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1、基本不等式及其應(yīng)用基本不等式看上去很簡(jiǎn)單，就兩個(gè)不等式：（1）若a，bR，則（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）（2） 若a，b為正實(shí)數(shù)，則 （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）由于看上去太簡(jiǎn)單，以至于我也把它列入“免學(xué)內(nèi)容”。但當(dāng)學(xué)生拿兩題目問(wèn)我時(shí)，我竟然下不了筆，即便做了，也費(fèi)死黑牢勁。既然問(wèn)題來(lái)了，就學(xué)唄。為此，我看了幾個(gè)關(guān)于基本不等式的講座。我發(fā)現(xiàn)，丁益祥老師講的好象很透堂，輕輕松松就把看似很復(fù)雜的問(wèn)題解決了。丁老師的講座很好，尤其是在解決“恒成立”問(wèn)題時(shí)，方法很獨(dú)到；另外，不等式的應(yīng)用題，他講的也很到位。我的感覺(jué)是：自己在基本不等式問(wèn)題的理解上提高了一個(gè)檔次。下面，我把他的講解要義整理一下，并做

2、適當(dāng)補(bǔ)充，哪位覺(jué)得好用拿去用就是了。他的講座以例題形式開(kāi)始的，我也就照搬吧。例一：設(shè)，則、的最 準(zhǔn)確的大小關(guān)系 分析：顯然，這是一個(gè)計(jì)算取值范圍的問(wèn)題。要求出M的取值范圍，必然要用“基本不等式2”，按照“一正、二定、三相等”原則，為了使“a、b”的積為定值，還得給原式進(jìn)行些湊配，顯然，我們要給原式湊一個(gè)“2”，為了使其值不變，后面還要加一個(gè)“+2”。那么，原式變?yōu)椋篗=，再看看，它是不是已經(jīng)符合“一正二定”的要求了呢？顯然符合嘛；但是，M的取值范圍是不是我們?nèi)庋垡材芸闯鰜?lái)的大于等于4呢？我抽查四位學(xué)習(xí)較好的學(xué)生，他們的回答非?？隙ǎ坏?，不對(duì)！為什么？因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，a=3；而a=3不在a

3、的要求范圍內(nèi)，所以M4。而N的范圍呢？顯然，要把剛才的基本不等式反用，為了使“a、b”的和為定值，也要進(jìn)行一些湊配。經(jīng)過(guò)湊配，原式變?yōu)椋篘=。經(jīng)肉眼觀察，N4。那么，MN。 另外，我們?cè)倏纯碞，實(shí)際上它不就是一個(gè)圖像開(kāi)口向下的二次函數(shù)嗎，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，N=4，否則，N都小于4。因此，如果將后面的x的取值范圍擦掉，題目也沒(méi)錯(cuò)，只不過(guò)，不好用基本不等式了。例二：已知不等式()9對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值 為 分析：一個(gè)“恒成立”問(wèn)題，怎么弄呢？?jī)蓚€(gè)基本不等式都不符合，“一正、二定、三相等”也靠不上去。怎么辦？怎么辦，用乘法分配律將式子的左邊進(jìn)行整合。經(jīng)整合，原式變?yōu)椋海ㄖ狄老〕霈F(xiàn)。這是一

4、個(gè)關(guān)于的二次不等式。最終解得，的最小值為4。詳細(xì)過(guò)程不做贅述?？偨Y(jié)：本題這類(lèi)問(wèn)題事實(shí)上是不等式中的恒成立問(wèn)題，本質(zhì)上只需的最小值不小于9即可。因此，把展開(kāi)重組并運(yùn)用均值定理求出最小值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例三：關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：這題就是典型的“恒成立”問(wèn)題，在不等式中經(jīng)常會(huì)遇到。初見(jiàn)此題，真的有點(diǎn)難，如果不是出現(xiàn)在“基本不等式”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還真有點(diǎn)難度，因?yàn)?，遇到?lèi)似問(wèn)題，我一般是先移項(xiàng)，再去絕對(duì)值符號(hào)。但是，問(wèn)題出現(xiàn)了：有一個(gè)3次方。顯然，以高一學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)不大好解。既然在學(xué)習(xí)不等式時(shí)出現(xiàn)了，思維慣性也驅(qū)使我們往基本不等式上考慮。經(jīng)觀察，的取值范

5、圍是正值，如果等式兩邊同除以，原式變?yōu)椋?。因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)=5時(shí)取等號(hào)；當(dāng)=5時(shí)，（最小值）。所以，。所以。可見(jiàn)，這題的關(guān)鍵是能否想到將所給不等式兩邊同時(shí)除以X，化成符合基本不等式的形式。當(dāng)把它變形為后，事實(shí)上已將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問(wèn)題，這種轉(zhuǎn)化思想應(yīng)當(dāng)熟練掌握。 應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意所研究的數(shù)是正數(shù)，它們的和或積是定值，并且要注意等號(hào)取得的條件，即應(yīng)強(qiáng)調(diào)“一正、二定、三相等”的要求。例四：某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則 噸解：由題意得，購(gòu)買(mǎi)次數(shù)為，總運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元，故一年

6、的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)為萬(wàn)元。當(dāng)且僅當(dāng)X=20噸時(shí)取等號(hào)。即：20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小 總結(jié)：簡(jiǎn)單的應(yīng)用題，列式是關(guān)鍵。在此提示怕應(yīng)用題的同學(xué)：應(yīng)用題真的不太難，認(rèn)真細(xì)心地多讀兩邊就能列出式子了。例五：經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車(chē)的車(chē)流量（千輛/小時(shí)）汽車(chē)的平均速度（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為 在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度為多少時(shí)，車(chē)流量最大？最大車(chē)流量為多少（精 確到0.1千輛/小時(shí)）？ 若要求該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 分析：這題怎么解呢？經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，如果將等式的右邊分子分母同除以，好象符合基本不等式均值定理的形

7、式和要求。解：（1） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)， （2）先化為整式不等式，再解一元二次不等式，略。答案為：連看帶寫(xiě)，連寫(xiě)帶做，自己好象提高了很多。邊寫(xiě)邊想，邊想邊寫(xiě)，題外好象還有很多話(huà)想說(shuō)。想來(lái)想去，就說(shuō)兩句關(guān)于應(yīng)試的感受吧，權(quán)當(dāng)這篇“瞎說(shuō)”的收尾部分。我認(rèn)為，學(xué)生考數(shù)學(xué)時(shí)一定要做到三個(gè)字“快、準(zhǔn)、活”。所謂“快”，當(dāng)然是做題要快，主要指做基礎(chǔ)題要快，大題目還是要慢點(diǎn)。我做題目很快，填空題每題很少超過(guò)一分鐘，超過(guò)一分鐘說(shuō)明思路出現(xiàn)偏差，但偏差也不是就做不出正確結(jié)果的，“條條大路通羅馬”嗎；但絕不超過(guò)五分鐘，如果五分鐘還沒(méi)好，立即放棄該題，最后再做。所謂“準(zhǔn)”，是準(zhǔn)確率要高，如果光快而不準(zhǔn)，復(fù)查時(shí)看

8、一題錯(cuò)一題訂正一題，海了。因此，我們做題時(shí)除了快，更要注意準(zhǔn)。如何做到既快且準(zhǔn)？平時(shí)訓(xùn)練自不必說(shuō)，考試時(shí)要先看，認(rèn)真的看，連心帶眼地看，看好了，想通了再做。卷子發(fā)下來(lái)不是有五分鐘閱卷時(shí)間嗎。我們一定要用好這五分鐘，利用這五分鐘，飛速瀏覽一下試卷，使自己心中有兩個(gè)“數(shù)”，一個(gè)數(shù)是該卷深不深，自己能考多少分；二個(gè)數(shù)是安排好做卷的時(shí)間分配，也就是計(jì)劃。所謂“活”，是指腦袋活、思路活，這點(diǎn)最重要了。我有個(gè)習(xí)慣：只要是考試，從來(lái)不提前進(jìn)考場(chǎng)，沒(méi)進(jìn)考場(chǎng)并不是在玩，也不是在看書(shū)，而是在睡覺(jué)。目的是在考試前把腦袋中的內(nèi)容“清零”，以便在考試時(shí)，腦筋運(yùn)行速度達(dá)到最快，這是腦袋活。一旦拿到卷子了，就要全身心的投入

9、到做題中，要做到心無(wú)旁鶩、穩(wěn)如泰山、思路如泉涌一旦鉆牛角里去了，要迅速轉(zhuǎn)身，另求它途，力爭(zhēng)在最捷徑上趕到羅馬。課后自測(cè)及解答1、 已知函數(shù)，對(duì)于任意正數(shù)，使得成立的一個(gè)充分不必要條件( )A B C D答案：C詳解：要求充分不必要，只有符合。2、若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)p與q的值答案：詳解：由解集為，所以，所以解得。3、已知函數(shù)。（1）解關(guān)于的不等式。（2）若在（0，+）上恒成立，求的取值范圍。答案：（1）當(dāng)時(shí)解集為 當(dāng)時(shí)解集為（2）的取值范圍是詳解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)解集為、當(dāng)時(shí)解集為。（2）、解得的取值范圍是。4、已知函數(shù)，（I）證明：（II）用 （III）當(dāng)答案：（I）略（II）， （III）略詳解：（1）當(dāng)時(shí)，得。（2）解得、5、已知二次函數(shù)yx2pxq，當(dāng)y0時(shí)，有x，解關(guān)于x的不等式qx2px10答案：不等式qx2px10的解集為x2x3.詳解：不等式qx2px10的解集為x2x3。