矩陣相似從以上證明中可知：（1） 與矩陣A相似的對(duì)角

4、矩陣主對(duì)角線上的元素是A的特征值，而相似變換矩陣P的列是A的n個(gè)線性無關(guān)特征向量。（2） 在主對(duì)角線上的次序應(yīng)與其對(duì)應(yīng)的特征向量在P中的次序相對(duì)應(yīng)，如果的次序改變，那么在P中的次序也要作相應(yīng)的改變。但這時(shí)P 就不是原來的P了。因此相似變換矩陣不是唯一的。若不計(jì)的排列順序，則對(duì)角矩陣是唯一的，稱它為A的相似標(biāo)準(zhǔn)形。由相似是一種等價(jià)關(guān)系知：與A相似的矩陣都有相同的相似標(biāo)準(zhǔn)形。定理2：矩陣A的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。由此給出了一個(gè)推論：n級(jí)方陣可對(duì)角化的充分條件A有n個(gè)互不相同的特征值。證明：由定理1及定理2可得。但這個(gè)推論的逆不成立。例如：n級(jí)單位陣E，顯然它是可對(duì)角化的，但它的特征

5、值為1(n重根)。那我們要問若有重根時(shí)，要滿足什么條件才可對(duì)角化？定理3：階矩陣可對(duì)角化的充要條件是：的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的最大個(gè)數(shù)等于特征值的重?cái)?shù)(即的每個(gè)特征子空間的維數(shù)等于特征值的重?cái)?shù)) 這個(gè)定理又可以這樣敘述：矩陣的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于對(duì)應(yīng)子空間的(幾何)重?cái)?shù)。引理1：如果是矩陣的不同特征值，而 是屬于的線性無關(guān)的特征向量， 那么向量組 也線性無關(guān)。即：給出一個(gè)級(jí)矩陣，求出屬于每個(gè)特征值的線性無關(guān)向量，把它們合在一起也是線性無關(guān)的。引理2：設(shè)是 階矩陣的一個(gè)重特征值，對(duì)應(yīng)于的特征向量線性無關(guān)的最大個(gè)數(shù)為，則。 證明：反證法。設(shè) ， 由已知 。 (1) 線性無關(guān)。將 擴(kuò)

6、充為維向量空間的一組基： 其中 一般不是的特征向量，但 ，可用上述的一組基線性表示，即 其中 (2)用矩陣可表示為：(3)記 則是可逆的。因此上式可表為 根據(jù)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，得 (4)令是的次多項(xiàng)式，由(4)式知至少是的()重特征值。與為的重特征值，矛盾，所以。由上面的兩個(gè)引理作基礎(chǔ)，下證定理3：證明：不妨設(shè)其中又 。(在復(fù)數(shù)域中)充分性：由于對(duì)應(yīng)于的特征向量有個(gè)線性無關(guān)，又個(gè)特征值互異。由引理1知有個(gè)線形無關(guān)的特征向量，依據(jù)定理1，與對(duì)角陣相似。必要性：用反證法：設(shè)有一個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)的重?cái)?shù)為，則由引理2知，的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)小于，故不能對(duì)角化，

7、與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立。即的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的最大個(gè)數(shù)等于特征值的重?cái)?shù)。推論：級(jí)方陣可對(duì)角化的充要條件是對(duì)于的每一個(gè)特征根，有秩，其中是的重?cái)?shù)。證明：的解空間的維數(shù)等于特征值的重?cái)?shù)即維（由定理3知）。又維秩。所以，秩 成立。以上給出的可對(duì)角化的幾個(gè)條件都是以特征值，特征向量為基礎(chǔ)。其中條件1（也是定理1）是最基礎(chǔ)的，可以把它看作是矩陣可對(duì)角化的實(shí)質(zhì)。其它條件都是它的擴(kuò)展。下面我們用矩陣及若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形來討論矩陣可對(duì)角化。定理4：復(fù)數(shù)域上每一個(gè)階矩陣都與一個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似。這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去其中若當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣唯一決定的。它稱為的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。由相似是一個(gè)等價(jià)關(guān)系知，與

8、相似的矩陣都有相同的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。從這個(gè)意義上講，我們可以把級(jí)方陣劃分為以若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為代表元素的等價(jià)類。等價(jià)類中的每個(gè)元素是相似的。由若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的構(gòu)造知，它包含對(duì)角形矩陣為它的特殊情況。那么當(dāng)它滿足什么條件時(shí)，一個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是一個(gè)對(duì)角矩陣，也就是可對(duì)角化的條件。由于每個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)一個(gè)若當(dāng)塊，例如初等因子為，那它對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊為， 而若當(dāng)形矩陣是由這樣的若當(dāng)塊組成的。例： ， 所以如果每一個(gè)若當(dāng)塊都是1階，那么，這個(gè)若當(dāng)形矩陣J就成了對(duì)角陣，那么與之對(duì)應(yīng)的初等因子都是一次的。由上面討論給出矩陣可對(duì)角化的幾個(gè)條件：定理5：n級(jí)方陣可對(duì)角化的充要條件它的初等因子都是一次的。推論1：n級(jí)方陣可對(duì)角

9、化的充要條件它的不變因子無重根。推論2：n級(jí)方陣可對(duì)角化的充要條件它的最小多項(xiàng)式無重根。這三個(gè)充要條件充分利用了不變因子，初等因子及最小多項(xiàng)式之間的關(guān)系，但在具體的解題過程中很少直接去求不變因子和初等因子，一般情況下是通過求最小多項(xiàng)式來解題的。例：由最小多項(xiàng)式的定義知，對(duì)于任一個(gè)零化多項(xiàng)式都滿足 ，表示矩陣A的最小多項(xiàng)式。因此若無重根，則一定無重根。當(dāng)然這只是一種方法。由此給出推論3：n級(jí)方陣可對(duì)角化的充分條件是它的零化多項(xiàng)式無重根。由哈密爾頓凱萊定理知，特征多項(xiàng)式是一個(gè)零化多項(xiàng)式。推論4：n級(jí)方陣可對(duì)角化充分條件特征多項(xiàng)式無重根。以上討論的這些n級(jí)方陣可對(duì)角化的條件是相對(duì)比較常見到的。二、n

10、級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣的可對(duì)角化討論。前面我們討論了n級(jí)方陣可對(duì)角化條件，同時(shí)也看出不是任何矩陣都與對(duì)角陣相似，但實(shí)用中很重要的一類矩陣n級(jí)實(shí)對(duì)稱陣一定可對(duì)角化，而且對(duì)于任一個(gè)實(shí)對(duì)稱陣A，存在正交矩陣T，使T-1AT為對(duì)角陣。即n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣存在n個(gè)線性無關(guān)的正交特征向量。定理5：n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A，B，若A與B相似，則A與B合同。證：A與B相似，那么它們有相同的特征值，設(shè)為由A，B為n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣知，特征值全為實(shí)數(shù)，且存在正交矩陣P，Q，使，則 即 。由于正交矩陣的逆、乘積還是正交矩陣，因此為正交矩陣。則 且 即 A與B是合同的。一般情況下相似與合同是沒有什么關(guān)系，但是如果是實(shí)對(duì)稱陣的話，合同是包含相似

11、的。三、幾種常用矩陣的對(duì)角化問題討論1、非零冪零矩陣一定不可對(duì)角化。證：設(shè)非零冪零陣A，冪零指數(shù)為m。 1）A的特征值全為0。 設(shè)為A的特征值，是屬于的特征向量。即 ，則，又由知()，即A的特征值全為0。2）若可對(duì)角化，則存在可逆陣，使 與矛盾。綜上所述，非零冪零矩陣一定不可對(duì)角化。推論：冪零陣若可對(duì)角化，則它一定是零矩陣。2、對(duì)合矩陣一定可對(duì)角化。設(shè)為對(duì)合陣，則。方法1：若有個(gè)線性無關(guān)特征向量，由定理1命題成立。證：1）的特征值只有和設(shè)為的特征值，為屬于的特征向量。 ，又得，移項(xiàng)得 即。2）有個(gè)線性無關(guān)的特征向量由已知秩秩。對(duì)特征值，齊次線性方程組。有個(gè)無關(guān)特征向量。對(duì)特征值，齊次線性方程組

12、。有個(gè)無關(guān)特征向量。再因?yàn)閷儆诓煌卣髦堤卣飨蛄烤€性無關(guān)，所以，有個(gè)無關(guān)特征向量。從而可對(duì)角化。若秩，則的相似對(duì)角陣為方法二：利用最小多項(xiàng)式無重根。令，則為零化多項(xiàng)式。又無重根，由，知無重根，從而可對(duì)角化。又的特征值只有和。從而相似對(duì)角陣為其中維 ，表示特征值1的特征子空間。3、冪等矩陣一定可對(duì)角化。設(shè)冪等矩陣，滿足。冪等矩陣對(duì)角化討論與對(duì)合矩陣對(duì)角化討論類似，同樣可以用兩種方法進(jìn)行討論，且的特征值只有1和0，從而，它的相似對(duì)角陣為。其中秩。當(dāng)時(shí)，它相似對(duì)角陣為單位陣E，從而存在可逆陣，使，。也就是說，可逆冪等矩陣是單位矩陣。致謝首先，感謝系里給我們開設(shè)“高等代數(shù)選講”及“數(shù)學(xué)分析選講”這兩門

13、專業(yè)選修課。讓我們對(duì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程有了更進(jìn)一步的理解，更為我們有準(zhǔn)備考研的同學(xué)創(chuàng)造了良好的條件。在此，特別感謝（楊忠鵬）老師授課，使我們進(jìn)一步打好高等代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)一步理清高等代數(shù)的結(jié)構(gòu)。本文主要根據(jù)自己的理解從理論上總結(jié)有關(guān)矩陣可對(duì)角化問題，缺少實(shí)例應(yīng)用，而且還存在很多不足之處，望教師給予指出，我將努力更正。也向所有給予本論文關(guān)心，支持與提供寶貴意見的教師，同學(xué)表示衷心的感謝。參考文獻(xiàn)1高等代數(shù) 第二版 北京大學(xué) 高等教育出版社2高等代數(shù) 姚慕生編著 復(fù)旦大學(xué) 復(fù)旦大學(xué)出版社3高等代數(shù)張禾瑞、郝鈵新編 第四版 高等教育出版社4線性代數(shù) 居余馬等編 清華大學(xué)出版社5高等代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解滕加俊等編 陜西師范大學(xué)出版社專心-專注-專業(yè)