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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似矩陣的判定及其應(yīng)用 摘要： 相似矩陣是高等代數(shù)中重要的知識(shí)點(diǎn)，在本文中，我們先給出了判定兩個(gè)矩陣相似的三種方法，然后我們知道矩陣相似于對(duì)角矩陣是高等代數(shù)中一個(gè)重要而基本的問(wèn)題,我們給出怎樣判斷矩陣是否可對(duì)角化，然而我們知道一個(gè)矩陣未必相似于對(duì)角矩陣，但是在復(fù)數(shù)域上任何一個(gè)矩陣都與一個(gè)若而當(dāng)形矩陣相似，因此我們給出了矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形及其應(yīng)用；最后，我們給出了矩陣相似在實(shí)際生活中（尤其是考研中）的應(yīng)用.關(guān)鍵字： 相似矩陣，對(duì)角矩陣，若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形1.相似矩陣及其判定這一節(jié)我們?cè)谙到y(tǒng)歸納相似矩陣的一些相關(guān)概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，著重介紹相似矩陣的幾種判定方法。并通過(guò)一些具體的

2、例子加以說(shuō)明。下面我們首先介紹相關(guān)的概念和性質(zhì)。定義1 設(shè)，為數(shù)域上兩個(gè)級(jí)矩陣，如果可以找到數(shù)域上的級(jí)可逆矩陣，使得=，就說(shuō)相似于，記過(guò)渡矩陣矩陣等價(jià)特征矩陣行列式因子不變因子初等因子相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有三個(gè)性質(zhì)：反身性: 對(duì)稱性：如果，那么傳遞性：如果，那么在此基礎(chǔ)上，定理 線性變換在不同基下所對(duì)應(yīng)的矩陣相似。我們從下面的例1來(lái)看這個(gè)定理的應(yīng)用。例1例2 設(shè)的線性變換將基=（-1，0，-2），=（0，1，2）=（1，2，5）變成（）=（2，0，-1），（）=（0，0，1），（）=（0，1，2）求在基，下的矩陣，其中=（-1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，2）.解題

3、步驟：（1）先求出在基，下的矩陣； （2）求出由基，到，的過(guò)渡矩陣； （3）求出在基，下的矩陣=.解：我們從平常的解題中知道，我們通常取標(biāo)準(zhǔn)基=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）為中介，若令 ， = ， =則（，）=（，） （，）=（，） （，）=（，），故在基，下的矩陣，并且由基，到基，的過(guò)渡矩陣，從而在基，下的矩陣定理 設(shè)A，為數(shù)域P上兩個(gè)nn矩陣，它們的特征矩陣和等價(jià)則可得A與相似.想保留證明過(guò)程，可以把它作為用定義1來(lái)判定矩陣相似的例子。證明： 和等價(jià)就是有可逆的矩陣和，使 =（）. （1）則存在矩陣和以及數(shù)字矩陣和使=（）+ （2）=（）+ （3）成立，把（1）改寫(xiě)成

4、（）=（），式中的用（3）代入，再移項(xiàng)，得 （）（）=（）右端次數(shù)等于1或=，因此（）是一個(gè)數(shù)字矩陣（后一情形下是零矩陣），記作，即 =（） （）=（） （4）現(xiàn)在我們來(lái)證明是可逆的.（4）的第一式可得 =+（） =+（） = +（）+等式右端的第二項(xiàng)必須為零，否則它的次數(shù)至少為1，由于 和都是數(shù)字矩陣，等式不可能成立.此 這就是說(shuō)，是可逆的.由（4）的第二式可得 =（）因?yàn)椋ǎ? = =則可得和相似.定理 矩陣和相似和有相同的各級(jí)行列式因子；和有相同的不變因子；和有相同的初等因子一般我們用定理比用定理多，我們從兩個(gè)例子看：例2 判斷矩陣 ， 是否相似？解： 對(duì)，的特征矩陣，分別作初等變換可得

5、： =故，有相同的初等因子，所以，相似.例3 A是數(shù)領(lǐng)P上一個(gè)n×n矩陣，證明A與相似.證明：設(shè)則=因?yàn)?，即矩陣A與的特征矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣，因而對(duì)應(yīng)的K級(jí)子式相等，所以與有相同的各級(jí)行列式因子，則A與相似.也可以證明與等價(jià)來(lái)說(shuō)明A與相似。這個(gè)例子可以作為定理1.2的應(yīng)用。3.相似矩陣與矩陣對(duì)角化矩陣相似與矩陣對(duì)角化之間的關(guān)系，矩陣對(duì)角化的好處是？特征值和特征向量的概念：定義2：設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)和非零列向量x，滿足關(guān)系式，則數(shù)稱為A的 特征值，非零列向量x稱為A的 對(duì)應(yīng)的特征向量.易證：定義3(特征值與特征多項(xiàng)式)：稱為n階方陣A的特征多項(xiàng)式，它是的n次多項(xiàng)式.這樣的特征多項(xiàng)

6、式的根為的特征值.若階方陣可與對(duì)角矩陣相似，則稱是可對(duì)角化的，簡(jiǎn)稱可對(duì)角化. 設(shè)階矩陣相似與對(duì)角矩陣，相似變換為：， 記的列向量為，的對(duì)角元素為，i=1，2，n，則上式為 （1）比較上式兩端各列，得 i=1，2，n，這就是說(shuō)為的特征值，為的對(duì)應(yīng)于的特征向量.因?yàn)榭赡妫淞邢蛄肯蛄烤€性無(wú)關(guān)，所以可以得到結(jié)論：可以相似于對(duì)角矩陣的階矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān). 反之，階矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，設(shè)為，對(duì)應(yīng)的特征值分別為，即 i=1，2，n. 矩陣以為列向量，以為對(duì)角線構(gòu)成的對(duì)角矩陣，則，滿足（1） ，則，因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以可逆，這樣可得.所以又可得到結(jié)論：若階矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)，則相似與對(duì)角矩陣.由以上的討

7、論可得到如下的定理：定理 階矩陣相似于對(duì)角矩陣充分必要條件是此矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.推論1 若一個(gè)矩陣的特征值互不相同，則此矩陣相似于對(duì)角矩陣.證明：階矩陣必有個(gè)特征值，若它們互不相同，則它們對(duì)應(yīng)的特征向量也線性無(wú)關(guān)，即此矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.，由定理可得此矩陣相似于對(duì)角矩陣.證畢.注：若矩陣與一對(duì)角矩陣相似，的特征值未必互相相同.例1 對(duì)于矩陣=，我們判斷其是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化其特征值是否互不相同.解：特征多項(xiàng)式=的特征值1，1，-2對(duì)于其中=1，解方程（E-A）x=0，得到基礎(chǔ)解系 ，對(duì)于其中=-2，解方程（-2E-A）x=0，得到基礎(chǔ)解系故可得有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，由

8、定理2.1可知與對(duì)角矩陣相似，但有兩個(gè)相同的特征值1，其特征值并非互不相同.設(shè)階矩陣有個(gè)不同的特征值，它們的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)分別為，i=1，2，h，的特征多項(xiàng)式為=，顯然有.有個(gè)特征子空間，各個(gè)子空間的維數(shù)分別為，把各個(gè)子空間的基向量合在一起，得到一個(gè)個(gè)向量的向量組，稱為的特征向量系.的每一個(gè)特征向量都可由的特征向量系表示出來(lái).用證明“不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)”的方法，對(duì)特征子空間的個(gè)數(shù)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可證明：不同特征值的特征子空間的基，合在一起所得的向量組是線性無(wú)關(guān)的.因此，的特征向量系是線性無(wú)關(guān)的，而且是的所有特征向量構(gòu)成的集合中最大線性無(wú)關(guān)組.這樣，最多有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

9、.由于特征值的 幾何重?cái)?shù)不大于代數(shù)重?cái)?shù)，故，而且，只要有一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)嚴(yán)格地小于代數(shù)重?cái)?shù)，就有，結(jié)合定理2.1，可得如下結(jié)論：定理2.2 矩陣相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是其每一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)都等于代數(shù)重?cái)?shù).由于矩陣特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)都至少為1，因此在運(yùn)用定理2.2來(lái)判別一個(gè)矩陣是否相似于對(duì)角矩陣時(shí)，只要檢查代數(shù)重?cái)?shù)大于1的特征值 的幾何重?cái)?shù)即可.用相似變換化對(duì)角矩陣的求法：設(shè)是一個(gè)階矩陣，1) 計(jì)算的特征多項(xiàng)式=.2) 求出的全部的根，這就是的全部的特征值（在求時(shí)要注意給定的數(shù)域）.3) 對(duì)于每個(gè)特征值，求出齊次線性方程組的 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，設(shè)其為， ，那么+（， 是指定數(shù)

10、域中任意個(gè)不全為零的數(shù)）就是的屬于特征值的全部特征向量.這樣我們求出了屬于每個(gè)特征值的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量.4）若有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量它們對(duì)應(yīng)特征值分別為設(shè)P=（），則=這類問(wèn)題關(guān)鍵在去特征值和特征向量，在此基礎(chǔ)上寫(xiě)出相似變換矩陣及對(duì)角矩陣，它們分別由的線性無(wú)關(guān)的特征向量和對(duì)應(yīng)特征值構(gòu)成.例2 下列矩陣是否相似于對(duì)角矩陣：（1）= ； （2）=解：（1） =. 的特征值互不相同，故相似于對(duì)角矩陣. （2）=，=1，. 對(duì)于=1方程組的基礎(chǔ)解系為；對(duì)于，方程組的基礎(chǔ)解系為.3階矩陣有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故相似于對(duì)角矩陣.例3 設(shè)為階方陣，是的n個(gè)特征值，試求行列式的值.解：由題設(shè)知由n個(gè)

11、互異的特征值，所以可與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣P,使得由此可得： =，從而：=3相似矩陣與矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形相似矩陣與矩陣標(biāo)準(zhǔn)型之間的關(guān)系？標(biāo)準(zhǔn)型的好處是？定理3.1每個(gè)級(jí)復(fù)數(shù)矩陣都與一個(gè)若而當(dāng)形矩陣相似，這個(gè)若而當(dāng)形矩陣除去其中若而當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣唯一決定的，它稱為的若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 證明：設(shè)級(jí)矩陣的的初等因子是 （其中可能有相同的，指數(shù)也可能有相同的）.每一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)于一個(gè)若而當(dāng)塊這些若而當(dāng)塊構(gòu)成一若而當(dāng)形矩陣.根據(jù)以上的計(jì)算，的初等因子也是（1）.因?yàn)榕c有相同的初等因子，所以它們相似. 如果另一若而當(dāng)形矩陣與相似，那么與就有相同的初等因子，因此與除了其中若而當(dāng)塊排列的次序外是相同

12、的，由此即得唯一性.這個(gè)定理告訴了我們，如何將一個(gè)矩陣化成與相似的標(biāo)準(zhǔn)形，其步驟是：（1）寫(xiě)出的特征矩陣；（2）求出的全部的初等因子；（3）寫(xiě)出每個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的塊；（4）寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形.例1 求出的標(biāo)準(zhǔn)形.解：1）（2） 的初等因子是，（3）對(duì)應(yīng)的塊是對(duì)應(yīng)的塊是（4）例2 令是復(fù)數(shù)域上一個(gè)級(jí)方陣，（1） 證明：相似于一個(gè)下三角形矩陣（2） 令（1）級(jí)復(fù)數(shù)矩陣都于一個(gè)若而當(dāng)形矩陣相似，設(shè)的若而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為其中 ，由于是下三角形矩陣則為下三角形矩陣.則（3） 設(shè)為的特征多項(xiàng)式，且=(其中)=由(1)可得=推論1 方陣可對(duì)角化的充分條件是矩陣的特征矩陣的初等因子的都是一次的.我們知道了對(duì)于矩陣，要將其化

13、為對(duì)角矩陣，我們要求存在可逆，使得為對(duì)角形，進(jìn)一步可將過(guò)渡矩陣加強(qiáng)為酉矩陣.我們看下面的定理：定理3.2 （舒爾（Schur）設(shè)為階矩陣，其特征值為，則存在酉矩陣U，使得，其中T為上三角矩陣，其對(duì)角元素為，.證明：設(shè)為A的對(duì)應(yīng)于的單位特征向量，把它擴(kuò)充為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并用他們構(gòu)成酉矩陣=，于是有由于相似矩陣同的特征值，因此可以推得-1階矩陣的特征值為，.對(duì)可作同樣的處理，即有-1階酉矩陣，使得，其中-2階矩陣的特征值為，令，社會(huì)階酉矩陣，則 其中是對(duì)角元素為，上的三角矩陣，假設(shè)對(duì)于正整數(shù)（），可以找到個(gè)酉矩陣，使得 ，其中是對(duì)角元素為的上三角陣，為階矩陣，其特征值為，如果，可按照前面的做法，找到階酉矩陣，使得其中階矩陣階矩陣的特征值為.令階酉矩陣則其中是對(duì)角元素為的上三角矩陣.這個(gè)過(guò)程可繼續(xù)進(jìn)行下去，知道找到，使，其中為對(duì)角元素為的上三角矩陣，由于也是酉矩陣，把它記為，再把記為，即得.證畢.4相似矩陣的實(shí)際應(yīng)用例4.1 某公司對(duì)職工進(jìn)行分批脫產(chǎn)培訓(xùn)，現(xiàn)有在崗職工8000人，脫產(chǎn)培訓(xùn)2000人，計(jì)劃每年從在崗職工中抽調(diào)30%的人參加脫產(chǎn)培訓(xùn)，而在培訓(xùn)人員中讓60%的人結(jié)業(yè)回到工作崗位上，設(shè)年后在崗職工于脫產(chǎn)培訓(xùn)人數(shù)分