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1、事件間的關(guān)系包含關(guān)系：事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，記為相等關(guān)系： ，記為A=B。積事件：事件A與B同時(shí)發(fā)生，記為AB。和事件：事件A或B至少有一個(gè)發(fā)生，記為 差事件：事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生，記為A-B?；コ馐录菏录嗀、B不能同時(shí)發(fā)生，即 ，又稱A、B為互不相容事件。逆事件：“A不發(fā)生”這一事件稱為A的逆事件，記為 ，A與 又稱為對(duì)立事件。,事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算,事件的運(yùn)算律交換律：結(jié)合律：分配律：對(duì)偶律（De Morgan德摩根律）：減法：,概率：做n次重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)記為 ，當(dāng)n很大時(shí)，若頻率 穩(wěn)定在常數(shù)P附近，則稱P為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記作P(A)=P。概率的公理化定義：設(shè)

2、E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是樣本空間，對(duì)E的每個(gè)隨機(jī)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若它滿足：非負(fù)性：規(guī)范性： ，S為樣本空間（必然事件）可列可加性：若事件 中 則則稱P(A)為事件A的發(fā)生概率。,概率的性質(zhì),有限可加性：有限個(gè)兩兩互斥的事件 則 是A的對(duì)立事件，則 則一 ，當(dāng)A，B互斥即 時(shí) 推廣：,預(yù)備知識(shí)：排列、組合,分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)：設(shè)完成一件事有k類方法，每類分別有 種方法，則完成這件事情共有 種方法.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：設(shè)完成一件事有k個(gè)步驟，第一步有 種方法，,第k步有 種方法，則完成這件事情共有 種方法.排列：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按一定次序排成一列. 排列數(shù)：從n個(gè)

3、不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)記為注：,等可能概型（古典概型）,組合：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素并成一組(與順序無(wú)關(guān)). 組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，記為,等可能概型（古典概型）,定義：具有以下性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)稱為等可能概型試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同等可能概型中事件概率的計(jì)算公式： n為隨機(jī)試驗(yàn)的總的結(jié)果數(shù)，即樣本點(diǎn)的總數(shù)，k為事件A包含的結(jié)果數(shù)。,定義：事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，稱為條件概率，記為P(B|A)。例 將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正面的情況，設(shè)A=至少有一次為正面H，B=兩次擲出同一面，求P(B

4、|A)解：樣本空間S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT。則可得： P(B|A)1/3條件概率的計(jì)算公式：,條件概率,乘法定理：設(shè)P(A)0，則有P(AB)=P(B|A)P(A)推廣：P(AB)0，則有P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A)設(shè) 為n個(gè)事件 ，且,全概率公式,劃分：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間， 為E的一組事件，若 則稱 為樣本空間S的一個(gè)劃分.例 E：擲骰子觀察點(diǎn)數(shù) 是S的一個(gè)劃分 不是S的一個(gè)劃分,全概率公式,定理：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件. 為S的一個(gè)劃分，且 則 ，稱之為全概率公式。注：全概率

5、公式給出我們一個(gè)用來(lái)計(jì)算在眾多原因 的作用下事件A發(fā)生概率的方法. （由因得果）,貝葉斯公式（由果溯因）,設(shè)E的樣本空間為S，A為E的事件. 為S的一個(gè)劃分，且 ，則 為貝葉斯（Bayes）公式.稱 為先驗(yàn)概率；稱 為后驗(yàn)概率.,條件概率,條件概率小結(jié),縮減樣本空間,定義式,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式,獨(dú)立性,獨(dú)立事件：兩事件A、B，A發(fā)生對(duì)B發(fā)生沒(méi)有影響，B發(fā)生也對(duì)A沒(méi)有影響，則稱兩事件相互獨(dú)立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，則P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例 拋甲，乙兩枚硬幣，A=甲出現(xiàn)正面H，B=乙出現(xiàn)正面H，問(wèn)A，B同時(shí)發(fā)生的概率.定理 四

6、對(duì)事件 中有一對(duì)相互獨(dú)立，則另外三對(duì)也相互獨(dú)立.獨(dú)立與互斥的區(qū)別： A，B相互獨(dú)立：P(AB)=P(A)P(B)； A，B互斥：P(AB)=0。,多個(gè)事件的獨(dú)立,定義 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)實(shí)值變量表示，這個(gè)變量的取值是隨機(jī)的，但又服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這種變量稱為隨機(jī)變量，通常用X，Y，Z表示。中心問(wèn)題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化隨機(jī)變量分為離散型和連續(xù)型：離散型：X的取值是有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè)。連續(xù)型：X的取值是連續(xù)的。,X=f(e)為S上的單值函數(shù)，X為實(shí)數(shù),分布律,稱為離散型隨機(jī)變量X的分布律，分布律可用列表的方式直觀的表示出來(lái),X,分布律（概率分布）,1.兩點(diǎn)分布，又稱為(0-1)分布,(0-

7、1)分布的分布律為也可以寫(xiě)為對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，若樣本空間只包括兩個(gè)元素，即 ，則一定能在S上定義一個(gè)服從(0-1)分布的隨機(jī)變量，令例 拋硬幣一次，定義隨機(jī)變量X為出現(xiàn)正面的次數(shù)，則,三種重要的離散型隨機(jī)變量,2.二項(xiàng)分布,隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A和 ，則稱E為伯努利試驗(yàn)。設(shè)P(A)=p(0p1),則將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，稱為n重伯努利試驗(yàn)。X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，X所有可能取值k=0,1,2,n。求PX=kPX=k記q=1-p，隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為當(dāng)n=1時(shí)，即為(0-1)分布。,若隨機(jī)變量X的概率分布律為稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記,3.泊松

8、分布(Poisson分布),Poisson定理 設(shè) 是一個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè) ， 則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有,當(dāng) 時(shí)近似公式近似效果更佳。,定義：設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) 稱為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。由分布函數(shù)的定義，有,分布函數(shù),注: 分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值表示x落在區(qū)間 上的概率。,(1) (2)F(x)是一個(gè)不減函數(shù) (3)對(duì)于離散型隨機(jī)變量，若分布律為 則其分布函數(shù),分布函數(shù),定義：對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 若存在 非負(fù)的函數(shù) 使對(duì)于任意實(shí)數(shù) 有：,其中 稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，,概率密度,1.均勻分

9、布,定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù) 則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布。記為注：X落在(a,b)上任一子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度，而與位置無(wú)關(guān)。,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,均勻分布的分布函數(shù),定義：連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記為指數(shù)分布的分布函數(shù),2.指數(shù)分布,定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 其中 為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布（也稱為Gauss分布），記為,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量,3.正態(tài)分布,f(x)圖形的性質(zhì)：關(guān)于 對(duì)稱結(jié)論：當(dāng) 時(shí)，取得最大值 固定，改變 ，f(x)的圖形不變，沿x軸平移 固定，改變 ，由最大值 知， 越

10、小，圖形越尖，X落在 附近的概率越大。 時(shí)， ，即曲線以X軸為漸近線。 分布函數(shù)F(x),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 概率密度函數(shù) 分布函數(shù) 結(jié)論： 的函數(shù)值見(jiàn)第382頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 例 ，求,正態(tài)分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引理 若 ，則結(jié)論： ，則它的分布函數(shù)，可寫(xiě)成： 正態(tài)分布的問(wèn)題都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后查書(shū)中第382頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得解例 ，求,隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,離散型離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布律的求法：找出Y=g(X)的所有可能取值找出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的X取值，將對(duì)應(yīng)概率相加例 設(shè)隨機(jī)變量X具有分布律求 的分布律。,問(wèn)題提出：已知隨機(jī)變量X的概率分布，且已知

11、Y=g(X)， 求Y的概率分布。,關(guān)鍵是找出Y的等價(jià)事件。,連續(xù)型 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布的求法：求Y=g(X)的取值范圍分段討論在取值范圍外的y，在取值范圍內(nèi)的y，,1.期望的定義、定理、性質(zhì)及求解2.方差的定義、性質(zhì)及求解3.六個(gè)重要分布的數(shù)學(xué)期望和方差4.切比雪夫不等式,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,定義：定義：,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值。,數(shù)學(xué)期望的定義,定理,E(X)的性質(zhì),定義：,方差,對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，,此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差得計(jì)算公式：,方差的性質(zhì),6種常見(jiàn)分布的期望與方差,數(shù)學(xué)期望 方差,分布律或密度函數(shù),分布,正態(tài)分布,指數(shù)分布,均

12、勻分布U(a,b),泊松分布,np(1-p),np,二項(xiàng)分布b(n,p),p(1-p),p,01分布,定理 (切比雪夫不等式) 設(shè)X是隨機(jī)變量，若D(X)存在，則對(duì)任何 0，有,切比雪夫不等式的等價(jià)形式,注： 1. 切比雪夫不等式可用來(lái)估計(jì)不是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在E(X)附近的概率。 2. 切比雪夫不等式的主要作用是進(jìn)行概率論的理論研究。,1.樣本的定義（獨(dú)立同分布）2.統(tǒng)計(jì)量的定義和判別3.統(tǒng)計(jì)學(xué)三大分布的定義和圖形輪廓4.三大分布的分位點(diǎn)定義,第六章 樣本及抽樣分布,樣本,總體：試驗(yàn)中全部可能的觀察值（研究對(duì)象的全體，如一批燈泡），一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量X。個(gè)體：每個(gè)可能觀察值稱

13、為個(gè)體（組成總體的每個(gè)元素，如某個(gè)燈泡）抽樣：從總體X中抽取有限個(gè)個(gè)體對(duì)總體進(jìn)行觀察的取值過(guò)程。隨機(jī)樣本：隨機(jī)抽取的n個(gè)個(gè)體的集合(X1,X2,Xn), n為樣本容量。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本(X1,X2,Xn)1. 每個(gè)Xi與X同分布2. X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量說(shuō)明：后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。,統(tǒng)計(jì)量：設(shè) 是總體X的樣本，則函數(shù) 如果不包含任何未知參數(shù)則稱為樣本 的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。,統(tǒng)計(jì)量,簡(jiǎn)言之，樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。,常用的統(tǒng)計(jì)量,樣本平均值：樣本方差：樣本均方差：樣本k階(原點(diǎn))矩：樣本k階中心矩：,統(tǒng)計(jì)學(xué)三大分布,例如：,1.矩估計(jì)法（三步法）

14、2.最大似然估計(jì)法（三步法）3.估計(jì)量三大評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)的定義及證明 （無(wú)偏性、有效性、相合性）4.單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(jì),第七章 參數(shù)估計(jì),矩估計(jì)法,最大似然估計(jì)的求法,寫(xiě)出似然函數(shù)求 ，使得 為 的最大值，求法如下： 求使得方程 又 在同一 處取得極值，因此， 的最大似然估計(jì)值可從方程 中求得 稱 為似然方程,1.單參數(shù),2.雙參數(shù),似然函數(shù)似然方程,最大似然估計(jì)法,估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn),對(duì)總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計(jì)量，如何評(píng)價(jià)好壞？ 通常用三條標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)：無(wú)偏性，有效性，相合性 無(wú)偏性,有效性,相合性,正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì),Thank You!,1.假設(shè)檢驗(yàn)的定義2.

15、假設(shè)檢驗(yàn)的三步法3.單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì) 量和拒絕域,第八章 假設(shè)檢驗(yàn),問(wèn)題：設(shè)X ，已知，未知。給定 ，問(wèn) ？,假設(shè),稱為原假設(shè)(零假設(shè))， 稱為備擇假設(shè)(對(duì)立假設(shè))。,通過(guò)某種方式確定常數(shù)k。若 ，則接受 ，若 ，則拒絕 (接受 )。,犯兩類錯(cuò)誤的概率： 若 為真而被拒絕，我們稱為犯第一類錯(cuò)誤(又稱犯“棄真”錯(cuò)誤，其概率記為。一般， 0.1. 若 為假而被接受，我們稱為犯第二類錯(cuò)誤(又稱犯“取偽”錯(cuò)誤，其概率記為。,記,取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,我們稱拒絕 的區(qū)域W為拒絕域，將接受 的區(qū)域稱為接受域。,的拒絕域?yàn)閃=Z ， 的接受域?yàn)?=Z 。,即, 2 02, 2 02, 2 02, 2 02, 2= 02, 2 02,( 未知),關(guān)于2的檢驗(yàn)（ 檢驗(yàn)法）,基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表1,基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表2,基本求導(dǎo)公式,函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,1.,可以推廣到有限個(gè),2.,3.,特別地,C為常數(shù).,