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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 湖北民族學(xué)院理學(xué)院2016屆本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))矩陣的對角化及其應(yīng)用學(xué)生姓名： 趙遠(yuǎn)安 學(xué) 號： 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)老師： 劉先平 答辯時(shí)間： 2016.5.22 裝訂時(shí)間： 2016.5.25 A Graduation Thesis (Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Diagonalization

2、 of the Matrix and its ApplicationsStudent Name: ZHAO Yuanan Student No.: Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25 專心-專注-專業(yè)摘 要矩陣在大學(xué)數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要工具，在很多方面應(yīng)用矩陣能簡化描述性語言，而且也更容易理解，比如說線性方程組、二次方程等. 矩陣相似是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，利用相似可以把矩

3、陣進(jìn)行分類，其中與對角矩陣相似的一類矩陣尤為重要，這類矩陣有很好的性質(zhì)，方便我們解決其它的問題. 本文從矩陣的對角化的諸多充要條件及充分條件著手，探討數(shù)域上任意一個(gè)階矩陣的對角化問題，給出判定方法，研究判定方法間的相互關(guān)系，以及某些特殊矩陣的對角化，還給出如冪等矩陣、對合矩陣、冪幺矩陣對角化的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：對角矩陣，實(shí)對稱矩陣，冪等矩陣，對合矩陣，特征值，特征向量，最小多項(xiàng)式AbstractThe matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based

4、 on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can clas

5、sify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of

6、matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomial 目 錄摘要III緒言1課題背景1目的和意義 1國內(nèi)外概況 1預(yù)備知識2相關(guān)概念2矩陣的對角化4特殊矩陣的對角化 14矩陣對角化的應(yīng)用 22總結(jié) 24致謝 25參考文獻(xiàn) 26獨(dú)創(chuàng)聲

7、明 281 緒言本課題研究與矩陣的對角化相關(guān)的問題，從對角化的判定展開論述，結(jié)合其它學(xué)術(shù)期刊的結(jié)論加上自己的體會，希望能讓讀者更好的理解矩陣及其對角化的妙處.1.1 課題背景在由北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組編、王萼芳與石生明修訂、高等教育出版社出版的高等代數(shù)一書中，我們?yōu)榱朔奖憔€性方程組的運(yùn)算引入了矩陣的概念. 在線性方程組的討論中我們看到，線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣反應(yīng)出線性方程組的一些重要性質(zhì)，并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程.除線性方程組之外，還有大量的各種各樣的問題也提出矩陣的概念，并且這些問題的研究常常反應(yīng)為有關(guān)矩陣的某些方面的研究，甚至于有些性質(zhì)完全不同

8、的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題，歸結(jié)為矩陣問題以后卻是相同的. 在二次型中我們用矩陣研究二次型的性質(zhì)，引入了矩陣合同、正定、負(fù)定、半正定、半負(fù)定等概念及其判別方法.在向量空間中用矩陣研究線性變換的性質(zhì)，引入矩陣相似的概念，這是一種等價(jià)關(guān)系，利用它我們把矩陣分類，其中與對角矩陣相似的矩陣引起的我們的注意，由此我們對線性變換歸類，利用簡單的矩陣研究復(fù)雜的，方便我們看待問題，進(jìn)而又引入對角型矩陣、矩陣及若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.本文主要由矩陣定義和向量空間研究矩陣的對角化，從不同角度揭示矩陣對角化的判定及其性質(zhì)，還給出特殊矩陣的對角化及其相應(yīng)的應(yīng)用.1.2 課題研究的目的和意義課題研究的意義：(1) 研究矩陣對角

9、化的判定定理及應(yīng)用，為其它學(xué)術(shù)研究提供便捷的工具；(2) 比較全面的介紹矩陣的對角化，方便讀者的整體理解和應(yīng)用；1.3 國內(nèi)外概況 實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域等數(shù)域上的矩陣的對角化研究已經(jīng)很成熟，涉及特征值、最小多項(xiàng)式、線性變換方面的對角化證明也已完善，四元素體上矩陣的廣義對角化也有小有成就，矩陣對角化與群環(huán)域的結(jié)合方面的研究也有所突破. 實(shí)對稱矩陣、正交矩陣、分塊兒矩陣的對角化已完善，矩陣的應(yīng)用也漸漸出現(xiàn)在更多的學(xué)科和科研當(dāng)中. 矩陣的同時(shí)對角化、同時(shí)次對角化，以及對角化與秩的恒等式等方面的研究基本完善.2 預(yù)備知識 給出本文內(nèi)容所涉及的一些定義，方便對后面定理證明的理解. 定義1 常以表示數(shù)域上矩陣的

10、全體，用表示單位矩陣. 定義2 階方陣與是相似的，如果我們可以找到一個(gè)階非奇異的方陣矩陣，使得或者 . 根據(jù)定義我們?nèi)菀字老嗨茷榫仃囬g的一個(gè)等價(jià)關(guān)系：反身性：； 對稱性：若相似于，則相似于； 傳遞性：如果相似于，相似于，那么相似于. 定義3 階方陣與是合同的，如果我們可以找到一個(gè)階非奇異方陣，使得=或者. 根據(jù)定義我們?nèi)菀字篮贤矠榫仃囬g的一個(gè)等價(jià)聯(lián)系：反身性：=；對稱性：由即有；傳遞性：由和有. 定義4 式為的階方陣叫對角矩陣，這里是數(shù)（. 定義5 方陣，若，T非奇異，是對角陣，則稱可相似對角化. 定義6 方陣，若，T非奇異，是對角陣，則稱可合同對角化. 定義7 矩陣的初等變換：互換矩陣

11、的第行(列)于行(列)； 用非零數(shù)乘以矩陣第行(列)；把矩陣第行的倍加到第行. 定義 8 由單位矩陣經(jīng)過一次初等行(列)變換所得的矩陣稱為初等矩陣. 共有三種初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過初等變換得且；單位矩陣經(jīng)過初等變換得且；單位矩陣經(jīng)過初等變換得且. 定義9 設(shè)方陣，若，就稱為對合矩陣. 定義10 設(shè)方陣，若，就稱為冪幺矩陣. 定義 11 設(shè)方陣，若，就稱為冪等矩陣.定義 12 設(shè)方陣，若存在向量，滿足，我們就稱是的特征值，是屬于特征值的特征向量. 定義13 ，定義為矩陣的最小多項(xiàng)式 ，的一個(gè)根為而且比其他以為根的多項(xiàng)式的次數(shù)都低，首項(xiàng)系數(shù)是1. 3 矩陣的對角化本章介紹數(shù)域上階方陣陣的對角化問題

12、. 先給出矩陣對角化幾個(gè)一般的充要、充分條件及其證明. 引理1 如果，是矩陣Q的不同的特征值，而，是屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量，,，那么,，,，也線性無關(guān).證明：假設(shè)=0，令+=，則 （），且 =0 （1）分別用左乘以（1）兩端，再由引理4得：，（;),由此有 該線性方程組的系數(shù)矩陣為，為范德蒙行列式，又由互異有.根據(jù)克拉默法則就有，即+=0，再由線性無關(guān)得： ，故線性無關(guān). 推論1 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的. 定理1 與對角陣相似有個(gè)特征向量，它們是線性無關(guān)的.證明：可以對角化可逆矩陣，使得，即=（）.因此可以對角化存在（）使得，也即有個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 根據(jù)這個(gè)定理判定一個(gè)方陣是否可以對角化，必須從求解這個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式入手，雖然很直接，但考慮其計(jì)算量很大，加之特征值與特征向量只能分開求解，下面會介紹更簡便的方法.推論2如過方陣有個(gè)不同的特征值，那么該矩陣可對角化.證明：由Q有個(gè)不同的特征值及引理1的推論有Q有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，再由定理1即有Q可以對角化. 注意：該推論為對角化的充分條件. 定理2 （互不相同）是的特征值，