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1、導(dǎo)數(shù)壓軸題十種構(gòu)造方法大全以及解題方法導(dǎo)引方法一 等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化構(gòu)造方法導(dǎo)讀 研究函數(shù)的性質(zhì)是高考?jí)狠S題的核心思想，但直接構(gòu)造或者簡(jiǎn)單拆分函數(shù)依然復(fù)雜，這時(shí)候需要依賴對(duì)函數(shù)的等價(jià)變形，通過恒等變形發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)結(jié)構(gòu)再進(jìn)行構(gòu)造研究，會(huì)起到事半功倍的效果。方法導(dǎo)引例1 已知函數(shù)f(x)=aex(aR)，g(x)=lnxx+1.（1）求函數(shù)g(x)的極值；（2）當(dāng)a1e時(shí)，求證：f(x)g(x).解析:（1）由gx=lnxx+1，得gx=1-lnxx2，定義域?yàn)?,+.令gx=0，解得x=e，列表如下：x0,eee,+gx+0-gx單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減結(jié)合表格可知函數(shù)gx的極大值為ge=1e+1，無

2、極小值.（2）要證明fxgx，即證aexlnxx+1，而定義域?yàn)?,+，所以只要證axex-lnx-x0，又因?yàn)閍1e，所以axex-lnx-x1exex-lnx-x，所以只要證明1exex-lnx-x0.令Fx=1exex-lnx-x，則Fx=x+1ex-1-1x，記hx=ex-1-1x，則hx在0,+單調(diào)遞增且h1=0，所以當(dāng)x0,1時(shí)，hx0，從而Fx0，從而Fx0，即Fx在(0,1)單調(diào)遞減，在1,+單調(diào)遞增，F(xiàn)xF1=0.所以當(dāng)a1e時(shí)，fxgx.例2已知a R，a0，函數(shù)f (x) =eax-1-ax ，其中常數(shù)e =2.71828.（1）求f (x) 的最小值；（2）當(dāng)a 1時(shí)，

3、求證:對(duì)任意x0 ，都有xf (x) 2ln x +1-ax2.解析：（1）因?yàn)?，則，故為R上的增函數(shù)，令，解得故當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增，則故函數(shù)的最小值為0.（2）證明：要證明xf (x) 2ln x +1等價(jià)于證明由（1）可知：，即因?yàn)?，故故等價(jià)于證明即令，即證恒成立.又令，解得故當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增；故有因?yàn)椋使始醋C.即對(duì)任意x0 ，都有xf (x) 2ln x +1-ax2.方法二：構(gòu)造常見典型函數(shù)方法導(dǎo)讀 常見典型函數(shù)主要包括xlnx，x/lnx，lnx/x; xex,xex,ex/x等，通過變形發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)結(jié)構(gòu)再進(jìn)行構(gòu)造研究，會(huì)起到事半功倍的效果。方法導(dǎo)引例3 已知函數(shù)

4、f(x)=aex-1xaR在x=2處的切線斜率為e2.（1）求實(shí)數(shù)a的值，并討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若g(x)=exlnx+fx，證明：g(x)1.思路分析：(1)先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，由函數(shù)在x=2處的切線斜率為e2即可求出a的值，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性；(2)要證g(x)1，即證xlnxxex-2e，構(gòu)造函數(shù)hx=xlnx，mx=xex-2e，用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)hx的最小值和函數(shù)mx的最大值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）f(x)=ae(exx)=aeexx-exx2=aex-1x-1x2，由切線斜率k=f(2)=ae2-122e2，解得a=2f(x)=2ex-1x，其定義域?yàn)?,00

5、,+，f(x)=2ex-1x-1x2，令f(x)0，解得x1，故f(x)在區(qū)間1,+上單調(diào)遞增；令f(x)0，解得x1等價(jià)于xlnxxex-2e，設(shè)hx=xlnxx0，則h(x)=lnx+1，h(1e)=ln1e+1=0.當(dāng)x0,1e時(shí)，h(x)0. 故hx在區(qū)間0,1e上單調(diào)遞減，在區(qū)間1e,+上單調(diào)遞增，從而hx在0,1e的最小值為h1e=-1e. 設(shè)mx=xex-2ex0，則m(x)=1-xex，當(dāng)x0,1時(shí)，m(x)0，當(dāng)x1,+時(shí)，m(x)mx成立，即gx1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值和最值，考查了函數(shù)的思想和考生的發(fā)散思維能力，屬于中檔題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

6、調(diào)性，首先求出函數(shù)的定義域，忽略定義域是最常見的錯(cuò)誤；證明不等式通過構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性，求得其最值是最常用的思想方法，本題解答的難點(diǎn)是（3）中通過構(gòu)造新函數(shù)并求得其極值點(diǎn)，從而判斷的范圍是解題的關(guān)鍵.例4 （2020全國(guó)高三專題練習(xí)（理）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求的取值范圍思路分析：1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再解不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值.（1）.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)由得也就是，令則=，由知，.設(shè)，在單調(diào)遞增，又，所以存在使得，即.當(dāng)時(shí)，在

7、單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增;所以=.所以的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.恒成立問題的處理方法：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若f(x)0就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為f(x)min0，若f(x)0恒成立，就轉(zhuǎn)化為f(x)maxg(x)恒成立，可轉(zhuǎn)化為f(x)ming(x)max.方法三 局部構(gòu)造方法導(dǎo)讀 整體與局部是認(rèn)識(shí)論重要的哲學(xué)視角，在研究函數(shù)問題要

8、學(xué)會(huì)從不同視角觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，如果從整體觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)感覺束手無策或復(fù)雜時(shí)，可以從觀察函數(shù)的局部結(jié)構(gòu)入手，可能會(huì)柳暗花明。方法導(dǎo)引例5.已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.導(dǎo)引：（1）先求得定義域及函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求得函數(shù)極值點(diǎn).再由,可判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）將代入,再代入可得解析式.由不等式恒成立,分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù).求其導(dǎo)函數(shù)可得.再構(gòu)造函數(shù),求得.可判斷出有唯一的零點(diǎn),即在處取得最小值.進(jìn)而結(jié)合不等式即可求得b的取值范圍.解析（1）定義域?yàn)橛深}知?jiǎng)t,令解得當(dāng),當(dāng),當(dāng),； 函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減 （2）將代入,再

9、代入中可得由恒成立可得恒成立,即恒成立,設(shè),則,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,且有,函數(shù)有唯一的零點(diǎn),且 ,當(dāng),單調(diào)遞減,當(dāng),單調(diào)遞增,是在定義域內(nèi)的最小值 ,得,（*）令,方程（*）等價(jià)為,單調(diào)遞增,等價(jià)為,易知單調(diào)遞增,是的唯一零點(diǎn),的最小值,恒成立的范圍是例6.已知函數(shù)，且函數(shù)在處取到極值.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)，且函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，證明：.導(dǎo)引：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求解值，則曲線在處的切線方程可求；（2）求出函數(shù)的解析式，由，根據(jù)已知有三個(gè)解，存在兩個(gè)不同于的零點(diǎn)， 設(shè)，求出取值范圍，結(jié)合的函數(shù)特征，可判斷是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，研究的單調(diào)性，把證明轉(zhuǎn)化為證明即可.

10、解析：（1）， ，函數(shù)在處取到極值，即.則，曲線在處的切線方程為；（2），函數(shù)的定義域?yàn)榍?，令，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；是的最小值；有三個(gè)極值點(diǎn)，得.的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，；即，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).，消去得；令，的零點(diǎn)為，且.在上遞減，在上遞增.要證明，即證，等價(jià)于證明，即.，即證.構(gòu)造函數(shù)，則；只要證明在上單調(diào)遞減，函數(shù) 在單調(diào)遞減；增大時(shí)，減小，增大，減小，在上是減函數(shù).在上是減函數(shù).當(dāng)時(shí)， .即.方法四 二次求導(dǎo)研究函數(shù)的性質(zhì)方法導(dǎo)讀：在高考較難的題目中，僅僅通過一次求導(dǎo)我們不容易得出原函數(shù)的單調(diào)性，我們不妨對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行再次求導(dǎo)，通過二次求導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的判斷去確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定導(dǎo)

11、函數(shù)值的正負(fù)好去判斷原函數(shù)的單調(diào)性。方法導(dǎo)引：題型一：利用二次求導(dǎo)求函數(shù)的極值或參數(shù)的范圍例7.已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則整數(shù)的最小值為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4解析：構(gòu)造 求導(dǎo)，令，即，再令，在，在上是單調(diào)遞減，設(shè)點(diǎn)，在遞減；在遞增，所以=，所以m的最大值是2. 【答案】B題型二：利用二次求導(dǎo)證明不等式例8.已知函數(shù).（1） 若，求的取值范圍；（2） 證明：.方法一，常規(guī)解法：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+）， ， . 令 從而當(dāng)時(shí)，故所求的范圍是-1,+.(2)由(1)知,則時(shí)，；.綜上可知，不等式成立.方法二，二次求導(dǎo)的巧妙運(yùn)用:令.因 ， 顯然當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在（0,1遞減；當(dāng)

12、時(shí)，的符號(hào)仍不能判定，求二階導(dǎo)數(shù)得：，從而在時(shí)遞增，在 1,+遞增，所以當(dāng)時(shí)，故成立，原不等式成立. 題型三： 利用二次求導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性例9.函數(shù)（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍方法一，常規(guī)解法：（）（）方法二，二次求導(dǎo)的巧妙運(yùn)用：（）由題設(shè)，若，則當(dāng)；若.令，,，即原不等式成立.當(dāng)從而當(dāng)此時(shí)，.綜上可知，.方法五、構(gòu)造一元函數(shù)方法導(dǎo)讀此類問題一般是給出含有的不等式,若能通過變形,把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用函數(shù)單調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解.方法導(dǎo)引例10.已知函數(shù)f(x)=exx-ax,x(0,+),當(dāng)x2x1時(shí),不等式f(x1)x2-f(x2)x10恒成立,則實(shí)

13、數(shù)a的取值范圍為A(-,e B(-,e) C(-,e2) D(-,e2【答案】D【分析】本題可以先通過構(gòu)造函數(shù) 得出gx在定義域內(nèi)是一個(gè)增函數(shù),再根據(jù)增函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出gx的導(dǎo)數(shù)大于0,得出ax1時(shí), 恒成立,所以xfx在x(0,+)內(nèi)是一個(gè)增函數(shù),設(shè),則有 即a ex2x,設(shè) 則有 ,所以當(dāng)x=1時(shí),hx最小,h1=e2，即故選D.例11已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，證明：解析（1）因?yàn)?，所以，所以，即，所以?）由（1）知，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立當(dāng)時(shí)，有，猜想的最大值為，下面進(jìn)行證明，令，則，由可得，由可得，所以在上遞減，在上遞增，所以，命題獲證，整數(shù)的最大值是證明（3）法1：（分離未知數(shù)后構(gòu)造函數(shù)）構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，即在上遞增，而，于是在上恒成立，所以在上遞增而，所以，不等式獲證法2：（主元