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1、. -函數(shù)的奇偶性與周期性【2013年高考會這樣考】1判斷函數(shù)的奇偶性2利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值3考察函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用【復(fù)習指導】本節(jié)復(fù)習時應(yīng)結(jié)合具體實例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性的概念，明確它們在研究函數(shù)中的作用和功能重點解決綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題根底梳理1奇、偶函數(shù)的概念(1)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果對D的任意一個x，都有xD，且f(x)f(x)，那么這個函數(shù)叫做奇函數(shù)(2)設(shè)函數(shù)yg(x)的定義域為D，如果對D的任意一個x，都有xD，且f(x)f(x)，那么這個函數(shù)叫做偶函數(shù)(3)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對

2、稱2判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，一般都按照定義嚴格進展，一般步驟是：(1)考察定義域是否關(guān)于原點對稱(2)考察表達式f(x)是否等于f(x)或f(x)；假設(shè)f(x)f(x)，那么f(x)為奇函數(shù)；假設(shè)f(x)f(x)，那么f(x)為偶函數(shù)；假設(shè)f(x)f(x)且f(x)f(x)，那么f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；假設(shè)f(x)f(x)且f(x)f(x)，那么f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)即非奇非偶函數(shù)3周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域的任何值時，都有f(xT)f(x)那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期：

3、如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期一條規(guī)律奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件兩個性質(zhì)(1)假設(shè)奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，那么f(0)0.(2)設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇三種方法判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法雙基自測1(人教A版教材習題改編)以下函數(shù)中，其中是偶函數(shù)的是() Af(x)xBf(x)x32xCf(x)Df(x)x4x3解析由奇、偶函數(shù)的定義

4、知，A，B為奇函數(shù)，C為偶函數(shù)，D為非奇非偶函數(shù)答案C2(2011)以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的函數(shù)為()Ayx2Byx1Cyx2Dyx解析函數(shù)為偶函數(shù)，那么f(x)f(x)，故排除掉B，D.C選項中yx2為偶函數(shù)，但在(0，)上單調(diào)遞增，不滿足題意應(yīng)選A.答案A3“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)是“f(0)0的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案D4(2011調(diào)研)假設(shè)f(x)ax2bxc(a0)是偶函數(shù)，那么g(x)ax3bx2cx是()A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析由，得b0，g(x)ax3cx.g(x

5、)(ax3cx)g(x)g(x)為奇函數(shù)答案A5f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab_.解析依題意，得a，b0，ab.答案考向一函數(shù)奇偶性的判斷【例1】判斷以下函數(shù)的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).審題視點 先求函數(shù)的定義域，并判斷是否關(guān)于原點對稱，再由奇、偶函數(shù)的定義判斷解(1)由得x1，f(x)的定義域為1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)由得1x1.f(x)的定義域1,1)不關(guān)于原點對稱，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(3)由得2x2且x0.f(x)的定義域為2,0)(0

6、,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù) (1)首先考慮定義域是否關(guān)于原點對稱，再根據(jù)f(x)f(x)判斷，有時需要先將函數(shù)進展化簡(2)在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立【訓練1】 判斷以下函數(shù)的奇偶性(1)f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)log2(x)解(1)f(x)的定義域1,4不關(guān)于原點對稱，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)函數(shù)f(x)的定義域為R.f(x)log2(x)log2log2(x)1log2(x)f(x)f(x)為奇函數(shù)考向二函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性【例2】

7、(2012模擬)(1)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)x2x1，求f(x)的解析式；(2)設(shè)a0，f(x)是R上的偶函數(shù)，數(shù)a的值；(3)奇函數(shù)f(x)的定義域為2,2，且在區(qū)間2,0遞減，求滿足f(1m)f(1m2)0的實數(shù)m的取值圍審題視點 (1)f(x)是一個分段函數(shù)，當x0時，轉(zhuǎn)化為f(x)f(x)(2)可用定義法，也可以用特殊值代入，如f(1)f(1)，再驗證(3)可考慮f(x)在2,2上的單調(diào)性解(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0，當x0時，x0，由f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)f(x)x2x1.f(x)(2)法一f(x)是R上的偶函數(shù)，f(x)f

8、(x)在R上恒成立即，(a21)(e2x1)0，對任意的x恒成立，解得a1.法二f(x)是R上的偶函數(shù)，f(1)f(1)，ae，e(a)0，(e21)0，a0.又a0，a1.經(jīng)歷證當a1時，有f(x)f(x)a1.(3)f(x)的定義域為2,2，有解得1m.又f(x)為奇函數(shù)，且在2,0上遞減，在2,2上遞減，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.綜合，可知1m1. (1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性一樣，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反【訓練2】 偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，那么滿足f(2x1

9、)f的x的取值圍是()A.B.C.D.解析f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，又f(x)在0，)上遞增，f(2x1)f|2x1|x.應(yīng)選A.答案A考向三函數(shù)的奇偶性與周期性【例3】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)，當x0,2時，f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 011)審題視點根據(jù)周期函數(shù)的定義證明；由函數(shù)的周期性與奇偶性綜合解題；函數(shù)周期性的應(yīng)用(1)證明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)解x2,4，x4，2

10、，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0，f(0)f(1)f(2)f(2 011)0. 判斷函數(shù)的周期性只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是近年高考考察的重點問題【訓練3】 定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x

11、4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，那么()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在0,2上是增函數(shù)，可以推知f(x)在2,2上遞增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)答案D規(guī)解答2如何解決奇偶性、單調(diào)性、周期性的交匯問題【問題研究】函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大性質(zhì)，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，高考作為考察

12、學生綜合能力的選拔性考試，在命題時，常常將它們綜合在一起命制試題.【解決方案】根據(jù)奇偶性的定義知，函數(shù)的奇偶性主要表達為f(x)與f(x)的相等或相反關(guān)系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要表達為f(xT)與f(x)的關(guān)系，它們都與f(x)有關(guān)，因此，在一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到.函數(shù)的奇偶性表達的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性表達的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律，因此，在解題時，往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性來解決相關(guān)問題.【例如】(此題總分值12分)(2011模擬)設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當4x4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(，)函數(shù)f(x)的單調(diào)增(或減)區(qū)間第(1)問，先求函數(shù)f(x)的周期，再求f()；第(2)問，推斷函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求面積；第(3)問，由圖象觀察寫出解答示 (1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，(2分)f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(4分)(2)由f(x)是奇函數(shù)