《2010年考研數(shù)學(xué)一真題及答案(共21頁).docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2010年考研數(shù)學(xué)一真題及答案(共21頁).docx（21頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2010年考研數(shù)學(xué)一真題一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。）(1) 極限limxx2(x-a)(x+b)x=(A)1 (B)e(C)ea-b (D)eb-a【考點(diǎn)】C。【解析】【方法一】這是一個(gè)“1”型極限limxx2(x-a)(x+b)x=limx1+a-bx+ab(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)a-bx+aba-bx+ab(x-a)(x+b)x=ea-b 【方法二】原式=limxexlnx2(x-a)(x+b)而limx xlnx2(x-a)(x+b)=limx xln(1+a-bx+ab(

2、x-a)(x+b) =limx xa-bx+ab(x-a)(x+b) (等價(jià)無窮小代換) =a-b則limxx2(x-a)(x+b)x=ea-b【方法三】對(duì)于“1”型極限可利用基本結(jié)論：若lim (x)=0, lim (x)=0,且lim xx=A則lim1+xx=eA,求極限由于limxxx=limxx2-(x-a)(x+b)(x-a)(x+b)x =limx(a-b)x2+abx(x-a)(x+b)=a-b則limxx2(x-a)(x+b)x=ea-b【方法四】limxx2x-ax+bx=limxx-ax+bx2-x =limx(1-ax)-xlimx1+bx-x=eae-b=ea-b 綜

3、上所述，本題正確答案是C?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算，兩個(gè)重要極限(2) 設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程Fyx,zx=0確定，其中F為可微函數(shù)，且f''20,則xzx+yzy= 。(A)x (B)z(C)-x (D)-z【答案】B?！窘馕觥恳?yàn)?zx=-Fx'Fz'=-F1'-yx2+F2'-zx2F2'1x=F1'yx+F2'zxF2',zy=-Fy'Fz'=-F1'1xF2'1x=-F1'F2' 所以xzx+yzy

4、=F1'y+F2'zF2'-yF1'F2'=F2'zF2'=z綜上所述，本題正確答案是(B)?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(3) 設(shè)m,n為正整數(shù)，則反常積分01mln2(1-x)nxdx的收斂性(A)僅與m的取值有關(guān) (B)僅與n的取值有關(guān)(C)與m,n的取值都有關(guān) (D)與m,n的取值都無關(guān)【答案】D。【解析】本題主要考察反常積分的斂散性，題中的被積函數(shù)分別在x0+和x1-時(shí)無界01mln2(1-x)nxdx=012mln2(1-x)nxdx+121mln2(1-x)nxdx 在反常積分012mln2(1-x

5、)nxdx中，被積函數(shù)只在x0+時(shí)無界。由于mln2(1-x)nx0，limx0+mln2(1-x)nx1nx=0已知反常積分0121nxdx收斂，則012mln2(1-x)nxdx也收斂。在反常積分121mln2(1-x)nxdx中，被積函數(shù)只在x1-時(shí)無界，由于mln2(1-x)nx0limx1-mln2(1-x)nx11-x=limx1-ln2m(1-x)(1-x)12=0 (洛必達(dá)法則)且反常積分121dx1-x收斂，所以121mln2(1-x)nxdx收斂綜上所述，無論m,n取任何正整數(shù)，反常積分01mln2(1-x)nxdx收斂。綜上所述，本題正確答案是D?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)

6、積分學(xué)反常積分(4) limni=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=(A)01dx0x1(1+x)(1+y2)dy (B) 01dx0x1(1+x)(1+y)dy(C)01dx011(1+x)(1+y)dy (D)01dx011(1+x)(1+y2)dy【答案】D?！窘馕觥恳?yàn)閘imni=1n j=1n n(n+i)(n2+j2)=limni=1n j=1n nn(1+in)n2(1+(jn)2) =limni=1n j=1n 1(1+in)(1+(jn)2)1n2 =01dx011(1+x)(1+y2)dy綜上所述，本題正確答案是C?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)二重積分與三重積分

7、的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用(5) 設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，E為m階單位矩陣，若AB=E,則(A)秩rA=m,秩rB=m (B)秩rA=m,秩rB=n(C)秩rA=n,秩rB=m (D)秩rA=n,秩rB=n【答案】A?！窘馕觥恳?yàn)锳B=E為m階單位矩陣，知rAB=m又因 rABmin(rA,r(B),故mrA,mr(B)另一方面，A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，又有rAm,r(B)m可得秩rA=m,秩rB=m綜上所述，本題正確答案是A。【考點(diǎn)】線性代數(shù)矩陣矩陣的秩(6) 設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2+A=0，若A的秩為3，則A相似于(A)1 1

8、1 0 (B) 1 1 -1 0(C)1 -1 -1 0 (D)-1 -1 -1 0【答案】D?！窘馕觥坑葾=,0知An=n，那么對(duì)于A2+A=0推出來(2+)=02+=0所以A的特征值只能是0、-1再由A是實(shí)對(duì)稱矩陣必有A，而是A的特征值，那么由rA=3,可知D正確綜上所述，本題正確答案是D。【考點(diǎn)】線性代數(shù)特征值與特征向量實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對(duì)角矩陣(7) 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)Fx=0, x<0,12, 0x<1,1-e-x, x>1. ,則PX=1=(A)0 (B)12(C)12-e-1 (D) 1-e-1【答案】C。【解析】PX=1=F1-F1-0=

9、1-e-1-12=12-e-1綜上所述，本題正確答案是C?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)(8) 設(shè)f1(x)為標(biāo)準(zhǔn)正太分布的概率密度，f2(x)為-1,3上均勻分布得概率密度，若fx=af1x, x0,bf2x, x>0,(a>0,b>0)為概率密度，則a,b應(yīng)滿足(A)2a+3b=4 (B)3a+2b=4(C)a+b=1 (D)a+b=2【答案】A?！窘馕觥扛鶕?jù)密度函數(shù)的性質(zhì)1=-+f(x)dx=-0af1xdx+0+bf2xdx=a-0f1xdx+b0+f2xdxf1x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，其對(duì)稱中心在x=0處，故-0f1xdx

10、=12f2x為-1,3上均勻分布的概率密度函數(shù)，即f2x=14， -1x30，其他0+f2xdx=0314dx=34所以1=a12+b34,可得2a+3b=4綜上所述，本題正確答案是A?！究键c(diǎn)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，常見隨機(jī)變量的分布二、填空題（914小題，每小題4分，共24分。）(9) 設(shè)x=e-t,y=0tln(1+u2)du，則d2ydx2t=0= 。【答案】0?！窘馕觥俊痉椒ㄒ弧縟ydx=y'(t)x'(t)=ln(1+t2)-e-t=-etln(1+t2)d2ydx2=ddt-etln1+t21x't=e2t2t1+t2+l

11、n1+t2則d2ydx2t=0=10+0=0，【方法二】由參數(shù)方程求導(dǎo)公式知，d2ydx2t=0=y''0x'0-x''(0)y'(0)x'(0)3x't=-e-t,x''t=e-t,x'0=-1,x''0=1y't=ln1+t2,y''t=2t1+t2,y'0=0,y''0=0代入上式可得 d2ydx2t=0=0?！痉椒ㄈ坑蓌=e-t得，t=-lnx，則y=0-lnxln(1+u2)dudydx=-1xln(1+ln2x)d2ydx2=1x

12、2ln1+ln2x-2lnx1+ln2x當(dāng)t=0時(shí)x=1，則d2ydx2t=0=0綜上所述，本題正確答案是0?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法(10) 02xcosxdx= 。【答案】-4?！窘馕觥苛顇=t,則x=t2,dx=2tdt02xcosxdx=02t2costdt=20t2dsint= =2t2sint0-40tsintdt =4tcost0-40costdt=-4綜上所述，本題正確答案是-4?！究键c(diǎn)】高等數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)基本積分公式，不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法(11) 已知曲線L的方程為y=1

13、-x,x-1,1,起點(diǎn)是-1,0,終點(diǎn)是(1,0)，則曲線積分L xydx+x2dy= ?！敬鸢浮??！窘馕觥咳鐖D所示L=L1+L2,其中L1:y=1+x,(-1x<0),L2:y=1-x,(0x<1)所以 L xydx+x2dy=L1 xydx+x2dy+L2 xydx+x2dy =-10x1+x+x2dx+01x1+x-x2dx =-102x2+xdx+01x-2x2dx=0綜上所述，本題正確答案是0。y L1 L2-1 O 1 x【考點(diǎn)】高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算(12) 設(shè)=(x,y,z)|x2+y2z1，則的形心坐標(biāo)z= ?！敬鸢浮?3?！窘馕觥縵= z