《高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 2.1 從平面向量到空間向量 盤點(diǎn)空間向量素材 北師大版選修2-1（通用）.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 2.1 從平面向量到空間向量 盤點(diǎn)空間向量素材 北師大版選修2-1（通用）.doc（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、盤點(diǎn)空間向量一、空間向量的概念及其運(yùn)算 1空間向量的相關(guān)概念（1）空間向量：在空間內(nèi)，把既有大小又有方向的量叫做空間向量空間向量的表示：用有向線段來表示空間向量（2）相等向量（或同一向量）：凡是方向相同且長(zhǎng)度相等的有向線段都表示同一向量或相等向量（3）共線向量（或平行向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量（或平行向量），如果向量a與b平行，記作ab（4）共面向量：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量說明：共線向量（或平行向量）是指向量的基線互相平行或重合，并且方向可能同向，也可能反向 2空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算（1）空間向量的加法、減

2、法和數(shù)乘運(yùn)算對(duì)于空間的任意兩個(gè)非零向量a，b都可以通過平移，轉(zhuǎn)化為平面向量，因此可將平面向量的線性運(yùn)算法則，推廣到空間來定義空間向量的加法、減法和數(shù)乘的運(yùn)算，空間向量的加法滿足三角形法則和平行四邊形法則，在空間向量的求和中要特別注意“封口向量”即表示相加向量的有向線段依次首尾相接，則構(gòu)成從首到尾的向量的和（2）空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足的運(yùn)算律加法交換律；加法結(jié)合律；分配律幾個(gè)結(jié)論：有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序，其和不變?nèi)齻€(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量二、空間向量相關(guān)定理1共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b（），b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)

3、，使說明：（1）在此定理中必須要有這個(gè)條件，因?yàn)?與任意一個(gè)非零向量共線（2）在中，對(duì)于確定的和a， 表示空間與a平行（或共線）且長(zhǎng)度為的所有向量（3）利用共線向量定理可以證明兩條直線平行或三點(diǎn)共線問題（4）對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b（），共線向量定理可分解為以下兩個(gè)命題：存在唯一的實(shí)數(shù)x使；存在唯一的實(shí)數(shù)x使兩個(gè)命題中是共線向量的性質(zhì)定理，是空間向量共線的判定定理，如要用此結(jié)論判定a，b的基線平行，還需證明a（或b）上有一點(diǎn)不在b（或a）上2共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x，y），使得說明：（1）共面向量定理說明任意一個(gè)平面可以由兩

4、個(gè)不共線的向量表示出來，它既是判斷三個(gè)向量是否共面的依據(jù)，又是已知共面條件的另一種形式，可以借此將已知共面條件化為向量式，以便進(jìn)行向量運(yùn)算；（2）三個(gè)向量共面是指它們所在的基線平行于同一平面或在同一平面內(nèi)，并不是指它們的基線一定在同一平面內(nèi)，利用此定理可以證明四點(diǎn)共面、點(diǎn)線共面、線面平行等 3空間向量基本定理如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使這時(shí)不共面的三個(gè)向量叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量特別地，如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩互相垂直的單位向量，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，通常用表示說明：（1）三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底，同時(shí)由于與任

5、意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)不共面的向量就隱含著他們都是非零向量（2）基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，兩者是相關(guān)的不同的概念（3）三個(gè)不共面的已知向量組可以線性表示出空間的任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是唯一的三、空間向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算1空間向量的直角坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸、z軸方向相同的單位向量i， j，k作為基向量，對(duì)于空間任意一個(gè)向量a，根據(jù)空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使有序?qū)崝?shù)組叫做向量a在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作2空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則設(shè)，則，3空間向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)空間的兩個(gè)向量，說明：一個(gè)向量的

6、坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)四、空間向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的夾角已知a，b是空間兩個(gè)非零向量，過空間任意一點(diǎn)，作，則叫做向量a與向量b的夾角記作a，b，并且規(guī)定說明：（1）兩個(gè)向量的夾角是指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量所構(gòu)成的最小的非負(fù)角（2）對(duì)于向量的夾角的表示應(yīng)注意：（3）如果，那么向量a與b同向；如果，那么向量a與b反向，如果，那么稱a與b互相垂直，并記作；因此當(dāng)或時(shí)， 2兩個(gè)向量的數(shù)量積（1）定義：設(shè)a，b是空間兩個(gè)非零向量，我們把數(shù)量叫做向量a與b的數(shù)量積記作說明：由于空間兩個(gè)向量a與b都是共面的，因此空間兩個(gè)向量a與b數(shù)量積的意義與平面上兩個(gè)向量a與b數(shù)量積的意義實(shí)際上是一樣的，也都是實(shí)數(shù)，并且有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（交換律）；（分配律）說明：對(duì)于三個(gè)不為零的實(shí)數(shù)a，b，c，若，則；而對(duì)于向量，若，卻推不出（即向量中的消去律不成立）對(duì)于三個(gè)不為零的實(shí)數(shù)a，b，c，等式成立，而對(duì)于向量等式一般是不成立的零向量與任一向量的數(shù)量積為0 （3）兩個(gè)向量的夾角與向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)公式設(shè)空間的兩個(gè)非零向量，則，即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和特別地，當(dāng)時(shí)，可以得到設(shè)，則特別地，