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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十九講* 幾何圖形的計(jì)數(shù)問(wèn)題在幾何中，有許多有趣的計(jì)數(shù)問(wèn)題，如計(jì)算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個(gè)數(shù)，若干個(gè)圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等這類問(wèn)題看起來(lái)似乎沒(méi)有什么規(guī)律可循，但是通過(guò)認(rèn)真分析，還是可以找到一些處理方法的常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等例1 如圖165所示，數(shù)一數(shù)圖中有多少條不同的線段？解 對(duì)于兩條線段，只要有一個(gè)端點(diǎn)不同，就是不同的線段，我們以左端點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)，將線段分5類分別計(jì)數(shù)：(1)以A為左端點(diǎn)的線段有AB，AC，AD，AE，AF共5條；(2)以B為左端點(diǎn)的線段有BC，BD，BE，BF共4條；(3)以C為左端點(diǎn)的線段有CD，CE，

2、CF共3條；(4)以D為左端點(diǎn)的線段有DE，DF共2條；(5)以E為左端點(diǎn)的線段只有EF一條所以，不同的線段一共有5+4+3+2+1=15(條)一般地，如果一條線段上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))，那么這n+1個(gè)點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2例2 圖166中有多少個(gè)三角形？解 以O(shè)A為一邊的三角形有OAB，OAC，OAD， OAE，OAF共5個(gè)；以O(shè)B為一邊的三角形還有4個(gè)(前面已計(jì)數(shù)過(guò)的不再數(shù)，下同)，它們是OBC，OBD，OBE， OBF；以O(shè)C為一邊的三角形有OCD，OCE，OCF共3個(gè)；以O(shè)D為一邊的三角形有ODE，ODF共2個(gè)；以O(shè)E為一邊的三

3、角形有OEF一個(gè)所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(個(gè))說(shuō)明 其實(shí)，不同的三角形數(shù)目等于線段AF中不同線段的條數(shù)一般地，當(dāng)原三角形的一條邊上有n+1個(gè)點(diǎn)(包括兩端點(diǎn))時(shí)，它們與另一頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三角形總數(shù)為n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2.例3(1)圖167中一共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？(2)所有這些長(zhǎng)方形的面積和是多少？解(1)圖中長(zhǎng)的一邊有5個(gè)分點(diǎn)(包括端點(diǎn))，所以，長(zhǎng)的一邊上不同的線段共有1+2+3+4=10(條)同樣，寬的一邊上不同的線段也有10條所以，共有長(zhǎng)方形10×10=100(個(gè))(2)因?yàn)殚L(zhǎng)的一邊上的10條線段長(zhǎng)分別為5，17，25，26，12，20，21，

4、8，9，1，寬的一邊上的10條線段長(zhǎng)分別為2，6，13，16，4，11，14，7，10，3所以，所有長(zhǎng)方形面積和為(5×2+5×6+5×3)+(17×2+17×6+17×3)+(1×2+1×6+1×3)=(5+17+1)×(2+6+3)= 144×86=12384例4 圖168中共有多少個(gè)三角形？解 顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個(gè)數(shù)相等尖向上的三角形又可分為6類：最大的三角形1個(gè)(即ABC)，第二大的三角形有1+2=3(個(gè))，第三大的三角形有1+2+3=6(個(gè))

5、，第四大的三角形有1+2+3+4=10(個(gè))，第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(個(gè))，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(個(gè))我們的計(jì)數(shù)是有規(guī)律的當(dāng)然，要注意在ABC外面還有三個(gè)最小的尖向上的三角形(左、右、下各一個(gè))，所以最小的三角形不是21個(gè)而是24個(gè)于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(個(gè))圖中共有三角形59×2=118(個(gè))例6(1)圖170(a)中有多少個(gè)三角形？(2)圖170(b)中又有多少個(gè)三角形？解(1)圖170(a)中有6條直線一般來(lái)說(shuō)，每3條直線能圍成一個(gè)三角形，但是這3條直線如果相交于同一點(diǎn)，那么，它們就不能圍成三角形了從6

6、條直線中選3條，有種選法(見說(shuō)明)，每次選出的3條直線圍成一個(gè)三角形，但是在圖170(a)中，每個(gè)頂點(diǎn)處有3條直線通過(guò)，它們不能圍成三角形，因此，共有20-3=17個(gè)三角形(2)圖170(b)中有7條直線，從7條直線中選3條，有7×6×5/6=35種選法每不過(guò)同一點(diǎn)的3條直線構(gòu)成一個(gè)三角形圖170(b)中，有2個(gè)頂點(diǎn)處有3條直線通過(guò)，它們不能構(gòu)成三角形，還有一個(gè)頂點(diǎn)有4條直線通過(guò)，因?yàn)?條直線中選3條有4種選法，即能構(gòu)成4個(gè)三角形，現(xiàn)在這4個(gè)三角形沒(méi)有了，所以，圖170(b)中的三角形個(gè)數(shù)是35-2-4=29(個(gè))說(shuō)明 從6條直線中選2條，第一條有6種選法，第二條有5種選法

7、，共有6×5種選法但是每一種被重復(fù)算了一次， 例如l1l2與l2l1實(shí)際上是同一種，所以，不同的選法是6×5÷2=15種從6條直線中選3條，第一條有6種選法，第二條有5種選法，第三條有4種選法，共有6×5×4種選法但是每一種被重復(fù)計(jì)算了6次，例如，實(shí)際上是同一種，所以，不同的選法應(yīng)為6×5×4/6=20種下面我們利用遞推的方法來(lái)計(jì)算一些圖形區(qū)域問(wèn)題例7 問(wèn)8條直線最多能把平面分成多少部分？解 1條直線最多將平面分成2個(gè)部分；2條直線最多將平面分成4個(gè)部分；3條直線最多將平面分成7個(gè)部分；現(xiàn)在添上第4條直線它與前面的3條直線最

8、多有3個(gè)交點(diǎn)，這3個(gè)交點(diǎn)將第4條直線分成4段，其中每一段將原來(lái)所在平面部分一分為二，如圖171，所以4條直線最多將平面分成7+4=11個(gè)部分完全類似地，5條直線最多將平面分成11+5=16個(gè)部分；6條直線最多將平面分成16+6=22個(gè)部分；7條直線最多將平面分成22+7=29個(gè)部分；8條直線最多將平面分成29+8=37個(gè)部分所以，8條直線最多將平面分成37個(gè)部分說(shuō)明 一般地，n條直線最多將平面分成個(gè)部分例8 平面上5個(gè)圓最多能把平面分成多少個(gè)部分？解 1個(gè)圓最多能把平面分成2個(gè)部分；2個(gè)圓最多能把平面分成4個(gè)部分；3個(gè)圓最多能把平面分成8個(gè)部分；現(xiàn)在加入第4個(gè)圓，為了使分成的部分最多，第4個(gè)圓

9、必須與前面3個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)如圖172所示因此得6個(gè)交點(diǎn)，這6個(gè)交點(diǎn)將第4個(gè)圓的圓周分成6段圓弧，而每一段圓弧將原來(lái)的部分一分為二，即增加了一個(gè)部分，于是，4個(gè)圓最多將平面分成8+6=14個(gè)部分同樣道理，5個(gè)圓最多將平面分成14+8=22個(gè)部分所以，5個(gè)圓最多將平面分成22個(gè)部分說(shuō)明 用上面類似的方法，我們可以計(jì)算出n個(gè)圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為2+1×2+2×2+(n-1)×2 =2+21+2+(n-1) =n2-n+2例9 平面上5個(gè)圓和一條直線，最多能把平面分成多少個(gè)部分？解 首先，由上題可知，平面上5個(gè)圓最多能把平面分成22個(gè)部分現(xiàn)在加入一條直線由于一條直線最

10、多與一個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，一條直線與5個(gè)圓最多有10個(gè)交點(diǎn)10個(gè)點(diǎn)把這條直線分成了11段，其中9段在圓內(nèi)，2條射線在圓外9條在圓內(nèi)的線段把原來(lái)的部分一分為二，這樣就增加了9個(gè)部分；兩條射線把圓外的平面一分為二，圓外只增加了一個(gè)部分所以，總共增加了10個(gè)部分因此，5個(gè)圓和1條直線，最多將平面分成22+10=32個(gè)部分例10 平面上5條直線和一個(gè)圓，最多能把平面分成多少個(gè)部分？解 首先，由例7知，5條直線最多將平面分成16個(gè)部分現(xiàn)在加入一個(gè)圓，它最多與每條直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，與5條直線最多有10個(gè)交點(diǎn)這10個(gè)交點(diǎn)將圓周分成10段圓弧，每一段圓弧將原來(lái)的部分一分為二，所以，10段圓弧又把原來(lái)的部

11、分增加了10個(gè)部分因此，5條直線和一個(gè)圓，最多能把平面分成16+10=26個(gè)部分例11 三角形ABC內(nèi)部有1999個(gè)點(diǎn)，以頂點(diǎn)A，B，C和這1999個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能把原三角形分割成多少個(gè)小三角形？解 設(shè)ABC內(nèi)部的n-1個(gè)點(diǎn)能把原三角形分割成an-1個(gè)小三角形，我們考慮新增加一個(gè)點(diǎn)Pn之后的情況：(1)若點(diǎn)Pn在某個(gè)小三角形的內(nèi)部，如圖173(a)，則原小三角形的三個(gè)頂點(diǎn)連同Pn將這個(gè)小三角形一分為三，即增加了兩個(gè)小三角形；(2)若點(diǎn)Pn在某兩個(gè)小三角形公共邊上，如圖173(b)則這兩個(gè)小三角形的頂點(diǎn)連同點(diǎn)Pn將這兩個(gè)小三角形分別一分為二，即也增加了兩個(gè)小三角形所以，ABC內(nèi)部的n個(gè)點(diǎn)把原三角形分

12、割成的小三角形個(gè)數(shù)為an=an-1+2 易知a0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，anan-1+2 將上面這些式子相加，得an=2n+1 所以，當(dāng)n=1999時(shí)，三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C和這1999個(gè)內(nèi)點(diǎn)能把原三角形分割成2×1999+1=3999個(gè)小三角形練習(xí)十九1填空：(1)在圓周上有7個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)和G，連接每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的線段共可作出_條(2)已知5條線段的長(zhǎng)分別是3，5，7，9，11，若每次以其中3條線段為邊組成三角形，則最多可構(gòu)成互不全等的三角形_個(gè)(3)三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，其中有一邊長(zhǎng)為4，但它不是最短邊，這樣不同的三角形共有_個(gè)(4)以正七邊形的7個(gè)頂點(diǎn)

13、中的任意3個(gè)為頂點(diǎn)的三角形中，銳角三角形的個(gè)數(shù)是_(5)平面上10條直線最多能把平面分成_個(gè)部分(6)平面上10個(gè)圓最多能把平面分成_個(gè)區(qū)域2有一批長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的細(xì)木條，它們的數(shù)量足夠多，從中適當(dāng)選取3根木條作為三條邊，可圍成一個(gè)三角形，如果規(guī)定底邊是11厘米長(zhǎng)，你能圍成多少個(gè)不同的三角形？3圖174中有多少個(gè)三角形？4圖175中有多少個(gè)梯形？5在等邊ABC所在平面上找到這樣一點(diǎn)P，使PAB，PBC，PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有多少？6平面上有10條直線，其中4條直線交于一點(diǎn)，另有4條直線互相平行，這10條直線最多有幾個(gè)交點(diǎn)？它們最多能把平面分成多少個(gè)部分？ 專心-專注-專業(yè)