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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上判定三角形形狀的十種方法數(shù)學(xué)考試和數(shù)學(xué)競賽中，常有判斷三角形形狀的題目，這類題目涉及的知識面廣，綜合性強，它溝通了代數(shù)、幾何、三角等方面的知識聯(lián)系。解題思路不外是從邊與邊、邊與角之間的關(guān)系考慮，從而達到解題的目的。1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,則ABC為等腰三角形。2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,則ABC為等邊三角形。3、若有a2+b2c2，則ABC為銳角三角形；若有a2+b2c2，則ABC為直角三角形；若有a2+b2c2，則ABC為鈍角三角形。4、若有（a2-b2）（ a2+b2-c2）=0，則ABC為等腰三角形或直角三角

2、形。5、若有a=b且 a2+b2=c2，則ABC為等腰直角三角形。以上是從三角形的邊與邊之間的關(guān)系考慮的。6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,則ABC為直角三角形或等腰三角形。7、若有cosA0，或tanA0,(其中A為ABC中的最大角) 則ABC為銳角三角形。8、若有cosA0，或tanA0,(其中A為ABC中的最大角), 則ABC為鈍角三角形。9、若有兩個（或三個）同名三角函數(shù)值相等（如tanA=tanB）,則ABC為等腰三角形（或等邊三角形）。10、若有特殊的三角函數(shù)值，則按特殊角來判斷，如cosA=，b=c,則ABC為等邊三角形。以下就一些具體實例進行分析解

3、答：一、利用方程根的性質(zhì)：例1：若方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有一個相同的根，且a、b、c為一個三角形的三條邊，則此三角形為（   ）（A）      銳角三角形；（B）鈍角三角形；（C）以c為斜邊的直角三角形；（D）以a為斜邊的直角三角形；(“縉云杯”初中數(shù)學(xué)邀請賽)解：將兩個方程相減，得：2ax-2cx+2b2=0,顯然ac，否則b=0，與題設(shè)矛盾，故x= ,將兩個方程相加，得2ax+2cx+2b2=0，x0,否則b=0，與題設(shè)矛盾，x=-（a+c），兩個方程有一個相同

4、的根，  =-（a+c），即b2+c2=a2，故ABC是以a為斜邊的直角三角形，故應(yīng)選（D）二、利用根的判別式例2：已知a、b、c是ABC的三邊，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0沒有實數(shù)根，試判斷ABC的形狀。解：整理原方程，得：（c+b）x2-2ax+(c-b)=0,由已知，得：=4a2-4(c+b)(c-b)=4(a2+b2-c2)0 ，a2+b2-c20,即 a2+b2c2,故ABC是鈍角三角形。三、利用根與系數(shù)的關(guān)系例3、在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊，已知方程x2+axcosB-bcosA=0的兩根之和等于兩根之積，試判斷ABC的形狀

5、。解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得：acosB=bcosA，如圖：作CDAB于D，則AD=bcosA，BD=acosB，AD=BD，又CDAB，ABC為等腰三角形。四、利用非負數(shù)的性質(zhì)例4：已知a、b、c是ABC的三邊，且a3+b3+c3=3abc，求證：ABC是等邊三角形。證明：a3+b3+c3=3abc，（a+b）3+c3-3a2b-3ab2-3abc=0，即（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，a+b+c0，a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，a-b=b-c=

6、c-a=0，故a=b=c，ABC是等邊三角形。五、利用三角形的面積例5：設(shè)ABC的三條高線之和等于此三角形三個角平分線的交點到一邊的距離的9倍，則ABC是等邊三角形。證明：設(shè)ABC的面積為S，三個內(nèi)角平分線交點為0，到一邊的距離為h，三邊上的高分別為ha、hb、hc，由三角形面積公式，得：ha=，hb=，hc=，h=，由已知，ha+hb+hc=9h，即，c（a-b）2+a（b-c）2+b（c-a）2=0，又a、b、c均為正數(shù)，（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，a=b=c，故ABC是等邊三角形。例6、設(shè)P、Q為線段BC上的兩定點，且BP=CQ，A為BC外的一個動點，當(dāng)A運動到使BAP

7、=CAQ時，ABC是什么三角形？試證明你的結(jié)論。（全國初中數(shù)學(xué)邀請賽）答：ABC為銳角三角形或鈍角三角形。很顯然，BP=CQ，BAP=CAQ，ABP與ACQ的外接圓是兩個等圓，過點A作BC的垂線AD，垂足為D，點P、Q為線段BC上的兩定點，P、Q兩點不可能與點D重合，否則兩點均與點D重合，與題設(shè)矛盾。ABP與ACQ的外接圓01與02必相交，故ABC不可能為直角三角形，ABC為銳角三角形或鈍角三角形。六、利用幾何知識例7：ABC的三條外角平分線相交成一個PQR，則PQR（    ）（A） 一定是直角三角形；（B）一定是銳角三角形；（C）一定是鈍角三角形；（

8、D）以上結(jié)論都不對。解：可以證明PQR的任意一個內(nèi)角小于90O，如可證明R90O，只需證明+90O，因為2=2+3，2=1+2，2+2=1+22+31800，所以+900，故R900，也就是說，R、P、Q均為銳角，所以PQR為銳角三角形。應(yīng)選（C）七、利用三角函數(shù)例8：在ABC中，已知：sinA×tanB0，那么這個三角形是（   ）（A）直角三角形；（B）銳角三角形；（C）鈍角三角形；（D）以上結(jié)論都不對。解：因為sinA×tanB0，所以sinA和tanB異號,又00A1800，00B1800,所以sinA0，tanB0，所以B為鈍角，故A

9、BC為鈍角三角形。應(yīng)選（C）八、利用余弦定理例9：已知一個三角形的三邊為4、5、6，試判斷此三角形的形狀。解：設(shè)最長邊6所對的角為A，由余弦定理，得：cosA=，所以A900，由于A為最大角，故此三角形為銳角三角形。九、利用正弦、余弦定理例10：ABC中，試判斷該三角形的形狀。解：由已知，得：sinAcosA=sinBcosB（1）,由正弦、余弦定理，得：sinA=，sinB=，（這里，r為ABC的外接圓半徑）， cosB=，分別代入（1），得：a2b2+a2c2-a4=a2b2+b2c2-b4即（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，所以a2=b2，或c2=a2+b2所以a=b或a

10、2+b2=c2故ABC為等腰三角形或直角三角形。十、利用二次函數(shù)性質(zhì)例11：設(shè)二次函數(shù)y=（a+b）x2+2cx-（a-b），當(dāng)時，函數(shù)有最小值時，若a、b、c為ABC的三邊的長，試判斷ABC的形狀。解：因為a、b、c為ABC的三邊的長，所以a0，b0，c0，a+b0，由題意知：  ，即2c=a+b, ,因為2c=a+b,a=b,故a=b=c,所以ABC是等邊三角形。例12:已知a、b、c是銳角ABC的三條邊，且 LgsinA-LgsinC=Lg,求證:ABC是等邊三角形。證明:由 ,得由LgsinA-LgsinC=Lg ,得由正弦定

11、理,得所以所以b=c;因為所以c2=ab,可得因為C為銳角,所以C=600,由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,故(a-b)2=0,所以a=b,故ABC為等邊三角形。例13：設(shè)A、B、C是ABC的三個內(nèi)角，C是銳角，若關(guān)于x的方程x2-(2sinC)x+sin A sin B=0有兩個相等的實根，且4sin2C+4cosC-5=0，求證:ABC為等邊三角形。證明：因為方程x2-(2sinC)x+sin A sin B=0有兩個相等的實根，所以=（2sinC）2-4sinAsinB=0，根據(jù)正弦定理，得：c2-ab=0,所以c2=ab,由4sin2C+4cosC-5=0,得：4(1-cos2C)+4cosC-5=0, 即：4cos2C-4cosC+1=0,所以：(2cosC-1)2=0,所以：cosC=又因為C為銳角，所以：C=600再根據(jù)余弦定理，得：c2=a2+b2-2abcos600,即c2=a2+b2-ab,所以a2+b2-ab=ab,故(a2-b)2=0,所以a=b,所以ABC為等邊三角形。綜上所述，判定三角形的形狀時，必須熟練掌握三角形邊與邊、邊與角之間的關(guān)系，在具體解題時要分析清楚題目所給的條件與課本所學(xué)過的知識點之間的聯(lián)系，從而正確使用所學(xué)知識，以達到解決問題的目的。專心-專注-專業(yè)