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1、. .函數(shù)的奇偶性與周期性1函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)定義一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)圖象特征關(guān)于原點對稱關(guān)于y軸對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期3判斷以下結(jié)論的正誤(正確的打“，錯誤的打“)(1)假設(shè)f(x)是定義

2、在R上的奇函數(shù)，那么f(x)f(x)0.()(2)偶函數(shù)的圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點()(3)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域一樣的偶函數(shù)，那么F(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)()(4)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件()(5)假設(shè)T是函數(shù)的一個周期，那么nT(nZ，n0)也是函數(shù)的周期()(6)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，那么f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()(7)函數(shù)f(x)0，x(0，)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)()(8)假設(shè)函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，那么函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對稱()(9)假設(shè)函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，那么函數(shù)yf

3、(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱()(10)假設(shè)某函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么該函數(shù)為偶函數(shù)；假設(shè)某函數(shù)的圖象關(guān)于(0,0)對稱，那么該函數(shù)為奇函數(shù)()考點一判斷函數(shù)的奇偶性命題點用函數(shù)奇偶性定義判斷例1(1)以下函數(shù)為奇函數(shù)的是()AyByexCycos xD解析：對于A，定義域不關(guān)于原點對稱，故不符合要求；對于B，f(x)f(x)，故不符合要求；對于C，滿足f(x)f(x)，故不符合要求；對于D，f(x)exex(exex)f(x)，yexex為奇函數(shù)，應(yīng)選D.答案：D(2)以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是()AyBylg|x|Cy(x1)2 Dy2x解析：根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義，可得A是奇函數(shù)，B是偶

4、函數(shù)，C，D為非奇非偶函數(shù)答案：B(3)函數(shù)f(x)，那么()A不具有奇偶性 B只是奇函數(shù)C只是偶函數(shù) D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)解析：由得x或x.函數(shù)f(x)的定義域為，對任意的x，x，且f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)答案：D方法引航判斷函數(shù)的奇偶性的三種重要方法(1)定義法：(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(y軸)對稱(3)性質(zhì)法：“奇奇是奇，“奇奇是奇，“奇奇是偶，“奇奇是偶；“偶偶是偶，“偶偶是偶，“偶偶是偶，“偶偶是偶；“奇偶是奇，“奇偶是奇判斷以下函數(shù)的奇偶性(1)f(x)(x1) ；(2)f(x)lg.解：(1)要使函數(shù)有意義，

5、那么0，解得1x1，顯然f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱，f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(2)由01x1，定義域關(guān)于原點對稱又f(x)lglglgf(x)，f(x)f(x)故原函數(shù)是奇函數(shù)考點二函數(shù)的周期性及應(yīng)用命題點1.周期性的簡單判斷2.利用周期性求函數(shù)值例2(1)以下函數(shù)不是周期函數(shù)的是()Aysin xBy|sin x|Cysin|x| Dysin(x1)解析：ysin x與ysin(x1)的周期T2，B的周期T，C項ysin|x|是偶函數(shù)，x(0，)與x(，0)圖象不重復(fù)，無周期答案：C(2)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，假設(shè)對于x0，都有f(x2)，且當(dāng)x0,2)時，f(x)

6、log2(x1)，那么求f(2 017)f(2 019)的值為_解析：當(dāng)x0時，f(x2)，f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一個周期f(2 017)f(2 017)f(1)log221，f(2 019)f(3)1，f(2 017)f(2 019)0.答案：0方法引航(1)利用周期f(xT)f(x)將不在解析式X圍之內(nèi)的x通過周期變換轉(zhuǎn)化到解析式X圍之內(nèi)，以方便代入解析式求值(2)判斷函數(shù)周期性的幾個常用結(jié)論f(xa)f(x)，那么f(x)為周期函數(shù)，周期T2|a|.f(xa)(a0)，那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個周期；f(xa)，那么函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2

7、|a|是它的一個周期1假設(shè)將本例(2)中“f(x2)變?yōu)椤癴(x2)f(x)，那么f(2 017)f(2 019)_.解析：由f(x2)f(x)可知T4f(2 017)1，f(2 019)1，f(2 017)f(2 019)0.答案：02假設(shè)本例(2)條件變?yōu)閒(x)對于xR，都有f(x2)f(x)且當(dāng)x0,2)時，f(x)log2(x1)，求f(2 017)f(2 019)的值解：由f(x2)f(x)，T2f(2 019)f(1)log221，f(2 017)f(2 017)f(1)1，f(2 017)f(2 019)2.考點三函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用命題點1.奇偶性求參數(shù)2.利用奇偶性、單調(diào)性

8、求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函數(shù)值例3(1)假設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，那么使f(x)3成立的x的取值X圍為()A(，1)B(1,0)C(0,1) D(1，)解析：因為函數(shù)yf(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，即.化簡可得a1，那么3，即30，即0，故不等式可化為0，即12x2，解得0x1，應(yīng)選C.答案：C(2)函數(shù)f(x)是定義在(1,1)上的奇函數(shù)，且.確定函數(shù)f(x)的解析式；用定義證明f(x)在(1,1)上是增函數(shù)；解不等式f(t1)f(t)0.解：在x(1,1)上f(x)為奇函數(shù)，f(0)0，即b0，f(x).又，.解得，a1.f(x)，經(jīng)檢驗適合題意證明：由f(x).x(1

9、,1)時，1x20，f(x)0f(x)在(1,1)上為增函數(shù)由f(t1)f(t)0，得f(t1)f(t)，即f(t1)f(t)得0t.(3)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x3ln(1x)，那么當(dāng)x0時，f(x)()Ax3ln(1x) Bx3ln(1x)Cx3ln(1x) Dx3ln(1x)解析：當(dāng)x0時，x0，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)答案：C方法引航(1)根據(jù)奇偶性求解析式中的參數(shù)，是利用f(x)f(x)或f(x)f(x)在定義域內(nèi)恒成立，建立參數(shù)關(guān)系.(2)根據(jù)奇偶性求解析式或解不等式，是

10、利用奇偶性定義進展轉(zhuǎn)化.1f(x)ax2bx是定義在a1,2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是_解析：a12a0，a.f(x)ax2bx為偶函數(shù)，那么b0，ab.答案：2定義在R上的偶函數(shù)yf(x)在0，)上遞減，且0，那么滿足f(x)0的x的集合為()A.(2，)B.(1,2)C.(2，) D.(2，)解析：選C.由題意可得ff0，又f(x)在0，)上遞減，所以，即x或x，解得0x或x2，所以滿足不等式f0的x的集合為(2，)3函數(shù)f(x)xlog21，那么的值為()A2 B2C0 D2log2解析：選A.由題意知，f(x)1xlog2，f(x)1xlog2xlog2(f(x)1)，所以f(x)1

11、為奇函數(shù)，那么110，所以2.方法探究“多法并舉解決抽象函數(shù)性質(zhì)問題典例(2021XXXX模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1,0上是增函數(shù)，給出以下四個命題：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于x1對稱；f(x)在1,2上是減函數(shù)；f(2)f(0)，其中正確命題的序號是_(請把正確命題的序號全部寫出來)分析關(guān)系f(xy)f(x)f(y)隱含了用什么結(jié)論？什么方法探究？f(x2)f(x)，隱含了什么結(jié)論？用什么方法探究假設(shè)f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，其解析式具備什么等式關(guān)系？從何處理探究？f(x)在1,0上的圖象與1,2上的圖象有什么

12、關(guān)系？依據(jù)什么指導(dǎo)？f(2)，f(0)從何處計算解析第一步：f(xy)f(x)f(y)對任意x，yR恒成立(賦值法)：令xy0，f(0)0.令xy0，yx，f(0)f(x)f(x)f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)第二步：f(x)在x1,0上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，f(x)在0,1上為增函數(shù)第三步：由f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，(代換法)周期T4，即f(x)為周期函數(shù)第四步：f(x2)f(x)f(x2)f(x)(代換法)又f(x)為奇函數(shù)，f(2x)f(x)，關(guān)于x1對稱第五步：由f(x)在0,1上為增函數(shù)，又關(guān)于x1對稱，1,2上為減函數(shù)(對稱法)第六步：由f(x2)f(x)，令x0得f(2)f(0)f(0)(賦值法)答案回憶反思此題用圖象法更直觀高考真題體驗1(2021高考課標(biāo)全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，那么以下結(jié)論中正確的選項是()Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是奇函數(shù)Cf(x)|g(x)