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1、一元二次方程根與系數(shù)的關系習題主編：閆老師準備知識回顧：1、 一元二次方程的求根公式為。2、 一元二次方程根的判別式為：（1） 當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。（2） 當時，方程有兩個相等的實數(shù)根。（3） 當時，方程沒有實數(shù)根。反之：方程有兩個不相等的實數(shù)根，則 ；方程有兩個相等的實數(shù)根，則 ；方程沒有實數(shù)根，則 。韋達定理相關知識1若一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么 ， 。我們把這兩個結論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關系，簡稱韋達定理。2、如果一元二次方程的兩個根是，則 ， 。3、以為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是4、在一元二次方程中，有一根為0，則 ；有一根為1，則 ；有一根為，則 ；若

2、兩根互為倒數(shù),則 ；若兩根互為相反數(shù)，則 。5、二次三項式的因式分解(公式法) 在分解二次三項式的因式時，如果可用公式求出方程 的兩個根，那么如果方程無根,則此二次三項式不能分解.基礎運用例1：已知方程的一個根是1，則另一個根是 ， 。解：變式訓練：1、已知是方程的一個根，則另一根和的值分別是多少？2、方程的兩個根都是整數(shù)，則的值是多少？例2：設是方程，的兩個根，利用根與系數(shù)關系求下列各式的值：（1） （2） （3） （4） 變式訓練：1、 已知關于的方程有實數(shù)根，求滿足下列條件的值：（1）有兩個實數(shù)根。 （2）有兩個正實數(shù)根。 （3）有一個正數(shù)根和一個負數(shù)根。 （4）兩個根都小于2。2、已知

3、關于的方程。（1）求證：方程必有兩個不相等的實數(shù)根。（2）取何值時，方程有兩個正根。（3）取何值時，方程有兩異號根，且負根絕對值較大。（4）取何值時，方程到少有一根為零？選用例題：例3：已知方程的兩根之比為1：2，判別式的值為1，則是多少？例4、已知關于的方程有兩個實數(shù)根，并且這兩個根的平方和比兩個根的積大16，求的值。例5、若方程與有一個根相同，求的值?；A訓練：1關于的方程中，如果，那么根的情況是（ ）（A）有兩個相等的實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）沒有實數(shù)根 （D）不能確定2設是方程的兩根，則的值是（ ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）33下列方程中，有兩個相等的實數(shù)根

4、的是（ ）（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2x+2=0（D）3x22x+1=04以方程x22x30的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是（ ）（A） y2+5y6=0 （B）y2+5y6=0 （C）y25y6=0 （D）y25y6=05如果x1，x2是兩個不相等實數(shù)，且滿足x122x11，x222x21，那么x1x2等于（ ）（A）2 （B）2 （C）1 （D）16.關于x的方程ax22x10中，如果a0，那么根的情況是（ ）（A）有兩個相等的實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根（C）沒有實數(shù)根 （D）不能確定7.設x1，x2是方程2x26x30的兩根，則x12x22的值是（

5、 ）（A）15 （B）12 （C）6 （D）38如果一元二次方程x24xk20有兩個相等的實數(shù)根，那么k 9如果關于x的方程2x2(4k+1)x2 k210有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 10已知x1，x2是方程2x27x40的兩根，則x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 11若關于x的方程(m22)x2(m2)x10的兩個根互為倒數(shù)，則m .二、能力訓練：1、 不解方程，判別下列方程根的情況：（1）x2x=5 (2)9x26+2=0 (3)x2x+2=02、 當m= 時，方程x2+mx+4=0有兩個相等的實數(shù)根； 當m= 時，方程mx2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根；3、 已

6、知關于x的方程10x2(m+3)x+m7=0，若有一個根為0，則m= ， 這時方程的另一個根是 ；若兩根之和為，則m= ，這時方程的 兩個根為 .4、 已知3是方程x2+mx+7=0的一個根，求另一個根及m的值。5、 求證：方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0沒有實數(shù)根。6、 求作一個一元二次方程使它的兩根分別是1和1+。7、 設x1,x2是方程2x2+4x3=0的兩根，利用根與系數(shù)關系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)+ （3）x12+ x1x2+2 x18、如果x22(m+1)x+m2+5是一個完全平方式，則m= ;9、方程2x(mx4)=x26沒有實數(shù)根，則

7、最小的整數(shù)m= ;10、已知方程2(x1)(x3m)=x(m4)兩根的和與兩根的積相等，則m= ;11、設關于x的方程x26x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為 ; 12、設方程4x27x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1x2（3）（4）x1x22x113、實數(shù)、分別滿足方程1929910和且199920求代數(shù)式的值。14、已知a是實數(shù)，且方程x2+2ax+1=0有兩個不相等的實根，試判別方程x2+2ax+1(a2x2a21)=0有無實根？15、求證：不論k為何實數(shù)，關于x的式子(x1)(x2)k2都可以分解成兩個一次因式

8、的積。16、實數(shù)K在什么范圍取值時，方程有實數(shù)正根？訓練（一）1、 不解方程，請判別下列方程根的情況；(1)2t2+3t4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)7u=0, ;2、 若方程x2(2m1)x+m2+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 ;3、 一元二次方程x2+px+q=0兩個根分別是2+和2，則p= ,q= ;4、 已知方程3x219x+m=0的一個根是1，那么它的另一個根是 ，m= ;5、 若方程x2+mx1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，那么m的值是 ;6、 m,n是關于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式 mn= 。7、 已知

9、關于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的兩根的平方和等于6，求k的值;8、 如果和是方程2x2+3x1=0的兩個根，利用根與系數(shù)關系，求作一個一 元二次方程，使它的兩個根分別等于+和+;9、 已知a,b,c是三角形的三邊長，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有兩個相 等的實數(shù)根，求證：這個三角形是正三角形10.取什么實數(shù)時，二次三項式2x2(4k+1)x+2k21可因式分解.11.已知關于X的一元二次方程222（3）10的兩實數(shù)根為,，若，求的取值范圍。訓練（二）1、 已知方程x23x+1=0的兩個根為,，則+= , = ;2、 如果關于x的方程x24x+m=0與x2

10、x2m=0有一個根相同，則m的值為 ;3、 已知方程2x23x+k=0的兩根之差為2，則k= ;4、 若方程x2+(a22)x3=0的兩根是1和3，則a= ;5、 方程4x22(a-b)xab=0的根的判別式的值是 ;6、 若關于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有兩個實數(shù)根，且這兩個根互為倒數(shù)，那么m的值為 ;7、 已知p0,q0，則一元二次方程x2+px+q=0的根的情況是 ;8、 以方程x23x1=0的兩個根的平方為根的一元二次方程是 ;9、 設x1,x2是方程2x26x+3=0的兩個根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 10m取什么值時，方程2x2(4m+1)x

11、+2m21=0（1） 有兩個不相等的實數(shù)根，（2）有兩個相等的實數(shù)根，（3）沒有實數(shù)根；11設方程x2+px+q=0兩根之比為1:2，根的判別式=1，求p,q的值。12是否存在實數(shù)，使關于的方程的兩個實根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請說明理由。一元二次方程根與系數(shù)關系專題訓練主編：閆老師1、如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。2、已知x1、x2是方程2x2+3x4=0的兩個根，那么：x1+x2= ；x1x2= ； ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；x1x2= 。3、以2和3為根的一元二次方程(二

12、次項系數(shù)為1)是 。4、如果關于x的一元二次方程x2+x+a=0的一個根是1，那么另一個根是 ，a的值為 。5、如果關于x的方程x2+6x+k=0的兩根差為2，那么k= 。6、已知方程2x2+mx4=0兩根的絕對值相等，則m= 。7、一元二次方程px2+qx+r=0(p0)的兩根為0和1，則qp= 。8、已知方程x2mx+2=0的兩根互為相反數(shù)，則m= 。9、已知關于x的一元二次方程(a21)x2(a+1)x+1=0兩根互為倒數(shù)，則a= 。10、已知關于x的一元二次方程mx24x6=0的兩根為x1和x2，且x1+x2=2，則m= ，(x1+x2)= 。11、已知方程3x2+x1=0，要使方程兩根的平方和為，那么常數(shù)項應改為 。12、已知一元二次方程的兩