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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上相似矩陣的有關性質及其應用作 者 王國強 數學系 數學與應用數學專業(yè)指導教師 金銀來 數學系 教授摘要 若矩陣P可逆,則矩陣P-1AP與A稱為相似。相似矩陣有很多應用。例如：利用相似矩陣的性質來確定矩陣中未知元素方法的完整性；兩個相似矩陣屬于同一個特征值的特征向量之間的關系；矩陣相似與特征多項式的等價條件及相關結果；尤其是矩陣的標準形及其對角化問題,在高等代數和其他學科中都有極其廣泛的應用。本文將討論相似矩陣的有關性質及其應用。關鍵詞：相似矩陣；對角化；Jordan標準型；特征向量；特征值Abstract: There are a lot of application

2、s about similar matrix. For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent condi

3、tions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into. In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show

4、their appliance. Keywords: similar matrices; diagonal matrix; Jordans normal form; characteristic value; characteristic vector1 相似矩陣有關定義定義1.1設A,B是n階方陣,如果存在可逆陣P使得P-1AP=B,則稱矩陣A與B相似.定義1.2矩陣A相似于對角陣,則稱A可相似對角化,即存在可逆陣P使,為A的n個特征值.2 相似矩陣有關性質a. 已知P-1AP=B,即A相似于B,則) |A|=|B|; ) t r (A)=t r (B); ) |A-I|=|B-I|.b.

5、若A與B都可對角化,則A與B相似的充分條件是A與B由相同的特征多項式.c. A的屬于同一特征值的特征向量的線形組合只要不是零向量, 仍是對應的特征向量.d. A的屬于不同特征值的特征向量線形無關.e. 實對稱矩陣A的特征值都是實數,屬于不同特征值的特征向量正交.f. 若是實對稱矩陣A的r重特征值,則A對應特征值恰有r個線性無關的特征向量.g. 任何一個n階復矩陣A都與一個Jordan形矩陣相似.h. 對n階方陣A，以下三條等價:A可對角化;A有n個特征值（重根按重數計），且r（1）重特征值;A有n個線性無關的特征向量.i. 對角化的基本方法有如下兩種:特征值法,特征向量法.3 相似矩陣在微分方

6、程中的應用許多實際問題最后都歸結為求解微分方程（組）的問題.因此,如何求解微分方程（組）是個很重要的問題.下面舉例說明特征值和特征向量,約當標準形在其中的應用.3.1 將常系數線性微分方程組 (3-1)寫成矩陣形式為 (3-2)其中u=(,為系數矩陣,令(3-2)式的解u=, (3-3)即 (=.將(3-3)式代入（3-2）得=,化簡得,即(3-3)式中為A的特征值,X為對應的特征向量;若A可對角化,則存在n個線性無關的特征向量于是得到(3-2)式的n個線性無關的特解.u=, u=, u=.它們的線性組合 c+c+c, (3-4)(其中為任意常數)為(3-1)式的一般解,將(3-4)式改寫成矩

7、陣形式u=,記 c=(),= ()p=,則(3-1)式或(3-2)式有一般解 (3-5)對于初值問題 (3-6)解為 (3-7)因為t=0代入(3-5)式得 c=.例3.1 解線性常系數微分方程組已知初始值為: 解 本題的初始值問題為其中 ,可得A的約當標準形,即有可逆矩陣= ,使.由(3-7)式,該初值問題的解為 (3-8)其中 (3-9) (3-10)將(3-10)式代入(3-9)式得 (3-11)再將(3-11)式及代入(3-8)式得例3.2 解線性微分方程組 (3-12)解 令,則方程組(3-12)可表示成矩陣形式 (3-13)假設可以相似對角化,即存在可逆矩陣,使得其中為的全部特征值

8、.于是令 (3-14)其中,將式(3-14)代入式(3-13)，得即 (3-15)在上式兩端同時左乘,得即將上式積分,得 (3-16)其中,為積分常數.將式(3-16)代入(3-15)式,可得其中為矩陣的第列,也是的對應于特征值的特征向量,.3.2 對于階線性齊次常系數微分方程 (3-17)可令于是可得與方程(3-17)同解的方程組 (3-18)式(3-18)可寫成矩陣形式 (3-19)其中,于是這類微分方程可以歸納為等價的線性微分方程組,然后再利用特征值和特征向量求解.例3.3 求解微分方程 (3-20)解 令于是(3-20)式可變成等價的方程組即其中 ,可求得的特征值為，對應的特征向量分別

9、為于是由上例知, 從而 其中為任意常數.4 相似矩陣在現實生活中的應用例4.1 污染與環(huán)境發(fā)展的增長模型發(fā)展與環(huán)境已成為21世紀各國政府關注的重點,為了定量分析污染與工業(yè)發(fā)展間的關系，我們可提出以下的工業(yè)增長模型:解 設x是某地區(qū)目前的污染水平（以空氣或河湖水質的某種污染指數為測量單位）,y是目前的工業(yè)發(fā)展水平（以某種工業(yè)發(fā)展指數為測量單位）,以5年作為一個期間,第個期間的污染和工業(yè)發(fā)展水平分別記為x和y,它們之間的關系是：t=1,2, (4-1)記 A= , , 則(4-1)的矩陣形式為 t=1,2, (4-2) 如果已知該地區(qū)目前（亦稱為基年）的污染和工業(yè)發(fā)展水平=利用(4-2)就可以預測

10、第k個期間該地區(qū)的污染和工業(yè)發(fā)展水平,這是因為由(4-2) 可得這表明可通過求得,為此考察A能否對角化,計算出A的特征多項式.=|=由A有2個相異的特征值1和4知,A能對角化,所以可用性質來計算.對于,解可得A屬于1的一個特征向量對于解可得A屬于4的一個特征向量令有A=所以 = (4-3)(4-3)就是所要的預測結果,對不同的值代入(4-3)即可求得.例如：若，有,(實際上此時就是屬于4的特征向量,所以若有這些都表明,盡管工業(yè)發(fā)展水平可以達到相當高的程度,但照此模式發(fā)展，環(huán)境污染不容忽視.例 4.2 人口流動模型假設某省城人口總數保持不變,每年有20的農村人口流入城鎮(zhèn),有10的城鎮(zhèn)人口流入農村

11、.試問該省城人口與農村人口的分布最終是否會趨向一個“穩(wěn)定狀態(tài)”？為解答這個問題，可設該省城人口總數為m,從今年開始,第k年該省城的城鎮(zhèn)人口和農村人口分別設為,據題意有即 則 為計算,仍考察能否對角化. 計算出的特征多項式由于有2個相異的特征值1和0.7知,能對角化,所以可用性質來計算.對于解可得屬于1的一個特征向量;對于解可得屬于0.7的一個特征向量.令,有, 利用 ,可得從而有 數列的極限為這表明該省城的城鎮(zhèn)人口與農村人口的分布會趨于一個“穩(wěn)定狀態(tài)”:大約有為城鎮(zhèn)人口,為農村人口.例4.3 某試驗性生產線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數統(tǒng)計,然后將熟練工支援其他生產部門,其缺額由招收的新

12、非熟練工補齊,新老非熟練工經過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工.設第n年一月統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和,記成向量(a)求與的關系式,并寫成矩陣形式=A;(b)驗證,是A的兩個線性無關的特征向量,并求出相應的特征值;(c)當時，求. 【思路】本題的關鍵在于讀懂題意,寫出與,用,來表達的關系式:第n年初熟練工與非熟練工所占百分比為和,第n+1年初的熟練工所占的百分比由兩部分構成。第一部分是上一年的熟練工中有保留下來,即有構成的第一部分;第二部分是由上年補齊的新非熟練工和上一年的老非熟練工中經過培訓其中有構成新的熟練工,即組成第二部分,這樣.同理,第二年的非熟練工由新老非熟練工經過培訓后仍有不合格,仍是非熟練工所組成,即,有了這個關系式,就可以進一步寫成矩陣的形式,按要求計算其他的問題了.解(a)由上述分析可得即